Discuter:Application linéaire

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Sommaire

[modifier] Grand nettoyage de printemps

12 avril 2006 : Réorganisation des articles relatifs à la diagonalisation (mathématiques)

Il semble que les articles relatifs aux applications linéaire nécessitent une réorganisation. Ils sont en effet en passe de se recouvrir au moins en partie.

Faisons en d'abod une liste:

Commençons par y faire figurer de façon systématique le modèle:Algèbre linéaire comme suit {{Algèbre linéaire}}.

En ce qui me concerne, je suis surtout intéressé par la rédaction de l'article Analyse en composantes principales (doit-il figurer dans cette liste?), qui a besoin de citer convenablement la plupart des précédents. Lehalle 12 avril 2006 à 09:59 (CEST)

J'ai ajouté endomorphisme linéaire que j'ai créé sous peu et dans lequel je parle de généralités, de structure, et bientôt de changement de base, de matrice, de diagonalisation (sans trop développer), ... Oxyde 12 avril 2006 à 12:28 (CEST)

[modifier] Endomorphisme et matrice

Attention Oxyde, pour les endomorphismes, on utilise presque pas la notion de matrice pour l'étude des propriétés des endomorphismes, je suis en train de refondre polynôme d'endomorphisme pour centraliser les démonstrations. Pour les applications numériques, on passe aux matrices, je pense qu'il faut bien séparer les deux. Ce ne sont pas les même finalités ni le même regard. Jean-Luc W 12 avril 2006 à 18:53 (CEST)

Il est quand même possible, en dimension finie de déterminer son noyau, son image, son rang en passant par une de ses matrice ou même de le diagonaliser. D'ailleurs beaucoup de cours insistent assez longuement sur le lien entre les applications linéaires en dimension finie et leurs matrices. Oxyde 12 avril 2006 à 21:44 (CEST)
Nous sommes d'accord, chaque fois qu'un concept devient opérationnel, le passage par les matrices devient essentiel. Pour le calcul du rang, ou la recherche d'une base de vecteur propre, l'approche matricielle devient indispensable. En revanche, pour la théorie ce n'est pas la voie royale. Cela signifie à mon gout que les concepts doivent être décliner sous deux aspects, théorique (endomorphisme) pour servir de base aux restes des mathématiques et pratique pour l'utilisation et les calculs.Jean-Luc W 14 avril 2006 à 13:27 (CEST)

Petits rajouts insignifiants Ogerard 12 avril 2006 à 19:18 (CEST)

Je ne partage pas ton opinion, si l'aspect que met en avant Oxyde n'est pas traité, alors les utilisateurs par exemple statistiques seront malheureux car l'aspect utilisation pratique deviendra difficile à comprendre, il en ira de même pour les physiciens.Jean-Luc W 14 avril 2006 à 13:30 (CEST)

Je rajoute symétrie à la liste mais les symétries vectorielles manquent un peu à l'article. Oxyde 12 avril 2006 à 23:06 (CEST)

[modifier] Lecture à plusieurs niveaux

Il ne faut pas négliger l'idée de lecture à plusieurs niveaux. L'algèbre est de façon naturelle un sujet très enchevêtré où choisir un cheminement unique peut être réducteur. Quelques articles avec une redondance maîtrisée permettent de croiser les éclairages.
Notamment, l'aspect matriciel peut servir de « porte d'entrée » pour des lecteurs rebutés par un démarrage géométrique.
Je ferais donc coexister
  • des articles qui peuvent être vus comme initiation à la problématique : projecteur et symétrie par exemple ; il faudrait montrer comment ils illustrent la mise en place des techniques des polynômes d'endomorphisme
  • des articles (ou parties d'articles) matriciels, pas trop développés et assez "mécaniques", ainsi le début de polynôme caractéristique, de trigonalisation ... peuvent être centrés sur les matrices.
  • des articles plus complets et plus endomorphiques. Peps 12 avril 2006 à 23:11 (CEST)

[modifier] Probabilités

L'aspect matriciel est très interessant à un titre que les algébristes n'ont souvent pas en tête: faire des hypothèses sur les distributions de probabilité des éléments d'une matrice permet d'aboutir à des lois universelles sur certaines functionnelles d'endomorphismes. Pour être plus clair en donnant un exemple: le spectre d'un endomorphisme qui appartient à l'ensemble gaussian orthogonal (dont la matrice est issue de la mutliplication d'une matrice gaussienne par sa transposée) suit une distribution connue (Wigner ou Wishart, suivant les hypothèses prises). Cela vient en regardant la façon dont la fonctionnelle combine les éléments de la matrice, et en grande dimension (résultats asymptotiques sur les distributions finales). Lehalle

[modifier] Systèmes dynamiques

Dans la famille "j'utilise les endomorphismes dans un autre champ mathématique", il y a aussi les applications aux systèmes dynamiques (et Théorie du contrôle). Cela fait apparaître des propriétés intéressantes et parfois différentes, et en tout cas accorde une certaine importance à des propriétés spectrales (ou autres). La question centrale est: "sous quelles conditions le système (SD.1) converge-t-il? (f et g sont quelconques, \langle g(x), u\rangle est une forme linéaire en u)"

(SD.1)\;\; \dot x = f(x) + \langle g(x), u\rangle Utilisateur:Lehalle

Effectivement. Cela dit il vaudrait mieux donner un exemple concret de tel système plutôt que de poser (SD1) en toute généralité. Mais en théorie du contrôle on doit effectivement pouvoir en fabriquer facilement (la convergence c'est la même chose que la stabilité asymptotique, ou je m'empêtre dans mes déf ?). Peps 13 avril 2006 à 15:57 (CEST)
Tu as raison, j'ai mis convergence car il y a tellement de définitions de stabilité que je voulais rester sur une généralité. Tu as aussi raison en ce qui concerne les exemples, mais je développerai cela dans l'article Théorie du contrôle, encore à écrire... Lehalle

[modifier] Thèmes ou sous-catégories

J'essaye de regrouper les éléments de la liste de Utilisateur:Lehalle à quelques variantes près, par familles. J'ajoute des commentaires sur la rationalisation. Commentez directement sur la liste si elle vous convient grosso modo. Si trop de regroupement vous paraissent mauvais, pour la lisibilité, mieux vaut lancer une deuxième proposition au dessous.

  • 1. objets d'alg linéaire et représentations matricielles

Il me semble qu'il n'y a guère de généralités sur les représentations matricielles : matrices d'endomorphismes, d'application linéaire, de forme bilinéaire, changement de bases, matrices équivalentes, semblables ou congruentes, matrices par blocs pourraient former un article représentation matricielle...

Chacun de ces concepts mérite bien un article d'introduction

  • 2. applications linéaires (par opposition à endomorphismes) :
tout cela est assez redondant : un article général sur le rang suffirait sans doute et permettrait justement de montrer que c'est toujours la même notion
Là trois articles se justifient, avec séparation des tâches : la version maths élémentaires en reste au système 2*2. Le deuxième article devra contenir : pivot de Gauss, opérations élémentaires, systèmes compatibles, inconnues principales et tout le toutim de la dimension finie. Dans le second le cadre général, dimension quelconque, isomorphisme des supplémentaires du noyau etc...
garder les deux points de vue, à mon avis
là faudrait regrouper : élimination de Gauss-Jordan d'un côté, opération élémentaire de l'autre en mentionnant notamment la décomposition LU et généralisation échelonnée dans le deuxième.

3. endomoprhismes simples Ils peuvent servir d'introduction à des concepts sophistiqués

  • projecteur, symétrie : par exemple la décomposition (x-s(x))/2+(x+s(x))/2 est un cas particulier du thm de décomposition des noyaux et de projecteurs associés à un endomorphisme diagonalisable
  • endomorphisme nilpotent : propriétés de la suite des noyaux et images itérés,...
  • dans rotation et transvection glisser quelques mots sur leur rôle de modèle pour la réduction des endomorphismes

4. réduction des endomorphismes proprement dite

Personnellement j'en ferais l'article phare, en comprenant réduction en un sens large (dimension finie ou infinie par exemple). J'y ferais donc glisser une bonne partie du contenu actuel de valeur propre
Ces articles pourraient être regroupés en un seul, qui représente l'aspect élémentaire des choses : surtout de la dimension finie, éventuellement les problèmes de calcul numérique
idem : les aspects élémentaires, alogirithmiques
Là je ne sais pas trop : englober polynôme minimal dans un article plus général polynôme annulateur ?
là c'est technique : on pousse une méthode de réduction à fond en dim finie. Cela dit un seul article suffirait au lieu de trois ?

5. réductions/décompositions des matrices Cette rubrique me semble contenir plus que la seule réduction des endomorphismes : LU, QR, Dunford, Cholesky,... peuvent être présentés par le volet algorithmique en renvoyant éventuellement à l'opération correspondante sur les endomorphismes (pivot de Gauss, Schmidt,...) Voilà Peps 13 avril 2006 à 10:14 (CEST)

Je propose un approfondissement le l'approche de Peps sur le numéro 4, l'analyse correspond à mes yeux à la même vision et est enrichie d'une description un peu plus poussé:

  • réduction d'endomorphisme devient l'article phare, intègre une composante encyclopédique forte historique, intérêt c'est à dire leur rôles dans les mathématiques ainsi que les applications dans les autres branches de la science. Il contient de plus une partie vulgarisation et est riche en exemple.
  • polynôme d'endomorphisme est l'article technique associé à réduction d'endomorphisme. La vulgarisation est presque absente. Cet article illustre la puissance de la notion de polynôme dans de contexte des endomorphismes. Il contient l'essentiel des démonstrations de cette branche de l'algèbre. Il permet à l'article précédent de s'éloigner d'une présentation de type cours de maths.
  • Diagonalisation est un article non calculatoire, il fait référence à la réduction d'endomorphisme dans le cas général, traite de l'approche bilinéaire dans le cas des endomorphismes permuttant avec leur adjoint et de l'approche de Hilbert en dimension infinie. Il est de nature différente de matrice diagonale qui ne traite que du cas de dimension finie sous son aspect calculatoire.
OK sur toutes tes propositions sauf ici, où je ne vois pas bien la césure avec réduction d'endomorphisme (ce sera plus clair peut être au fur et à mesure ?). En tout cas il y aura un article sur trigonalisation qui sera, lui, surtout calculatoire. Il me semble qu'il faut un article qui fasse le pendant sur la diagonalisation, et qu'il faut au moins le nommer diagonalisation des matrices ou matrice diagonalisable Utilisateur:Peps.
Je propose de le Matrice diagonale celui qui traite de l'aspect calculatoire. Il existe déjà. La diagonalisation fait référence à la réduction d'endomorphisme, au cas des endomorphismes normaux, au cas de Hilbert (par exemple autoadjoint compact) à la densité de l'ensemble des endomorphismes diagonales et du cas du fibré tangent. A tes yeux, est-ce que je présente un tout cohérent différent de la réduction?Jean-Luc W 13 avril 2006 à 15:46 (CEST)
Ce qui veut dire que dans "réduction" il y aurait exclusivement le problème en dim finie et sans structure euclidienne ? est ce bien ça ? Peps 13 avril 2006 à 16:01 (CEST)
Je comprend maintenant ton idée, excuses moi, j'ai été un peu long à la détente. L'idée que j'avais en tête correspond à ce que tu écris. Mais l'article sur la réduction des endomorphismes n'est plus pivot, l'exposé est moins beau et moins cohérent. Donc je retourne ma veste. L'article diagonalisation est un petit article qui résume ce cas particulier au cas ou le gentil lecteur ne souhaite pas lire le pavé. J'imagine un article du style Polynôme minimal tel que maintenant rédigé.Jean-Luc W 13 avril 2006 à 19:29 (CEST)
  • Valeur propre, vecteur propre, espace propre représente pour moi un article de synthèse. L'intérêt est que cette notion est connue d'un grand nombre de personnes. C'est probablement un article fréquenté si l'on en juge par les Wikipedia étrangers. S'il présente l'aspect encyclopédique des choses, il est moins riche sur l'aspect mathématique pure, il est en revanche complet. Il établit des ponts vers les différentes utilisations de l'algèbre linéaire et les différentes utilisation comme les statistiques, différentes branches de la physique et des mathématiques.
  • Valeur propre Sous-espace caractéristique Polynôme minimal Polynôme caractéristique deviennent de petits articles qui résument l'essentiel et fait référence aux articles de fond.
  • théorème de Cayley-Hamilton reste presque en l'état, la jolie preuve est laissé, il pointe vers les articles autres articles pour une analyse plus en profondeur.
  • réduction de Jordan devient un article plus calculatoire, avec une approche qui reste matricielle. Décomposition de Dunford devient un petit article qui pointe vers Jordan. Jean-Luc W 13 avril 2006 à 11:21 (CEST)

[modifier] L' ACP est pour moi le coeur du problème

Tout d'abord je serai modeste : mes connaissances théoriques mathématiques sont plutot anciennes et nettement inférieures aux vôtres. Depuis j'ai surtout travaillé en autodidacte et maintenant au sein de l'entreprise dans laquelle je travaille ce sont surtout les applications business très pratiques qui m'intéressent pour déterminer des cibles de marché, ça marche très bien pour l'instant mais j'entends aller plus loin et il n'y a rien mieux que l'assurance pour tester tout cela. Je pense que d'un point de vue de l'entreprise vous auriez plutôt intérêt à vous tourner vers les cas pratiques ce qui n'empêche pas l'exposé théorique mais à le mérite au contraire de le mettre en relief. D'un strict point de vue théorique j'ai une vision "courbe" de l'espace matriciel mais cela est précisèment diffile à représenter. Supposons une sphère composée d'une infinité de matrices qui se croisent.Voilà ce que j'appellerai non pas la diagonale mais le diamètre plan. Vous qui avez l'air d'être calés qu'en pensez vous? Stendhalconques 14 avril 2006 à 08:09 (CEST)


L'esprit dans lequel je complète pas à pas l'article sur l'ACP est en effet un peu celui-ci: donner à des utilisateurs de cette technique d'analyse des données extrêmement sollicitée des points d'entrées vers une rigueur mathématique qu'ils n'ont pas toujours. Les sections (encore à écrire) sur les distributions universelles de différentes caractéristiques des valeurs et vecteurs propres seront je l'espère dans cette veine.

Il est probable que ce que tu appelle l'espace matriciel ne soit pas ce qu'on défini usuellement sous ce nom en mathématique, peux-tu en donner un exemple concrêt? Tu pourrais donner aussi un exemple de deux matrices qui se croisent?

Lehalle 14 avril 2006 à 09:25 (CEST)

Vous représentez probablement une partie forte importante des clients de cette branche de math dans le public de Wiki. Le challenge en math nous semble le suivant:

  • Intéresser un public large, depuis les lycéens, jusqu'aux matheux, en passant par les utilisateurs comme les ingénieurs ou les statisticiens.
  • Proposer une analyse élégante sur lequel les mathématiques de plus haut niveau peuvent être inscrites.
  • Assurer une cohérence globale.
  • Et surtout établir une approche encyclopédique, qui ne se limite en rien à l'énoncé des définitions des théorèmes et à leurs démonstrations. Mais y ajouter une composante historique, une description de la motivation du concept, une approche vulgarisée et une description par l'exemple.

Lehalle fait partie des premiers qui remarque qu'accrocher l'utilisation de l'algèbre linéaire pour les stat aux articles déjà présent est difficile. On y trouve un gros paquet de redondance, et il devient difficile de savoir ou donner de la tête. Comme premier exemple, j'ai restructurer pour l'instant Polynôme minimal comme un article d'entrée dans le concept, Polynôme d'endomorphisme comme article plus riche en contenu et Valeur propre comme approche plus encyclopédique.

Dans les idées de structuration, il nous semble que la catégorie matrice est tout à fait adapté au calcul, alors que la notion d'endomorphisme est plus idéal pour établir la théorie. En effet, pour une approche théorique, les matrices, de par leur aspect calculatoire cachent les grandes rêgles mathématiques et permettent mal de comprendre les structures cachées (cf Polynôme d'endomorphisme). Il faut donc bien séparer les deux pour traiter la problématique.

Pour la géométrie de l'espace des matrices, c'est un problème important en math. Selon l'espace que tu considères, tu obtiendras des géométries différentes. Les isométries sur le plan réel correspondent, par exemples à deux jolis cercles disjoints, les isométries affines à une paire de jumelles de dimension 3 plongée dans un espaces de dimension 4. En pratique, tu peux trouver des sphères et tores, des cylindres des chapeaux chinois... En bref la zoologie est vaste. Ce sujet est théoriquement traité par la théorie des groupes de Lie. Ces groupes ont une représentation matricielle à l'instar des endomorphismes. Mais, tant que les fondements ne sont pas là, je pense personnellement qu'il veut mieux structurer un premier niveau d'abstraction avant d'attaquer cet aspect des choses.

Lehalle présente un cas concrêt, un peu subtil car à cheval entre l'algèbre linéaire et bilinéaire. Nous commençons à entrevoir une réponse avec un deuxième article qui renforce le pont entre les deux branches déjà établi avec Valeur propre, et qui deviendra pleinement opérationnel avec Réduction d'endomorphisme. Jean-Luc W 14 avril 2006 à 10:37 (CEST)

Stendhalconques 14 avril 2006 à 15:45 (CEST) Jeter des ponts entre les différentes disciplines. Je crois qu'il faut essayer de tendre à cela. Pour les matrices croisées j'essaye de trouver un exemple de la vie courante mais je ne crois pas que la formulation mathématique existe : il faudrait quasiment d'autres symboles pour cela.

[modifier] Théorie du contrôle

Oui, je serai très demandeur d'un article général sur la Théorie du contrôle entre autres, article dans lequel on n'oublierait pas la transformée en Z à laquelle je contribue. (je réagis avec un peu de retard au débat appli linéaire) . Ce serait bien de mettre un peu d'ordre dans la grande famille théorique et pratique des applis linéaires, je me demande si l'approche par les endomorphismes n'est pas un peu effrayante. D'un autre côté je suis absolument opposé à une approche par des recettes de cuisine de calcul matriciel. Par exemple, dans mon modeste domaine spécialisé, j'aborde la géométrie projective par une cascade d'axiomes, je me sers des matrices d'applis linéaires seulement à titre d'illustration dans un chapitre spécialisé sur le plan projectif homogène, prudemment, dans des boîtes déroulantes pour bien montrer que ce n'est pas le fond de la question. Michelbailly 28 mai 2006 à 12:47 (CEST)

[modifier] Espace nul

La page Espace nul redirige vers cet article. Mais dans cet article il n'est nul part explicité ce qu'est un espace nul. smiley Xavier Combelle Talk 29 août 2006 à 09:57 (CEST)

Aussitôt dit, aussitôt fait, ... ou presque. Ektoplastor, 10:51
bravo smiley Xavier Combelle Talk 29 août 2006 à 11:29 (CEST)