Système d'équations (mathématiques élémentaires)

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Dans la vie courante et en sciences, les phénomènes dépendent plus souvent de plusieurs paramètres que d'un seul. Pour les modéliser, on utilise en mathématiques les systèmes d'équations à plusieurs inconnues . Une seule équation à plusieurs inconnues a une infinité de solutions.

Exemple : L'équation a une infinité de solutions. Si je prends pour la valeur , j'obtiens :
;
;
;
.
Plus généralement, si est un nombre quelconque, doit absolument valoir .

Sommaire 1 Définitions 2 Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues 2.1 Interprétation graphique 2.2 Résolution algébrique 2.2.1 Méthode par substitution 2.2.2 Méthode par combinaison 3 Système de 3 équations à 3 inconnues 3.1 Méthode par substitution 3.2 Méthode par élimination 4 Voir aussi

[modifier] Définitions

On appelle système d'équations un ensemble de plusieurs équations à plusieurs inconnues que l'on doit résoudre en même temps.

Exemple : est un système de deux équations à deux inconnues.

Résoudre , c'est trouver toutes les valeurs qu'il faut donner à chaque inconnue en même temps pour que toutes les égalités soient vraies.

Le système est linéaire s'il existe des nombres réels tels que soit de la forme :.

[modifier] Systèmes de 2 équations linéaires à 2 inconnues

[modifier] Interprétation graphique

Celle-ci va nous permettre d'établir des théorèmes utiles pour la suite.
Chaque équation du système définit une fonction affine, et est donc représentée par une droite dans un repère.Or :

• les coordonnées du point d'intersection des deux droites représentent la solution de  ;
  
• deux droites ont :
  
  • soit un unique point d'intersection ;
    
  • soit aucun point d'intersection ;
    
  • soit une infinité de points d'intersection.
    

D'où le théorème suivant :
Théorème 1 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues a :

• soit une unique solution ;
  
• soit aucune solution ;
  
• soit une infinité de solutions .
  

On démontre aussi le théorème suivant (en se reportant plus haut pour les notations)  :
Théorème 2 : Un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues admet une seule solution si, et seulement si, le nombre est non nul, c'est-à-dire :.
On appelle le déterminant du système (S).

Exemple de résolution graphique : Soit le système : .
La première équation équivaut à (voir plus haut).
La deuxième équation équivaut à :
;
;
. En traçant les droites d'équations respectives et , on voit que leur point d' intersection est .La solution (approximative) du système est et .

[modifier] Résolution algébrique

Il existe deux méthodes différentes. Détaillons-les sur un exemple.

[modifier] Méthode par substitution

Exemple : Reprenons le système : .
Exprimons en fonction de dans la première équation. On obtient . Remplaçons donc par dans la deuxième équation. On a :
 ;
 ;
 ;
 ;
. Or, . Donc on obtient : . La solution du système est le couple .

[modifier] Méthode par combinaison

Cette méthode est aussi appelée "méthode par addition" ou "par combinaison linéaire".
Exemple : Reprenons le système : .
Pour éliminer , multiplions la deuxième ligne par et additionnons les deux lignes ainsi obtenues. On a : puis et l'addition donne :
. En résolvant cette équation, on obtient .
Remplaçons par dans la première ligne. On obtient :
 ;
 ;
 ;
. On retrouve la solution

[modifier] Système de 3 équations à 3 inconnues

Les systèmes de 3 équations à 3 inconnues se résolvent aussi de cette manière :

[modifier] Méthode par substitution

.

Pour résoudre ce système de 3 équations à 3 inconnues, on isole une inconnue dans une des équations. Dans ce système, on isole l'inconnue x dans l'équation [1]

[1] : .

Maintenant on remplace l'inconnue dans les équations [2] et [3], qui donne un système de 2 équations à 2 inconnues à résoudre avec les méthodes de substitution ou d'addition .

.

Après avoir trouvé et , on les remplace dans l'équation [1] pour trouver .

[modifier] Méthode par élimination

.

Pour résoudre ce système, on peut éliminer par exemple dans les équations [2] et [3] en les remplaçant par les équations [2] vaut - 2 × [1] + [2] et [3] vaut [1] + [3]. Le système est alors équivalent au système

.

Il suffit alors d'éliminer un autre inconnue, par exemple, dans [3'] en la remplaçant par 4 × [3'] + [2']. Le système est alors équivalent au système triangulaire suivant :

L'équation [3"] permet de trouver , qui remplacé dans l'équation [2'] permet de trouver . Ces deux valeurs, remplacées dans l'équation [1] permet de trouver

Cette méthode se généralise à des systèmes comportant davantage d'équations et davantage d'inconnues et prend le nom de méthode du pivot de Gauss.

[modifier] Voir aussi

Article plus avancé sur le sujet : Système d'équations linéaires

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