Représentation de groupe
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L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manière linéaire : on essaie ainsi de voir G comme un groupe de matrices (d'où le terme représentation). On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver à déduire quelques propriétés de G.
Sommaire |
[modifier] Quelques définitions
[modifier] Définition la plus élémentaire
[modifier] Cas général
Soit G un groupe, K un corps et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation de G un morphisme de groupe de G dans GL(V), autrement dit, une application telle que ρ(g1)ρ(g2) = ρ(g1g2), c'est-à-dire que l'application préserve la loi du groupe.
Pour écrire l'action d'un élément g du groupe sur un élément v de l'espace vectoriel à travers la représentation ρ, on notera parfois ρ(g)(v), ρ(g).v ou même g.v s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation (V,ρ). On dit parfois également (et abusivement) que V est une représentation de G.
On dit que la représentation est fidèle si le morphisme ρ est injectif. Si par ailleurs V est de dimension finie (cas le plus fréquent), cette représentation permet alors de voir G comme un groupe de matrices. La dimension de V est alors appelée degré de la représentation. Si V est de dimension infinie, alors les ρ(g) sont des opérateurs linéaires.
[modifier] Cas des groupes topologiques : représentation continue
Si G est un groupe topologique et V a une topologie, la représentation ρ est une représentation continue si l'application Φ de dans V définie par est continue. En particulier (et c'est très utile dans le cas des groupes compacts), pour tout l'application est continue.
[modifier] Définition plus savante
[modifier] K-algèbre d'un groupe
Notons K[G] le K-espace vectoriel engendré par les éléments de G (c’est-à-dire l'ensemble des combinaisons linéaires formelles finies à coefficients dans K des éléments de G). Un élément générique de K[G] s'écrit
où les ag sont des éléments de K tous nuls sauf un nombre fini d'entre eux (la somme est donc finie) et où les lettres g sont à considérer comme des symboles formels.
On peut donner à K[G] une structure d'anneau (et donc de K-algèbre) en le munissant de la loi de multiplication (naturelle) suivante :
où toutes les sommes sont en fait finies.
K[G] s'appelle la K-algèbre du groupe G.
[modifier] Lien avec les représentations
On peut alors étendre, et ce de façon unique, la représentation ρ à un morphisme de K-algèbres de K[G] vers End(V), en posant . Ceci fait de V un K[G]-module. On dit également que V est un G-module.
Réciproquement, la donnée d'un K[G]-module V fournit une représentation de G.
[modifier] Morphismes
Un morphisme entre deux représentations (V,ρ) et (W,σ) est simplement une application K-linéaire de V dans W telle que pour tout g appartenant à G on ait
On dit alors aussi que est un morphisme G-équivariant.
Deux représentations sont dites semblables, ou isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme G-équivariant entre les espaces correspondants. Il est alors possible de les identifier.
[modifier] Irréductibilité
[modifier] Définitions
On dit qu'un module V est simple s'il ne contient pas d'autre sous-module que {0} et V.
Si (V,ρ) est une représentation, on dit que cette représentation est irréductible si V est simple en tant que K[G]-module. Formulé autrement, ceci signifie que V n'admet pas de sous-espace vectoriel propre qui soit stable sous l'action de G. En termes matriciels, cela signifie qu'on ne peut pas trouver de base dans laquelle la représentation de G soit donnée par des matrices ayant toutes la même structure triangulaire supérieure par blocs (avec au moins 2 blocs).
Une représentation est complètement réductible si V est somme directe de sous-espaces stables (par G) irréductibles. En termes de K[G], cela signifie que V peut-être décomposé en somme directe de K[G]-modules simples (on dit alors aussi que V est semi-simple). En termes matriciels, cela signifie qu'on peut trouver une base dans laquelle la représentation de G soit faite par des matrices diagonales par blocs, où chacun des blocs est une représentation irréductible.
Le fait de considérer des modules simples permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, un morphisme entre deux représentations irréductible est soit nul, soit inversible...
On peut souvent ramener l'étude des représentations de G à l'étude de ses représentations irréductibles : si V n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.
[modifier] Théorème de Maschke
- Si G est fini et si la caractéristique de K est nulle ou ne divise pas card(G), alors tout K[G]-module est semi-simple (ou de façon équivalente toute représentation de G dans K est complètement réductible).
En fait, plus généralement, on peut énoncer un théorème similaire pour les groupes compacts (un groupe fini est toujours compact) et les représentations de groupes topologiques.
[modifier] Quelques exemples
- Commençons par l'exemple le plus trivial : si G est un sous-groupe de GLn(K), G agit naturellement sur Kn. La représentation associée est appelée représentation standard.
- G agit sur lui-même par multiplication à gauche ; ceci définit une représentation sur K[G]. La représentation associée est appelée représentation régulière. Il est intéressant de noter que si G est un groupe fini, toute représentation irréductible est une sous-représentation de la représentation régulière.
[modifier] Références
- Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]