Caractéristique d'un anneau

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En algèbre, la caractéristique d'un anneau unitaire $A$ est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative.

On note, pour un anneau unitaire^[1] $(A, + ,\times)$ , $0 A$ l'élément neutre de « $+$ » et $1 A$ celui de « $\times$ ».

La caractéristique d'un anneau $\ A$ est donc le plus petit entier naturel non-nul $\ n$ tel que $\scriptstyle{\ n.1_A~=~\underbrace{\scriptstyle 1_A+1_A+\cdots+1_A }_{n\; termes}~=~0_A}$
Si un tel entier n'existe pas, on dit que la caractéristique est nulle ( $\scriptstyle \ n\; = \; 0$ ).

[modifier] L'homomorphisme de Z dans $A$

Il existe un unique homomorphisme d'anneaux unitaires $f$ de $\mathbb{Z}$ dans $\ A~$ ( $~ \mathbb{Z} \;$ est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si $n$ est un nombre entier strictement positif, on a :

$f(n)=1_A+\cdots+1_A\,$ ,

où $1 A$ est répété $n$ fois. Comme $\mathbb{Z}$ est un anneau euclidien, le noyau de $f$ est principal et, par définition, la caractéristique de $A$ est son générateur positif. Plus explicitement, c'est l'unique nombre entier positif ou nul $c$ tel que le noyau de $f$ soit l'idéal $c\mathbb{Z}$ .

[modifier] Propriétés sur les anneaux

La caractéristique d'un anneau intègre est soit nulle, soit un nombre premier.

En effet, si la caractéristique d'un anneau unitaire $A$ est un entier non nul $p > 0$ divisible, elle peut s'écrire : $p = n \times m$ où $n$ et $m$ sont strictement supérieurs à 1. En reprenant les notations ci-dessus, comme $f$ est un homomorphisme d'anneaux, $f(n\times m)=f(n)\times f(m)=0$ . Si $A$ est intègre, l'un des facteurs $f (n)$ ou $f (m)$ est nul. Cela contredit la définition de $p$ , qui, comme générateur positif du noyau de $f$ est le plus petit entier positif annulé par $f$ . Donc $p$ n'est pas divisible, il est premier.

Si la caractéristique d'un anneau est nulle, celui-ci est infini, car il contient un sous-anneau isomorphe à $\mathbb Z$ .

L'homomorphisme f est injectif. Il induit un isomorphisme sur son image qui est un sous-anneau unitaire.

Si $B$ est un sous-anneau unitaire de $A$ , alors $A$ et $B$ ont même caractéristique.

L'homomorphisme $\mathbb Z\rightarrow A$ se factorise évidemment à travers l'inclusion $A\rightarrow B$ .

Pour tout homomorphisme d'anneaux unitaires $g:A\rightarrow B$ , la caractéristique de $B$ divise celle de $A$ .

En effet, la composée des homomorphismes g.f est l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires $\mathbb Z\rightarrow B$ . Son noyau est l'image réciproque par f du noyau de g. Il contient notamment le noyau de f. Si p et q sont les caractéristiques de A et de B, q Z contient p Z. Donc, q divise p.

Si $A$ est un anneau commutatif, et si sa caractéristique est un nombre premier $p$ , alors pour tous éléments $x, y$ dans $A$ , on a $(x + y) p = x p + y p$ . L'application définie par $f (x) = x p$ est un endomorphisme d'anneau injectif appelé endomorphisme de Frobenius.

Le résultat découle immédiatement de la formule de Newton et de ce que p divise dans Z les coefficients binomiaux apparaissants dans le développement.

[modifier] Propriétés sur les corps

Si un corps K est de caractéristique nulle, il contient une copie de Q. S'il est de caractéristique p, il contient une copie de Z/pZ

Comme pour tout anneau intègre, la caractéristique de K est soit nulle soit un nombre premier p. Dans le premier cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires $\mathbb Z \rightarrow \mathbb K$ est injectif ; comme K est un corps, il induit une injection du corps des fractions de Z, à savoir le corps des rationnels Q (par définition des rationnels). Dans le deuxième cas, l'unique homomorphisme d'anneaux unitaires $\mathbb Z \rightarrow \mathbb K$ induit une injection de Z/pZ dans K. Or, comme p est premier, Z/pZ est un corps fini ; c'est l'unique corps fini F_p à p éléments.

Tout corps fini a pour cardinal une puissance d'un nombre premier, qui en est sa caractéristique.

Si K est un corps fini, pour des raisons de cardinalité, il ne peut pas contenir une copie de Q. Par ce qui précède, il est de caractéristique finie p et contient donc une copie du corps F_p. De fait, K est un espace vectoriel sur F_p ; sa dimension est nécessairement finie. Donc son cardinal est p à la puissance sa dimension.

Il existe des corps infinis possédant une caractéristique non nulle $p$ , celle-ci étant un nombre premier.

C'est le cas par exemple du corps des fonctions rationnelles sur $\mathbb Z/p\mathbb Z$ ou de la clôture algébrique de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ .

Tout corps totalement ordonné a une caractéristique nulle.

En effet, l'unique homomorphisme $\mathbb Z \rightarrow \mathbb K$ est croissant. Tout entier strictement positif est envoyé sur un élément strictement positif du corps, a fortiori différent de 0.

C'est donc le cas des corps des nombres rationnels $\mathbb Q$ , et donc de ceux des nombres réels $\R$ et complexes $\mathbb C$ (puisque $\mathbb Q$ est un sous-anneau de ces deux anneaux).