Discuter:Représentation de groupe

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Tout le long de l'article on trimballe une sorte de "double définition" (déf élémentaire, déf par les K[G] algèbres). Ne serait-il pas plus simple de regrouper tout ce qui concerne la 2e définition, nettement plus abstraite, dans un deuxième temps de l'article ? Peps 25 juillet 2006 à 16:43 (CEST)

Sommaire

1 Mauvaise direction
2 Analyse du cas fini et du cas général
3 Théorie de la représentation ?
4 Renommage
5 Qu'est-ce que l'algèbre d'un groupe ?
- 5.1 Par la géométrie
- 5.2 Par l'arithmétique

[modifier] Mauvaise direction

Désolé,

Cet article part dans la mauvaise direction. La représentation des groupes ne se limite pas à la représentation des groupes finis ou discrets. Un pan entier concerne l'étude des représentations des groupes de Lie ou des groupes algébriques. Il faudrait mieux s'inspirer de ce qui est fait dans les articles anglophone et espagnol qui répondent partiellement (mais de manière insuffisante) à l'attente que je me fais de cet article.

Au niveau des exemples, les représentations du groupe symétrique méritent un article à part entière ; les exemples du groupe symétrique d'ordre trois et d'ordre quatre méritent d'être traités dans des articles consacrés : groupe symétrique d'ordre trois et groupe symétrique d'ordre quatre (il y a pas mal de choses à dire).

Il faut mieux penser à créer et développer un article Algèbre d'un groupe qui développe le point de vue abordé ici ; et se contenter dans un premier temps de donner un tableau général donnant les grands axes d'étude et le vocabulaire commun de base, puis qui insistent sur les grandes problématiques qui ont motivé et/ou continuent à motiver l'étude des représentations. Il manque évidemment une partie Histoire pour développer ces thématiques.

Ekto - Plastor 6 mars 2007 à 19:31 (CET)

Désolé aussi,

Le plan suivi est celui de l'exposé de Jean-Pierre Serre, il ne s'est jamais limité aux groupes finis ni discrets, il continue sur les représentations compacts et termine sur les groupes de lie nilpotents. J'ai donc un peu de mal à comprendre la critique.

Cependant si tu sais faire mieux, je ne souhaite pas de polémique, je te laisse rédiger l'article. Je me concentre sur un autre article sur les groupes finis, et nous en rediscuterons lorseque nous aurons terminé. Jean-Luc W 6 mars 2007 à 22:43 (CET)

Désolé, je n'ai pas consulté l'exposé de Serre, et ne connais pas le contenu exact. Toutefois, suivre de près le plan de l'exposé de Serre, c'est tomber dans la violation de droit d'auteurs (et donc voir l'historique purgé). En général, il faut éviter d'utiliser une unique référence, ou en tout cas, de réutiliser le mode d'exposition qu'elle emploie. Il faut en parler à HB si tu as suivi le plan du livre de Serre : je crois qu'un simple revert ne suffit pas. (J'ai déjà connu ça ; mais le pire, je n'étais pas responsable de la violation : j'ai contribué sur un article déjà avancé sans prendre la peine de vérifier les sources indiquées.)

Sinon, je ne me sens pas d'attaque de rédiger cet article et te laisse le soin de le faire : je manque certainement de recul sur le sujet pour donner une vision globale. Mes remarques avaient seulement pour objectif de mentionner les manques de l'article pour expliquer pourquoi j'ai mentionné bon début ci-dessus, et non bon avancement. Et pour que des contributeurs passant par là puissent éventuellement y tenir compte.

Ekto - Plastor 7 mars 2007 à 00:09 (CET)

Bonjour,

Je suis assez d'accord avec les critiques générales d'Ektoplastor : il manque dans cet article tout sur les représentations des groupes de Lie, topologiques, etc. En fait, quand j'avais rédigé cet article, je m'étais dit qu'il servirait de première partie, qui pose le vocabulaire de base, et qu'ensuite il faudrait dire quelques mots, et pointer vers des articles à créer, sur les représentations des groupes finis, puis topologiques, compacts, de Lie, etc. Je n'ai jamais eu le courage de finir...

Cela dit, même comme ça, l'article a des défauts. Il manque déjà un peu de vocabulaire général : Jean-Luc W avait mis des paragraphes "sous-représentation" et "produit tensoriel", c'est sans doute une bonne idée. Ensuite, il manque d'exemples...

(Par contre, suivre le bouquin de Serre me paraît effectivement une mauvaise idée, même sans question de copyright : même s'il parle un peu d'autres choses, il est très orienté vers les groupes finis)

Sur la présentation de l'algèbre de groupe : je suis d'accord sur le fait que cette partie est, telle quelle, trop détaillée. Par contre, il me semble que c'est important de faire le lien relativement rapidement entre la théorie des modules et celle des représentations, justement parce que c'est quelque chose de très général... Donc oui, peut-être un article "Algèbre d'un groupe", mais je ne vois pas trop ce qu'on pourrait y mettre, mis à part : "ça sert à voir des représentations comme des modules".

Et c'est vrai qu'il manque une partie qui présente l'historique et les motivations de la théorie, mais là, je ne me sens absolument pas compétent (Pour les applications, d'ailleurs, il faudrait peut-être demander à des physiciens aussi).

Bon, tout ça pour dire : je n'ai pas énormément de temps, mais si personne ne se propose, je peux rédiger quelques mots sur les diverses théories des représentations, un peu dans l'esprit de ce qu'on trouve sur l'article anglais. Ce ne sera pas forcément génial, mais c'est au moins un début, parce que c'est vrai que ça manque pas mal dans l'article actuel. --Lyoa 7 mars 2007 à 11:00 (CET)

Je ne parlais pas du livre de Serre mais du cours de Serre sur les représentations dont une bonne partie traite des représentations des groupes de Lie nilpotent par la méthode de Kirrilov. Quand au problème de copyright, je ne crois pas sérieusement que le fait de suivre les grandes idées du cours de Serre, comme ce que font très généralement les prof dans l'exposition de la théorie de la représentation, représente une menace. Ma contribution est bien évidemment original est ne contient aucune recopie ou utilisation directe d'un plan. Jean-Luc W 7 mars 2007 à 13:50 (CET)

Ok. Je ne connais pas ce cours. Cela dit, je continue à penser qu'il vaut mieux développer les exemples du groupe symétrique dans l'article représentation des groupes finis (que tu as bien commencé je pense, même s'il faudra s'entendre sur ce qui va dans quoi exactement : par exemple, la notion de sous-représentation va à mon avis plutôt dans l'article général, mais ce que tu as écrit sur le produit scalaire reste dans l'article sur les groupes finis). À part ça, je n'ai pas grand chose à redire à ce que tu avais fait... (Pour les problèmes de copyright, je n'y connais rien de toute façon, et ne veux pas me prononcer)

Par contre, je pense que la méthode de Kirillov n'a pas non plus sa place dans cet article, mais plutôt dans un article représentation des groupes de Lie nilpotents... En fait, il y a énormément de choses à dire, et il faudrait créer un grand nombre d'articles sur le sujet. Je pense que ce qu'attend Ektoplastor ici, et ce que je pensais faire dans une deuxième partie, c'est en gros un index, qui donne quelques lignes sur chaque sujet, puis des liens vers ailleurs (en gros : représentation des groupes finis, des groupes compacts (th. de Peter-Weyl), des groupes localement compacts (dualité de Pontriyagin, analyse harmonique), des groupes de Lie (semi-simples, nilpotents, avec la relation avec les algèbres de Lie), des groupes algébriques. (Et du coup, les exemples devraient être plutôt développés dans les articles correspondant).

Si le cours sur lequel tu te bases traite un peu de tout ça, et/ou que tu te sens d'en parler en quelques lignes, c'est avec plaisir que je te laisse le travail ; sinon, je m'en chargerai dès que je pourrai. Si tu veux toucher aux généralités, personnellement ça ne me dérange pas. Le seul problème est qu'à mon avis, les deux parties devraient avoir à peu près la même importance.

(Et bien sûr, si tu connais des choses intéressantes à dire dans une partie historique, ne te gêne pas).

--Lyoa 7 mars 2007 à 14:27 (CET)

[modifier] Analyse du cas fini et du cas général

[modifier] Le cas fini

Un petit mot sur ma méthode de travailler, je commence souvent l'article principal, puis dès qu'un paragraphe devient trop vaste, je m'arrète et j'ouvre un nouvel article sur le sujet précis. Par exemple, pour les caractères, j'ai ouvert un nouvel article, qui lui-même est trop vaste et donc débouche sur un troisième article Lemme de Schur. J'ouvrirais alors probablement la semaine prochaine les représentations régulières etc...

Dans les exemples, le groupe symétrique dans son ensemble me semble un peu riche. A terme je verrais S₃ car il est simple, S₄ car c'est la base qu'a utilisé Frobenius pour monter les fondements de la théorie et probablement S₅ à cause des travaux de Klein qui y voit un axe géométrique d'analyse du théorème d'Abel, c'est un des exemples de base qui établit un pont entre géométrie et algèbre développé ensuite par Hilbert.

Pour le produit scalaire, je n'ai pas encore d'idée claire. Il est indispensable pour les groupes duals et particulièrement la transformée de Fourier sur les corps finis, mais le cas de caractéristique fini est un peu lourd. On pourra décider une fois le sujet débroussaillé. Pour le produit tensoriel, il est à mon avis à terme à dégager dans un article à part car c'est une méthode essentielle pour les groupes produits (directs ou non) et le sujet est lourd, il cache tout le développement d'Artin et les algèbres de groupes.

[modifier] Le cas général

Il est largement plus complexe. En dehors du cas compact, ou la théorie est presque la même que le cas fini, on tombe tout de suite sur des grosses bases manquantes dans WP.

Même pour le cas compact, les outils de base que sont Théorie de la mesure, Mesure de Haar et Variété différentielle sont vraiment faibles pour permettre autre chose que de citer des résultats avec un vocabulaire totalement absent de WP.

J'imagine déjà qu'une limitation au groupe de Lie de dimension finie simplifie la tâche. Déjà l'article sur la question ne contient que des faits bruts sans l'ombre d'une explication pour ceux qui ne connaissent pas le sujet. J'imagine de Kirrilov et les représentations des nilpotents méritent un article, mais, s'ils ne sont pas inclus aussi dans l'article sur les représentations en général, on aura du mal à faire comprendre au lecteur l'intérêt de la notion.

Pour le cas général (dimension infinie ou groupe topologique) il me semble devoir être citer, mais pas la peine de s'escrimer, comme les bases sont abstentes, il me semble difficile que de faire autre chose que de citer les grands thèmes.

[modifier] Conclusion

Pour l'instant je ne traite pas pour le cas fini les trois grands sujet encyclopédiques que sont pour moi, l'histoire la motivation et les applications. Je ne les traite que dans les articles secondaires (théorème de Maschke Lemme de Schur et Caractère et je t'attend pour le traiter dans le cas des représentations finis. Je te laisse donc commencer le boulot, nous coordonnerons une fois nos parties plus avancées si tu penses que c'est la bonne méthode. Jean-Luc W 9 mars 2007 à 17:19 (CET)

PS Sous-représentation, représentation irréductible, produit scalaire, caractère doivent, et j'en suis conscient migrer à terme vers le cas général. Cependant, sans définition claire il est difficile de faire un système cohérent, c'est pour cela que je les ai mis dans le cas fini pour l'instant. En fait, nous aurons à terme une alternative: un article de synthèse avec l'histoire la motivation les liens avec les autres branches des mathématiques de la physique et du reste (informatique and co) et les grands résultats avec un article plus mathématique avec des titres du style théorie de la représentation et représentation d'un groupe, soit un seul article. Jean-Luc W 9 mars 2007 à 17:28 (CET)

[modifier] Théorie de la représentation ?

Salut, j'ai vu qu'on a une catégorie appelée théorie de la représentation. Est-ce que je suis le seul pour qui c'est la première occurence de cette expression ? Je préconiserais plutôt théorie des représentations.Salle 17 mars 2007 à 00:34 (CET)

+1, même si ça se défend, ça ne me semble pas l'usage en mathématiqueS Peps 17 mars 2007 à 09:55 (CET)

+1, pour moi cela devrait être théorie des représentations d'un groupe Jean-Luc W 17 mars 2007 à 17:08 (CET)

renommé en théorie des représentations. J'ai laissé tomber le d'un groupe.Salle 18 mars 2007 à 13:15 (CET)

Il y a effectivement une théorie sur les catégories, et qui explique même pourquoi on surnomme le théorème de dualité de Riesz "théorème de représentation". Comme ce théorème est très utilisé, en particulier en physique, en mécanique... partout où on fait des formulations variationnelles, des puissances virtuelles, des bra-kets... disposer d'une page qui l'explique est plutôt indispensable, et quand ce sera fait, la page actuelle sur les groupes sera bien-sûr citée tôt dans l'article général sur les représentations de manière à orienter les lecteurs.

En plus, personnellement je comprends mieux les différentes théories des représentations une fois que j'ai saisi l'idée de fond commune à toutes.

Vos opinions sont les bienvenues. Almeo 1 juin 2007 à 13:16 (CEST)

[modifier] Renommage

Y a-t-il un argument contre le renommage de cet article en Représentation de groupe ? Ambi graphe, le 22 février 2008 à 09:25 (CET)

Si je devais faire un classement des mes titres préférés on trouverait :

Représentation d'un groupe
Représentation de groupe
Représentations d'un groupe
Représentations des groupes
Représentation des groupes

Tu proposes mon deuxième choix au lieu de celui qui pour moi est le pire (une représentation s'applique à un groupe et un groupe comporte plusieurs représentations). L'avantage entre le n°1 et le n°2 est à mes yeux ténus, si d'autres arguments te poussent à conserver ta proposition, je n'y vois personnellement aucun inconvénient. Jean-Luc W (d) 22 février 2008 à 09:37 (CET)

Nous sommes d'accord. Mais la première formulation risque pour moi de faire croire qu'un groupe admet une seule représentation. Pour moi il n'y a que deux formulations sensées : la deuxième (qui traite du concept de représentation, le complément de groupe ne servant qu'à résoudre l'homonymie) et la troisième. Les deux dernières seraient pertinentes s'il y avait plusieurs groupes en jeu, ce qui n'est pas le cas a priori.

Pour choisir entre les formulations 2 et 3, j'applique la règle de nommage au singulier. Merci pour ta prompte réponse. Ambi graphe, le 22 février 2008 à 12:12 (CET)

[modifier] Qu'est-ce que l'algèbre d'un groupe ?

Merci d'excuser la naïveté de ma question, mais à la lecture de l'article je bloque sur la notion de K-algèbre d'un groupe. Je ne comprends pas comment on peut donner un sens à une combinaison linéaire d'éléments du groupe : que signifie par exemple a.g, où a ∈ K et g ∈ G (sauf si G est également inclus dans un espace vectoriel, bien sûr). --MPerrin (d) 8 mars 2008 à 03:51 (CET)

J'ai du mal à trouver une explication autre que celle donnée dans l'article. a.g n'est qu'une notation formelle ou symbolique. On peut aussi présenter les choses comme suit : si $x = \sum a.g$ avec a dans K et g dans G, tu peux considérer cette notation comme une fonction associant à chaque élément g de G un scalaire a qui lui est affecté, sauf que la somme étant finie, cette fonction doit être nulle sauf sur un nombre fini d'éléments de G.

Bien sûr, s'il existe un injection de G dans un groupe linéaire GL(E), K[G] se plonge naturellement dans l'algèbre linéaire L(E), mais cela signifie qu'on a déjà une représentation de G dans GL(E), or l'objet de l'article est précisément de mettre en évidence de telles représentations sans qu'on en connaisse une a priori, d'où la nécessité d'introduction en premier lieu de cet espace abstrait K[G].Theon (d) 8 mars 2008 à 09:18 (CET)

Voilà une idée aussi abstraite que fructueuse. Avec un peu d'habitude, elle devient parfaitement naturelle. Pour guider l'intuition, je propose deux démarches naturelle une géométrique et une arithmétique.

[modifier] Par la géométrie

Un groupe fini, se représente par un groupe de symétries (à prendre ici au sens d'isométrie) dans un espace vectoriel. L'intérêt réside dans le fait d'incarner ce groupe pour disposer de la puissance des outils de l'algèbre linéaire. Etudier le groupe revient à étudier un groupe d'isométries stables par composition.

Pour étudier un endomorphisme a, une idée naturelle est d'étudier son algèbre, c'est à dire le plus petit ensemble contenant les homothéties et a et stable par combinaison linéaire et composition. Cette idée est développée dans l'article polynôme d'endomorphisme par exemple. Si le groupe G est incarné par un groupe d'isométries, un élément g du groupe est alors pensé comme une isométrie sur un espace E, il devient parfaitement naturel d'étudier l'algèbre du groupe c'est à dire la plus petite algèbre contenant les homothéties et G. Dans cette algèbre, chaque élément apparaît comme une combinaison linéaire d'élément de G.

Cette idée est développée dans l'article d'exemple Représentations du groupe symétrique d'indice trois. On la trouve aussi dans Représentations du groupe symétrique d'indice quatre, mais attention. L'objectif est biensur de trouver les représentations les plus simples, pour cette raison le groupe des symétries d'ordre quatre est représentée comme une extension des groupes de rotations d'un triangle équilatéral, ce qui revient à un groupe de rotation du cube. Il ne faut surtout pas tenir compte d'une incarnation plus complexe comme celle du cuboctaèdre. La difficulté est de rester le plus simple possible, sinon l'approche de la représentation ne comporte plus d'intérêt.

[modifier] Par l'arithmétique

La théorie de Galois permet une autre vision d'un groupe. Considérons un corps de nombres K sur Q (c'est à dire d'un ensemble disposant d'une structure de corps et d'une structure d'espace vectoriel sur les nombres rationnels). On choisit ici le corps de nombre fini, c'est à dire qu'il forme un espace vectoriel de dimension finie sur Q (extension finie). On choisi K pas trop complexe, c'est à dire que si un polynôme à coefficients dans Q admet une racine dans K, il admet aussi toutes ses racines dans K (on parle d'extension de Galois.

Un groupe apparaît naturellement, celui des automorphismes de K. Ce groupe porte le nom de groupe de Galois et joue un rôle fondamental en arithmétique. Si le corps K choisi est celui des nombres de la forme a + i.b avec a et b rationnel (on parle de rationnel de Gauss) les deux seuls automorphismes sont l'identité et la fonction conjuguée. Une fois encore, il est naturel de considérer l'algèbre de ces automorphismes. Dans notre exemple cette algèbre forme un corps isomorphe aux rationnels de Gauss. Cette idée permet de construire le corps des quaternions cf Représentations du groupe des quaternions.

Cette idée est maladroitement évoqué pour les Représentations du groupe symétrique d'indice quatre. Le lecteur avisé évitera bien naturellement de lier cette approche à la résolution de l'équation d'ordre quatre. Kronecker a tenté cette approche et s'est retrouvé face à 24 matrices de 24x24 sur lequel il n'a rien pu faire. La bonne approche est celle de considérer cette structure comme une algèbre, on montre qu'elle est le produit de plusieurs algèbres correspondant chacune à une algèbre d'endomorphisme sur un bon espace vectoriel. Ce résultat est un des fondements de la théorie des algèbres de cette nature, le corps associé à l'espace vectoriel n'est néanmoins pas toujours commutatif (cf Théorème d'Artin-Wedderburn). Jean-Luc W (d) 8 mars 2008 à 12:14 (CET)

Merci pour vos réponses, surtout celle de Jean-Luc qui a du lui prendre pas mal de temps. J'ai suivi les liens donnés par Jean-Luc, et je suis tombé sur les articles Représentation régulière et Algèbre d'un groupe fini, qui ont un peu éclairé ma lanterne. Mon but ici est d'améliorer l'article en relevant quelque chose de pas évident pour le profane (moi) et qui aurait pu passer inaperçu aux yeux du spécialiste. En fait, j'aurais du dire « dans la section sur les algèbres de groupe, je bloque sur la phrase "Notons K[G] le K-espace vectoriel engendré par les éléments de G" », car je ne savais pas que l'on pouvait associer canoniquement un espace vectoriel à un groupe G quelconque, et construire une loi externe permettant de donner un sens à a.g. Après avoir lu les articles Représentation régulière et Algèbre d'un groupe fini, j'ai compris une façon de construire cet espace vectoriel, mais j'ai l'impression que cette construction n'est valable uniquement dans le cas d'un groupe fini. Dans ce cas, il suffirait de modifier l'article en renvoyant vers l'article détaillé ? --MPerrin (d) 9 mars 2008 à 06:53 (CET)

Si A est un ensemble quelconque, on peut définir K[A] comme l'espace vectoriel des combinaisons linéaires finies d'éléments de A, autrement dit, on pose a priori que les éléments de A forment une base d'un espace vectoriel. A peut être infini. Le cas d'un groupe apporte la possibilité de définir un produit, et donc de faire que K[G] est une algèbre. Mais G peut être infini. Simplement, les combinaisons linéaires ne sont que des sommes finies.Theon (d) 9 mars 2008 à 13:41 (CET)

Merci, tout est clair maintenant. J'ai modifié l'article suite à tes remarques ; n'hésite pas à remettre à ta sauce. --MPerrin (d) 9 mars 2008 à 19:10 (CET)

Le miracle est que cette théorie se généralise merveilleusement si le groupe est infini. L'affaire est néanmoins un peu différente de celle qu'imagine Théon. Comme dans la grande majorité des cas, passer à la dimension infinie demande l'ajout d'une topologie, sinon les théorèmes perdus de l'algèbre linéaire rendront difficile l'élaboration d'une théorie fructueuse. Pour rendre les choses plus claires, passons par la géométrie, ici K = C le corps des complexes. Pour fixer les idées imaginons que le groupe G est un tore de dimension 1. Pour faire simple, on l'incarne par le cercle unité des complexes. Il dispose non seulement d'une topologie mais d'une mesure, dite de Haar (cette configuration est très générale, elle s'applique pour tous les groupes topologiques relativement compact). Un élément de l'algèbre associe un coefficient à chaque élément du groupe. C'est donc une fonction de C dans le tore ou encore une fonction périodique à valeur dans C. L'algèbre est un peu trop vaste, il faut la restreindre, mais peut être pas de la manière que Théon imagine. Le mieux est de considérer les fonctions L² c'est à dire les fonctions de carré intégrable. Maintenant, le monde des représentations est devenu celui des transformées de Fourier, et les représentations irréductibles les fonctions trigonométriques. Cette démarche très générale correspond à une branche des mathématiques appelées théorie des représentations des groupes de Lie, les algèbres associées sont des C étoiles algèbres.

Comme précédemment, il est aussi possible d'utiliser l'arithmétique pour généraliser les représentations à des groupes infinis. Comme précédemment, on peut imaginer une extension de corps, par exemple celui des rationnels. On peut imaginer aussi que cette extension n'est pas de dimension finie, comme par exemple la plus petite extension de Q dans lequel toutes les équations du second degré ont deux racines (cette extension s'appelle la clôture quadratique). Comme précédemment, cette extension admet un groupe de Galois, c'est à dire le groupe des automorphismes du corps, qui cette fois est infini. Un des plus beau succès du XXe siècle fût de comprendre les structures de cette nature si le groupe est abélien. La théorie associée s'appelle celle des corps de classe. Si le groupe n'est pas abélien, on tombe sur un des grands pans de la recherche vivante en arithmétique (cf programme de Langland). Une fois encore, l'adjonction d'une topologie est nécessaire, elle est délicieusement subtile, mais un peu complexe (cf topologie de Zariski).

Je déconseille de creuser la piste arithmétique pour la dimension infinie, elle est un peu abstraite. Jean-Luc W (d) 9 mars 2008 à 22:06 (CET)

PS: La méthode proposée pour l'extension à des groupes quelconques possède un avantage mais un inconvénient. L'avantage : elle est simple et rigoureuse. L'inconvénient : plus aucun théorème n'est démontrable, ce qui rend cette généralisation inutile. Le lecteur avisé remarquera que dans l'article Algèbre d'un groupe fini toutes les sommations sont de la nature suivante :

$\lambda_i = \frac{1}{d_i}\sum_{s \in G} u_s \chi_i(s)$

La généralisation prend, dans le cas simple, la forme suivante :

$\lambda_i = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{s \in G} u_s \chi_i(s)ds$

Il faut malheureusement sommer sur tout le groupe pour obtenir un théorème.

La définition proposée interdit ce genre de sommation, la généralisation simple est une C*-algèbre pour les groupes de Lie et beaucoup plus complexe pour les groupes algébriques d'ordre infini (cf Groupe profini). En conséquence, on utilise pas le type de généralisation proposé dans l'article pour les représentations des groupes. Jean-Luc W (d) 9 mars 2008 à 22:56 (CET)

Il faudrait savoir si, dans le paragraphe Représentation de groupe#K-algèbre d'un groupe, G est fini ou pas. Les remarques de Jean-Luc W indiquent qu'on n'ulise pas K[G] si G est infini. Dans ce cas, G est fini. Mais alors, il faut le préciser et l'information selon laquelle les combinaisons linéaires sont finies est superflue. Ce passage de l'article demande donc une modification. Theon (d) 10 mars 2008 à 07:56 (CET)

Excuses, Theon, mon manque de clarté. L'expression C[G] est bel et bien utilisée dans le cas où G est infini, par exemple pour les groupes de Lie. En revanche elle correspond, en géométrie, aux fonctions de carré intégrable, c'est à dire à une C^* algèbre et non à l'ensemble des combinaisons linéaires finies. La situation est un peu analogue à la généralisation des espaces de fonctions, Rⁿ se généralise à R^R, mais l'espace considéré n'est en général pas celui des fonctions nulles partout sauf sur un ensemble fini de points mais plutôt les fonctions de carré intégrables, par exemple. Les bases existent encore, mais au sens de Hilbert et non plus au sens de Hamel (tout vecteur s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire finie d'éléments de la base). Si G est infini, une base prend le sens de Schauder, les combinaisons linéaires finies forment une partie dense de l'espace. Le cas le plus simple est celui d'une généralisation de type espace fonctionnelle. Le cas plus difficile correspond à un complété d'un espace un peu de la forme que tu préconise. On considère une une suite de groupes algébriques emboités, le calcul reste vrai pour chaque groupe et on passe à la limite. Parler du deuxième cas dans un article comme celui-ci me semble inadéquat, car trop complexe. Dans les deux cas, les combinaisons linéaires utilisées pour fonder la théorie concernent l'ensemble des éléments de G. Jean-Luc W (d) 10 mars 2008 à 14:49 (CET)

Oui, mais dans le cas où G est infini, la définition donnée de K[G] dans l'article ne correspond pas à celle que tu donnes ci-dessus. Donc dans ce cas également, l'article demande une modification. Theon (d) 10 mars 2008 à 19:26 (CET)

Parfaitement exact. C'est une des nombreuses imprécisions de l'article. Jean-Luc W (d) 10 mars 2008 à 20:04 (CET)