Utilisateur:Lyoa/Brouillon

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L'idée générale de la théorie des représentations est d'essayer d'étudier un groupe G en le faisant agir sur un espace vectoriel V de manière linéaire. On veut ainsi « représenter » G comme un sous-groupe d'un groupe linéaire. On peut ainsi, à partir des propriétés relativement bien connues du groupe des automorphismes de V, arriver à déduire quelques propriétés de G.

Il est parfois utile de poser des restrictions sur cette action. Par exemple, lorsque G et V sont munis d'une topologie, il est naturel d'exiger que l'action soit continue. Lorsque V est un espace de Hilbert, on peut exiger que les éléments de G agissent comme des isométries de V. On parle alors de représentation unitaire.

On peut aussi, par extension, parler de représentations qui ne sont pas linéaires. On veut alors simplement « représenter » le groupe G comme un groupe d'automorphismes d'une certaine structure. D'un point de vue catégorique, si X est un objet d'une catégorie C, une représentation, pour la catégorie C, de G est un morphisme de groupe de G vers Aut(X). Par exemple, si C est la catégorie des ensembles, une représentation est une action de groupe. On peut ainsi parler de représentation projective, etc. Il ne sera cependant question dans cet article que de représentations linéaires.


Sommaire

[modifier] Historique / Motivations

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[modifier] Définitions

Soit G un groupe, K un corps et V un espace vectoriel sur K. On appelle représentation de G un morphisme de groupe de G dans GL(V), autrement dit, d'une application \rho \,:\,G\to GL(V) telle que ρ(g1)ρ(g2) = ρ(g1g2), c'est-à-dire que l'application préserve la loi du groupe.

Pour écrire l'action d'un élément g du groupe sur un élément v de l'espace vectoriel à travers la représentation ρ, on notera parfois ρ(g)(v) ρ(g).v ou même g.v s'il n'y a aucune ambiguïté. On note parfois une représentation (V,ρ). On dit parfois également (et abusivement) que V est une représentation de G.

On dit que la représentation est fidèle si le morphisme ρ est injectif. Si par ailleurs V est de dimension finie, cette représentation permet alors de voir G comme un groupe de matrices. La dimension de V est alors appelée degré de la représentation. Si V est de dimension infinie, alors les ρ(g) sont des opérateurs linéaires.

[modifier] Lien avec la théorie des modules

Icône de détail Article détaillé : algèbre d'un groupe.

Notons K[G] l'algèbre du groupe G sur K. Soit (V,ρ) une représentation de G sur le corps K.


On peut étendre, et ce de façon unique, la représentation ρ à un morphisme de K-algèbres de K[G] vers End(V), en posant \rho(\sum_{g\in G}a_g g) = \sum_{g\in G}a_g \rho(g). Ceci fait de V un K[G]-module. On dit également que V est un G-module.

Réciproquement, la donnée d'un K[G]-module V fournit une représentation de G. Formellement, on parle d'équivalence de catégorie entre les représentations de G et les K[G]-modules.

Le passage par l'algèbre du groupe est cependant mieux adapté en général pour l'étude des représentations des groupes finis, ou même plus généralement discrets. Si le groupe est muni d'une topologie, on ne s'intéresse en général qu'aux représentations continues, ou même unitaires. Il y a alors des K[G]-modules qui ne correpondent pas à une telle représentation. On peut tout de même, dans certains cas, définir des algèbres qui jouent un rôle comparable à l'algèbre du groupe. Par exemple, les représentations unitaires des groupes localement compacts peuvent être vus comme des modules sur la C*-algèbre du groupe.

[modifier] Morphismes

Un morphisme \varphi entre deux représentations (V,ρ) et (W,σ) est simplement une application K-linéaire de V dans W telle que pour tout g appartenant à G on ait \varphi\circ\rho(g)=\sigma(g)\circ\varphi

On dit alors aussi que \varphi:V\to W est un morphisme G-équivariant.

Deux représentations sont dites semblables, ou isomorphes lorsqu'il existe un isomorphisme G-équivariant entre les espaces correspondants. Il est alors possible de les identifier.

En terme de modules, un morphisme entre deux représentations n'est rien d'autre qu'un morphisme de K[G]-modules.

[modifier] Exemples

  • Commençons par l'exemple le plus évident : si G est donné comme un sous-groupe de GLn(K), G agit naturellement sur Kn. La représentation associée est appelée représentation standard.
  • G agit sur lui-même par multiplication à gauche ; ceci définit une représentation sur K[G]. La représentation associée est appelée représentation régulière. Il est intéressant de noter que si G est un groupe fini, toute représentation irréductible est une sous-représentation de la représentation régulière.
  • Une représentation de \Z est entièrement déterminée par l'image de 1, et la seule contrainte est que celle-ci doit être inversible. Ainsi, une représentation de \Z est la donnée d'un élément de GL(V).

[modifier] Sous-représentations et irréductibilité

[modifier] Définitions

La notion de sous-représentation correspond à celle de sous-espace vectoriel compatible avec la représentation. Elle correspond à la définition suivante :

  • Un sous-espace vectoriel W de V est dit stable ou invariant pour la représentation (V, ρ) si et seulement si, il est stable par tous les automorphismes ρs si s parcourt G.

Cette définition introduit naturellement la suivante :

  • Une sous-représentation (W, ρw) d'une représentation (V, ρ) est une représentation sur un sous-espace vectoriel W stable par toutes les images des éléments de G par ρ et du morphisme ρw qui à un élément s de G associe la restriction de ρs à W.

On remarque que la restriction à W de ρs est bien un automorphisme de W car ρs est un automorphisme laissant W invariant.

Cette définition correspond exactement à celle de sous-K[G] module. Dans le cas d'une représentation de \Z, la notion de sous-représentation est celle d'espace stable par un endomorphisme.

[modifier] Somme directe

Si (V1,ρ1) et (V2,ρ2) sont deux sous-représentations d'une même représentation W de G, on peut former leur somme directe. Celle-ci est la représentation définie de la façon suivante : l'espace vectoriel sur lequel G agit est la somme directe de V1 et V2, et l'action de G est définie de la façon suivante : g.(v1,v2)=(ρ1(g)v1,ρ2(g)v2), lorsque v1 est dans V1, et v2 dans V2.

[modifier] Irréductibilité

On dit qu'une représentation V d'un groupe G est irréductible si elle n'admet pas de sous-représentation différente de V et du vecteur nul. Par exemple, la représentation standard de GLn(K) sur Kn est irréductible. Cela correspond au fait que le K[G] module est simple.


Le fait de considérer des représentations irréductibles permet de beaucoup simplifier certains raisonnements : par exemple, le lemme de Schur affirme qu'un morphisme entre deux représentations irréductible est soit nul, soit inversible.

On peut souvent ramener l'étude des représentations de G à l'étude de ses représentations irréductibles : si V n'est pas irréductible, on peut toujours considérer un sous-espace vectoriel de V qui soit stable par G. Si jamais V est de dimension finie, on pourra ainsi finir par trouver un sous-module simple.

Dans le contexte général de l'algèbre linéaire, l'existence d'un sous-espace stable W par un endomorphisme ne permet pas une décomposition de V en deux sous-espaces stables supplémentaires. Pour s'en rendre compte, considérons l'endomorphisme de \R^2 défini par la matrice A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  : la droite engendrée par le vecteur (1,0) est un sous-espace stable qui n'a pas de supplémentaire.

La donnée de cet endomorphisme est celle d'une représentation de \Z, et un sous-espace stable par A est une sous-représentation de \R^2. On voit ainsi qu'il est possible qu'une sous-représentation n'ait pas de supplémentaire.


Ceci justifie la définition suivante. Une représentation est complètement réductible si chaque sous-représentation de V admet une sous-représentation supplémentaire. Si V est de dimension finie, cela entraîne que V s'écrit comme une somme directe de représentations irréductibles. En termes matriciels, cela signifie qu'on peut trouver une base dans laquelle la représentation de G soit faite par des matrices diagonales par blocs, où chacun des blocs est une représentation irréductible. En terme de modules, cela signifie que le K[G]-module V est semi-simple.


Il est possible de montrer la complète réducibilité des représentations de certains types de groupes. Par exemple, le théorème de Maschke montre qu'une représentation d'un groupe fini en caractéristique nulle est toujours complètement réducible. Il s'étend aux groupes compacts. On peut également montrer que les représentations de dimension finie des groupes de Lie semi-simples sont elles-même semi-simples.

[modifier] Branches de la théorie des représentations

[modifier] Représentations des groupes finis

Icône de détail Article détaillé : Représentation des groupes finis.

Les représentations des groupes finis ont été historiquement les premières à avoir été étudiées. Elles interviennent dans de nombreux domaines des mathématiques et de la physique. C'est sans doute la théorie la mieux comprise, au moins dans le cas où le corps de base est de caractéristique nulle ou première avec le cardinal du groupe. Le théorème de Maschke montre alors que les représentations de G se scindent en somme directe de représentations irréductibles. Ces dernières sont données par les caractères du groupe.

Lorsque la caractéristique du corps divise le cardinal de G, la théorie devient plus difficile. On parle alors de représentation modulaire.

[modifier] Représentations des groupes compacts

L'essentiel des résultats sur les représentations des groupes finis s'obtient en effectuant une moyenne sur le groupe. Ce raisonnement peut être adapté aux groupes compacts, pour lesquels on dispose d'une mesure de Haar de masse totale 1. Par exemple, le théorème de Maschke se généralise : toute représentation est somme directe de représentations irréductibles. Le théorème de Peter-Weyl donne un analogue au fait que toute représentation d'un groupe fini est incluse dans la représentation régulière. Il permet de trouver une base hilbertienne de l'espace L²(G) en fonctions des représentations irréductibles de G.

[modifier] Lien avec l'analyse harmonique

Analysons ce qui se passe lorsque G est le groupe (compact) des nombres complexes de module 1. Les représentations irréductibles de G sont de dimension 1, elles sont données par la formule e^{i\theta}\mapsto e^{ik\theta}, où k est un entier relatif. Le théorème de Peter-Weyl permet alors d'écrire toute fonction de carré intégrable sur G comme limite de combinaisons linéaires de telles fonctions. Autrement dit, les eikθ forment une base de l'espace des fonctions réelles, 2π-périodiques, de carré intégrable sur [0,2π]. On retrouve ainsi la théorie des séries de Fourier. Cet exemple montre le lien fort existant entre l'analyse harmonique et la théorie des représentations.

Dualité de Pontryagin

[modifier] Représentations des groupes de Lie

Icône de détail Article détaillé : Représentation des groupes de Lie.

Si G est un groupe de Lie, on peut s'intéresser aux représentations continues de G vers un espace vectoriel réel (ou complexe) V de dimension finie. On peut alors montrer que le morphisme associé G\to GL(V) est différentiable, i.e. est un morphisme de groupe de Lie. Il est alors possible d'étudier la représentation d'algèbre de Lie associée \mathbf g\to \mathbf{gl}(V), et si G est connexe, on retrouve ensuite la représentation du groupe. Ainsi, l'étude des représentations de dimension finie des groupes de Lie se ramène à l'étude plus simple des représentations d'algèbres de Lie.

Les théorème d'Engel et de Lie sont très utiles pour l'étude des représentations de dimension finie des groupes de Lie nilpotents ou résolubles  : toutes les matrices des endomorphismes de G sont alors simultanément trigonalisables, au moins sur le corps des complexes.

Dans le cas où G est un groupe de Lie semi-simple (par exemple, G=SL_n(\R), ces représentations sont bien connues : la structure de l'algèbre de Lie associée est donnée par son système de racines. Toute représentation est alors une somme directe de représentations irréductibles, et celles-ci sont donnés par des modules de plus haut poids.

Cas d'un groupe de Lie compact


Représentations en dimension infinie

[modifier] Représentations des groupes algébriques

[modifier] Références

  • Fulton et Harris, Representation theory : A first course, Springer, GTM
  • A.A. Kirillov, Éléments de théorie des représentations, éditions Mir, 1974. (traduit du Russe)
  • Knapp ?