Théorème de Lie

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Le théorème de Lie porte sur la structure des algèbres de Lie résolubles. Comme le théorème d'Engel, il s'agit d'un théorème de réduction simultanée.

Le théorème s'énonce ainsi :

Théorème : Soit \mathbb K un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur \mathbb K et \mathfrak g une sous-algèbre de Lie de \mathfrak{gl}(V). Alors il existe une base de V dans laquelle tous les éléments de \mathfrak g sont des matrices triangulaires supérieures.

Une conséquence importante de ce théorème est le critère de Cartan. On suppose ici simplement \mathbb K de caractéristique nulle. Pour \mathfrak g comme ci-dessus, on note K la forme bilinéaire sur \mathfrak g définie par K(X,Y) = tr(XY). K est la forme de Killing associée à \mathfrak g. Le critère de Cartan montre alors que \mathfrak g est résoluble si et seulement si K(\mathfrak g,D\mathfrak g)=0, où D\mathfrak g=[\mathfrak g,\mathfrak g].

Ce théorème est à son tour très utile pour établir le critère de Killing-Cartan : avec la même hypothèse sur \mathbb K, \mathfrak g est semi-simple si et seulement si K est une forme bilinéaire non dégénérée. Ce critère est le premier pas vers la classification des algèbres de Lie semi-simples.