Représentation d'algèbre de Lie

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En mathématiques, une représentation d'une algèbre de Lie est une façon d'écrire cette algèbre comme une algèbre de matrices, ou plus généralement d'endomorphismes d'un espace vectoriel, avec le crochet de Lie donné par le commutateur.

[modifier] Définition

Soit \mathfrak{g} une algèbre de Lie sur un corps K. Soit V un espace vectoriel sur K. L'espace vectoriel End(V) des endomorphismes de V peut être muni d'une structure d'algèbre de Lie, en posant : [A,B]=AB-BA. On note \mathfrak{gl}(V) l'algèbre de Lie ainsi obtenue.

Une représentation de \mathfrak{g} est un morphisme \phi\,:\,\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V). Autrement dit, φ est une application linéaire qui vérifie également φ([g,h]) = φ(g)φ(h) − φ(h)φ(g).

[modifier] Propriétés

Les représentations des algèbres de Lie sont très utiles dans l'étude des représentations des groupes de Lie. En effet, si on a une représentation d'un groupe de Lie G, sa différentielle est une représentation de l'algèbre de Lie de G.

[modifier] Voir aussi

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