Espace stable par un endomorphisme

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En algèbre linéaire, un endomorphisme laisse stable un sous espace vectoriel F quand les éléments de F ont pour image un élément de F.

La recherche de sous-espaces stables est étroitement liée à la théorie de la réduction des endomorphismes.

L'utilisation de sous-espaces stables permet de ramener des problèmes posés dans un espace de dimension n à des problèmes analogues en dimension inférieure, et éventuellement de mener à bien des démonstrations par récurrence.

Sommaire

1 Définitions
- 1.1 Représentation matricielle
- 1.2 Stabilité et trigonalisation
2 Propriétés
- 2.1 Droites et hyperplans stables
- 2.2 Commutation et stabilité

[modifier] Définitions

Soient E espace vectoriel et u endomorphisme de E.

Un sous-espace vectoriel F de u est dit stable quand $u(F)\subset F$ . Dans ce cas u induit sur F un endomorphisme

$u_F : \begin{matrix} F & \longrightarrow & F \\ x & \longmapsto & u(x)\end{matrix}$

Il ne faut pas confondre cette notion avec celle de restriction d'un endomorphisme. La restriction est en effet définie que F soit stable ou non, mais est une application linéaire de F dans E.

[modifier] Représentation matricielle

Si E est de dimension finie et muni d'une base adaptée à F (c'est-à-dire une base de F complétée en une base de E), la matrice représentative de u peut être notée par blocs

$\begin{pmatrix} A&B\\C&D\end{pmatrix}$

Alors F est un espace stable par u si et seulement si C=0, et dans ce cas la matrice de l'endomorphisme induit sur F est A.

[modifier] Stabilité et trigonalisation

On suppose encore E de dimension finie n. Un endomorphisme est dit trigonalisable quand il possède une matrice représentative triangulaire supérieure.

Cela revient à chercher des espaces $E_1\subset E_2\subset \dots \subset E_n=E$ , de dimensions respectives 1,2,..., n, tous stables par u. On parle alors de drapeau stable par u.

[modifier] Propriétés

[modifier] Droites et hyperplans stables

Une droite est stable par un endomorphisme si et seulement si elle est engendrée par un vecteur propre.

En dimension finie, un hyperplan est stable par l'endomorphisme u si et seulement s'il contient un espace de la forme Im( $u - λ$ Id), ce qui ne peut se produire que pour $λ$ valeur propre.

Dans un cadre euclidien, on peut donner une formulation duale : un hyperplan H est stable par l'endomorphisme u si et seulement si un vecteur normal à H est propre pour l'adjoint u^*.