Icosaèdre

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Icosaèdre
Icosaèdre
Type Polyèdre régulier
Faces Triangle
Éléments :
 · Faces
 · Arêtes
 · Sommets
 · Caractéristique		  
20
30
12
2
Faces par sommet 5
Sommets par face 3
Isométries Ih
Dual Dodécaèdre
Propriétés Deltaèdre régulier et convexe

Un icosaèdre est un polyèdre à 20 faces. Le préfixe icosa-, d'origine grecque, fait référence au nombre de faces.

Sommaire

[modifier] Icosaèdre régulier

L'icosaèdre régulier est le cinquième solide de Platon, polyèdre composé de 12 sommets et de 20 faces, chacun étant un triangle équilatéral, et dont 5 se rejoignent à chaque sommet. C'est le polyèdre régulier convexe ayant le plus grand nombre de faces.

  • L'angle dièdre vaut : \textstyle\theta=\pi-\arcsin\frac{2}{3}, soit environ 138° 11' 23.

Si a est la longueur d'une arête :

  • La surface vaut : A=5\sqrt{3}a^2
  • La hauteur vaut : a\varphi^2/\sqrt{3}
  • Le rayon de la sphère inscrite est : a\varphi^2/2\sqrt{3}
  • Le rayon de la sphère circonscrite est : {a\sqrt{1+\varphi^2}\over 2}

où \varphi = {(1+ \sqrt5) \over 2} est le nombre d'or.

  • Le volume vaut : V=\frac{5}{12}(3+\sqrt{5})a^3=\frac{5}{6}\left (\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right )^2a^3=\frac{5}{6}\varphi ^2a^3

[modifier] Patrons de l'icosaèdre régulier

Patron de l'icosaèdre régulier

[modifier] Groupe d'isométries de l'icosaèdre régulier

[modifier] Fascination de l'icosaèdre

  • Dans certains jeux de rôle, le dé à 20 faces (abrégé d20) est utilisé pour déterminer le succès ou l'échec d'une action. Ce dé est un icosaèdre.
  • En biologie moléculaire, beaucoup de virus, comme le virus de l'Herpès, ont la forme d'un icosaèdre. Les structures virales sont formées de sous-unités protéiques identiques répétées, et la forme d'un icosaèdre est la forme la plus adaptée pour assembler ces sous-unités, car elle permet un espace maximal pour le génome viral. En effet, parmi les solides de Platon, l'icosaèdre optimise la place occupée dans la sphère circonscrite.[réf. nécessaire]
  • En remplaçant chaque face de l'icosaèdre par une résistance de 1 |ohm, la mesure de la résistance entre deux coins opposés donne 0.5 ohms, et entre deux coins adjacents 11/30 ohms.

[modifier] Icosaèdre et dodécaèdre

En dépit des apparences, un icosaèdre inscrit dans une sphère occupe moins d'espace (60,54%) qu'un dodécaèdre inscrit dans la même sphère (66,49%).

[modifier] Voir aussi

wikt:

Voir « icosaèdre » sur le Wiktionnaire.


Solides géométriques
Les polyèdres
Les solides de Platon
Tétraèdre - Cube - Octaèdre - Icosaèdre - Dodécaèdre
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