Dodécaèdre adouci

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Dodécaèdre adouci

Type	Solide d'Archimède
Faces	Triangles et Pentagones
Éléments : · Faces · Arêtes · Sommets · Caractéristique	92 150 60 2
Faces par sommet	5
Sommets par face	3 et 5
Isométries	I_h
Dual	Hexacontaèdre pentagonal
Propriétés	Semi-régulier et convexe, chiral

Le dodécaèdre adouci ou icosidodécaèdre adouci est un solide d'Archimède.

Le dodécaèdre possède 92 faces dont 12 sont des pentagones et les 80 autres sont des triangles équilatéraux. Il possède aussi 150 arêtes et 60 sommets. Il a deux formes distinctes, qui sont les images dans un miroir (ou "énantiomorphes") l'une de l'autre.

[modifier] Relations géométriques

Le dodécaèdre peut être engendré en prenant les douze faces pentagonales du dodécaèdre, en les tirant de telle façon qu'aucune ne se touchent, puis en leur donnant toutes une petite rotation de leurs centres (toutes en sens horaire (Sh) ou toutes en sens anti-horaire (Sah)) jusqu'à ce que l'espace entre elles puisse être rempli par des triangles équilatéraux.

[modifier] Coordonnées cartésiennes

Les coordonnées cartésiennes pour les sommets d'un dodécaèdre adouci sont toutes les permutations paires de

$(\pm 2\alpha, \pm 2, \pm 2\beta)\,$ ,

$(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} + \tau), \pm(-\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1))$ ,

$(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1), \pm(-\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta - \frac{1}{\tau}))$ ,

$(\pm(-\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau - 1), \pm(\alpha - \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau + \beta + \frac{1}{\tau}))$ et

$(\pm(\alpha + \frac{\beta}{\tau} - \tau), \pm(\alpha \tau - \beta + \frac{1}{\tau}), \pm(\frac{\alpha}{\tau} + \beta \tau + 1))$ ,

avec un nombre pair de signes plus, où

$\alpha = \xi - \frac{1}{\xi}$

$\beta = \xi \tau + \tau^2 + \frac{\tau}{\xi}$ ,

où $\tau = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}$ est le nombre d'or et $\xi\,$ est la solution réelle de $\xi^3 - 2\xi = \tau\,$ , qui est le nombre magnifique

$\xi = \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{\tau}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{\tau - \frac{5}{27}}}$

ou approximativement 1,7155615. En prenant les permutations impaires des coordonnées ci-dessus avec un nombre impair de signes plus donne une autre forme, l'énantiomorphe de celle-ci.

Patron (géométrie)

[modifier] Références

Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, ISBN 0-486-23729-X

[modifier] Liens externes

(en) Les polyèdres uniformes
(en) Les polyèdres en réalité virtuelle L'encyclopédie des Polyèdres
(en) Modèle en fil de fer d'un dodécaèdre adouci irrégulier, Vincent Herr

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