Fonction gamma

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie).

Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels

La fonction gamma est, en mathématiques, une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale.

Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté en certains points).

[modifier] Définition

Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe

Pour $z \in \mathbb C$ tel que $\mathrm{Re}(z)>0\,$ , on définit la fonction suivante :

$\Gamma : z \mapsto \int_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,\mathrm{d}t$

Cette intégrale converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive.

En intégrant par parties, on montre que :

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z) \$

Cette fonction peut être ainsi prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0, −1, −2, −3, ... qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement "fonction gamma".

[modifier] Autres définitions

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Weierstrass, ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

$\Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}$

$\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}$

où $γ$ est la constante d'Euler-Mascheroni.

[modifier] Propriétés

[modifier] Lien avec la factorielle

La fonction gamma vérifie l'identité :

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z) \$

Comme en particulier $Γ(1) = 1$ , on en déduit :

$\forall\,n \in \mathbb N, \; \Gamma(n+1)=n!$

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction pi, introduite par Gauss :

$\Pi(z) = \Gamma(z+1) = z \; \Gamma(z),$

de telle façon que :

$\Pi(n) = n! \$ .

[modifier] Caractérisations

[modifier] sur l'ensemble des réels

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur $\mathbb R_{+}^{*}$ par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):

$\Gamma(1)=1\,$
la fonction composée $\ln \circ\, \Gamma\,$ est convexe sur $\mathbb R_{+}^{*}$
Pour tout $x>0\,$ , on a : $\Gamma(x+1)=x \; \Gamma(x)\,$

[modifier] sur le demi-plan complexe Re(z)>0

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur le demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt):

$\Gamma(1)=1\,$
$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)\,$
$|\Gamma(z)|\,$ est bornée dans la bande $1 \le \Re(z) \le 2$

[modifier] Autres propriétés

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments :

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z}$

et la formule de duplication :

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z).$

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :

$\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \frac{1}{m}\right) \; \Gamma\left(z + \frac{2}{m}\right) \cdots \Gamma\left(z + \frac{m-1}{m}\right) = (2 \pi)^{(m-1)/2} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz).$

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

$\operatorname{Res}(\Gamma,-n)=\frac{(-1)^n}{n!}.$

La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$ . Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction polygamma :

$\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z).\,$

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède l'expression intégrale suivante:

$\Gamma^{(p)}(x)=\int_{0}^{+\infty}{(\ln(t))^{p}\,t^{x-1}\,e^{-t}\,\rm{d}t}$

[modifier] Lien avec les sommes de Gauss

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif ( $x\mapsto x^s$ ).

[modifier] Lien avec d'autres fonctions

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}.$

La dérivée du logarithme de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

La fonction gamma réciproque est une fonction entière.

[modifier] Valeurs particulières

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma et de ses dérivées. La valeur de $Γ(1 / 2)$ peut être déduite de la formule des compléments :

$\Gamma(1-z) \; \Gamma(z) = {\pi \over \sin \pi z},$

ce qui implique :

$\Gamma(1/2) = \sqrt { \pi }.$

Cette valeur permet de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers.

$\Gamma(-3/2)= \frac {4\sqrt{\pi}} {3}$

$\Gamma(-1/2)= -2\sqrt{\pi}$

$\Gamma(1/2)= \sqrt{\pi}$

$\Gamma(1)=0!=1 \,$

$\Gamma(3/2)= \frac {\sqrt{\pi}} {2}$

$\Gamma(2)=1!=1 \,$

$\Gamma(5/2)=\frac {3 \sqrt{\pi}} {4}$

$\Gamma(3)=2!=2 \,$

$\Gamma(7/2)= \frac {15\sqrt{\pi}} {8}$

$\Gamma(4)=3!=6 \,$

et dans le cas général :

$\Gamma \left(n+\frac{1}{2}\right)= \left(n-\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(n-\frac{1}{2}\right)=\left(n-\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{3}{2}\right)\cdots\frac{3}{2}\, \frac{1}{2}\,\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!} \sqrt{\pi}$

En ce qui concerne ses dérivées, avec

γ

la constante d'Euler-Mascheroni:

$\Gamma'(1/2)=-\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))$

$\Gamma'(1)=-\gamma\,$

$\Gamma'(2)=1-\gamma\,$

$\Gamma''(1/2)=\sqrt{\pi}(\gamma+2\,\ln(2))^{2}+\frac{\pi^{5/2}}{2}$

$\Gamma''(1)=\gamma^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}$

$\Gamma''(2)=(1-\gamma)^{2}+\frac{\pi^{2}}{6}-1$

[modifier] Formule asymptotique de Stirling

La formule de Stirling donne un équivalent de la fonction Gamma, et par conséquent de la factorielle, au voisinage de l'infini.

Pour la factorielle, elle s'écrit :

$n\,! \sim \sqrt{2\pi n}\, {\left(\frac n e\right)}^n$ ,

ou, pour une meilleure précision :

$\begin{array}{ll}n\,! =& \displaystyle \sqrt{2\pi n}\,\left({n \over e}\right)^n \Bigg(1 + \frac{1}{12\ n} + \frac{1}{288\ n^2} - \frac{139}{51\ 840\ n^3} - \frac{571}{2\ 488\ 320\ n^4} \\ & \quad \displaystyle + \frac{163\ 879}{209\ 018\ 880\ n^5} + \mathcal{O} \left(\frac{1}{n^5} \right) \Bigg)\end{array}$