Fonctions spéciales
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L'analyse mathématique regroupe sous le terme de fonctions spéciales un ensemble de fonctions analytiques non élémentaires[1], qui sont apparues au XIXe siècle comme solutions d'équations de la physique mathématique, particulièrement les équations aux dérivées partielles d'ordre deux[2] et quatre[3].
Comme leurs propriétés ont été étudiées (et continuent d'être étudiées) extensivement, on dispose à leur sujet d'une multitude d'informations. Non seulement elles interviennent dans l'expression des solutions exactes de certaines équations aux dérivées partielles pour des conditions aux limites particulières, mais elles fournissent, par le biais des méthodes spectrales, les meilleures approximations numériques pour des conditions aux limites quelconques.
Certaines d'entre elles jouent également un rôle de premier plan en théorie des nombres (fonction zeta de Riemann, logarithme intégral).
[modifier] Liste des fonctions spéciales
Voir l'article détaillé Liste des fonctions spéciales.
- intégrales d'Euler : la fonction beta, la fonction gamma et les fonctions associées, fonction digamma, fonction gamma incomplète, fonction polygamma. Elles interviennent en calcul intégral, dans l'étude des séries et en calcul des probabilités.
- Fonction d'erreur, utilisée en calcul des probabilités et en physique statistique
- Logarithme intégral, qui intervient dans la répartition des nombres premiers
- sinus cardinal et sinus intégral de Fresnel, apparus dans l'étude de la diffraction
- Fonction d'Airy, introduite lors de l'étude de la diffusion lumineuse
- intégrales elliptiques, issues de l'étude des oscillations harmoniques de grande amplitude
- Les fonctions de Legendre, qui sont les solutions fondamentales de l'équation de Laplace sur la sphère
- Les fonctions de Bessel, qui sont les solutions fondamentales de l'équation de Laplace sur le cylindre circulaire
- La fonction de Hankel, solution particulière de l'équation des ondes en coordonnées cylindriques
- La fonction zeta de Riemann
- La fonction hypergéométrique relie par des équations fonctionnelles plusieurs fonctions spéciales entre elles
- Fonctions de Mathieu, apparues dans l'étude des vibrations de la membrane elliptique et du rayonnement électromagnétique
- Fonction theta, qui permettent d'exprimer les intégrales elliptiques
[modifier] Notes et références
- ↑ Le terme de « fonction élémentaire » désigne les fonctions polynômes, les lignes trigonométriques et hyperboliques, l'exponentielle, et les réciproques de toutes ces fonctions. Toutefois, certaines familles de polynômes orthogonaux (polynômes de Legendre, polynômes de Tchébychev) sont considérés par certains auteurs comme des fonctions spéciales.
- ↑ équation de Laplace, équation de Poisson, équation d'Helmholtz, équation de la chaleur, équation des ondes, etc.
- ↑ La plus connue est l'équation biharmonique, qui intervient notamment dans l'étude de la flexion élastique.
- J. Dieudonné - Calcul infinitésimal [détail des éditions]
- E. T. Whittaker, G.N. Watson - A course of Modern analysis (1902, réimpr. 1996) Cambridge Univ. Pr. coll. Cambridge Math. Libr. (ISBN 0-521-58807-3)
