Fonction bêta

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En mathématiques, la fonction bêta (qui est un type d'intégrale d'Euler, au même titre que la fonction gamma) est une fonction remarquable définie par :

\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt

pour (\Re(x), \Re(y)) \in (]0,\, +\infty[\,)^2.

La fonction bêta est dite symétrique, c'est-à-dire que :
Β(x,y)Β(x,y) = Β(y,x).

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :
\mathrm{\Beta}(x,y+1)={y \over x+y} \mathrm{\Beta}(x,y)

Elle a d'autres formes, à savoir :
\mathrm{\Beta}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\,\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
\mathrm{\Beta}(x,y) = 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2x-1}\theta\cos^{2y-1}\theta\,d\theta, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0\!
\mathrm{\Beta}(x,y) = \int_0^\infty\frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}\,dt, \qquad \Re(x)>0,\ \Re(y)>0 \!
Où Γ(x) est la fonction gamma d'Euler.