Discuter:Fraction continue

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J'ai l'intention de proposer prochainement la page « Fraction continue » au label « bon article ». Si vous estimez que la procédure est prématurée, vous pouvez me contacter pour me faire part de vos arguments.

Jean-Luc W (d) 15 juin 2008 à 15:00 (CEST)

[modifier] Fraction continuée ou fraction continue ?

Je désapprouve fortement le choix du titre. La traduction correcte est "fraction continue", qui est une expression insécable. Une fraction continue n'est pas une fraction et n'est pas continue au sens habituel de la continuité en mathématiques. La tradition terminologique francaise est fixée depuis longtemps et ce n'est pas a Wikipedia de chercher a la changer. Kilom691 30 août 2005 à 10:38 (CEST)

Je suis d'accord avec Kilom691. Le terme usuel en francais est «fraction continue». On devrait renommer l'article et les occurences éponymes en son sein. Witoki 1 septembre 2005 à 16:31 (CEST)

Cela dit les deux termes sont cités dans le “dictionnaire des mathématiques” de F. Le Lionnais. Maceo75

[modifier] Fraction continue ou continued fraction?

Copié depuis Discuter:Racine carrée de deux, où il y aura peut-être plus de réponses qu'ici.

Bon, il semblerait que Dieudonné voulût qu'on dît fraction continuée, mais moi, je ne veux pas, alors ce n'est pas un argument. Plus sérieusement, il me semble que l'usage est de dire Fraction continue. Je n'ai jamais entendu un collègue dire autre chose. Nous n'avons pas à nous poser en prescripteurs, et à aller contre l'usage. Quelqu'un pense-t-il que fraction continuée est répandu?Salle 21 septembre 2006 à 16:10 (CEST)

[modifier] doute ...

Voila, je doute:

"fraction continuée" sous Google: 773 resultats. "fraction continue" (ce qui me semble plus approprie): 23 300 resultats...

Ne pourrait-t-on pas changer de nom ?

Ico83 28 septembre 2006 à 11:33 (CEST)

[modifier] Renommage

À la demande générale, l'article a été renommé en fraction continue (terme plus usité) et tant pis pour Jean Dieudonné... --HB 28 septembre 2006 à 12:27 (CEST)

[modifier] Avertissement

A cette date, 3 décembre 2005, une première lecture révèle trois erreurs dans cet article (périodicité du développement pour tout nombre irrationnel, mauvais schéma de construction, mauvaise application aux nombres négatifs) que j'ai corrigées. Il est possible que d'autres erreurs persistent. Article à prendre avec précaution et à relire avec attention. HB 3 décembre 2005 à 09:44 (CET)

Je n'ai jamais entendu non plus l'expression de fraction continuée alors que j'ai toujours entendu fraction continue je partage donc l'avis précédent. Il existe une autre erreur sur l'équation de Pell. On pourrait remplacer p (resp q) par une suite

p n

(resp

q n

) mais on obtient une condition nécessaire en non suffisante. HB connais tu la condition nécessaire et suffisante autour de cette problématique? Si personne n'en connaît il va bien falloir un jour supprimer ce paragraphe. Jean-Luc W 3 décembre 2005 à 15:14 (CET)

ne pas supprimer mais corriger: l'équation de Pell fut résolue grâce aux fractions continues voir Serge Mehl. Les souvenirs sont vieux... Cet article comporte vraiment des erreurs (voilà ce qui arrive quand on traduit un article anglais faux).HB 3 décembre 2005 à 17:00 (CET)

Claudius 3 décembre 2005 à 16:21 (CET)

- S'agissant de la périodicité d'une fraction continue pour tout nombre irrationnel, faut-il mettre en ligne une démonstration avant que cela disparaisse de l'article ?

Seuls les nombres quadratiques ont un développement en fraction continue périodique (comme expliqué plus loin dans l'article)

- S'agissant du mauvais schéma de construction, quelle est l'erreur ?

L'erreur etait de dire que le développement de r était [0; i; ...] où i est la partie entière de 1/r et ... le développement de f, partie fractionnaire de 1/r. Ce qui donnerait pour r = 3/5, i = 1, puis f = 2/3 or le développement en fraction continue de 2/3 est [0;1;2]. ce qui selon le schéma qui était proposé aurait donné pour le développement de 3/5 : [0 ; 1 ; 0 ; 1 ; 2]. Développement faux. Le développement de 3/5 est [0 ; 1 ; 1 ; 2]. Il fallait donc prendre pour ... le développement de 1/f et non celui de f

- Et enfin, pourquoi l'application [de ce schéma], j'imagine, ne s'applique t'il pas aux nombres rationnels négatifs ?

l'article disait que le développement de -233/177 était [-1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 2] alors que c'est [-2 ; 1 ; 2 ; 6 ; 4 ; 2]. La fraction continue [-1 ; 3 ; 6 ; 4 ; 2] représente -121/177

HB 3 décembre 2005 à 17:00 (CET)

J'ai complété et corrigé le paragraphe sur l'équation de Pell. Mon souci principal rédidait dans une constante qui tend vers la racine de 2 alors qu'une constante ne varie pas à mon goût. De plus la condition nécessaire et suffisante n'a pas de sens. HB a toujours raison, des coquilles sont toujours là, par exemple un nombre transcendant ne semblent pas être considéré dans l'article comme de irrationnels. Jean-Luc W 4 décembre 2005 à 01:33 (CET)

A ce jour (mercredi 7 décembre), l'article a été considérablement modifié. Les premières coquilles ont été corrigées (HB et Jean-Luc W) mais je l'ai complété et remanié, il faudrait un relecture par un esprit neuf. Bon courage à celui qui s'y lancera. HB 7 décembre 2005 à 18:59 (CET)

[modifier] Visualisation d'un pavage par des carrés d'un rectangle

Voilà une approche bien sympathique. Pourquoi prendre L et l tel que la fraction soit égal à x? Pourquoi ne pas prendre x et 1? Cette solution aurait l'avantage de fonctionner aussi dans le cas ou x est irrationnel, sinon le lecteur se demande quel est la valeur de L et l. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:06 (CET)

L'idée est de replonger dans un contexte historique où une fraction est un rapport de longueur et de faire connaissance avec les grandeurs commensurables (i.e. dont le rapport est rationnel) et non commensurable (i.e dont le rapport n'est pas rationnel).HB 7 décembre 2005 à 19:10 (CET)

J'achète ton argument mais je reste sur ma fin quand aux valeur de L et l pour le nombre d'or. Pour répondre de manière plus général, 4 points me semble à noter. La motivation me semble faible voir fausse. Les indiens qui ont inventé le système décimal se sont forcément rendu compte qu'il est infiniment plus pratique, je n'imagine pas un seul instant un peuple en train de compter en fraction continue. En plus la base 10 ne se justifie pas uniquement par nos dix doigts, c'est une base encore simple qui permet facilement les divisions par 2 par 5 par 10 et qui a des propriétés sympathiques surl le modulo 3 et 9. Ensuite je regrouperais en une seule partie la notion d'approximation finie. Enfin, je remonterait dans l'article ton pavage. Il donne une vision intuitive, il devrait se situer pour moi après l'historique. Voilà l'essentiel de mes quatre remarques. Après relecture, il est déjà infiniment plus simple et plus agrèable.

En fait je ne suis pas sur d'acheter ton argument, oui sur les grandeurs commensurables mais pourquoi s'ennuyer avec la notion de fraction rationnel à ce niveau là. Si 1 et x sont commensurables le processus est fini, sinon 1 et x sont incommensurables. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:22 (CET)

pour l'indien : il ne comptait pas en fraction continue, il résolvait une équation en utilisant les fractions continues. Le fait de connaitre le système décimal n'empêche en rien de continuer à utiliser des fractions si nécessaire.

Pour le nombre d'or, un rectangle d'or est par définition un rectangle dont les deux longueurs sont dans un rapport de phi, il est dommage de se limiter à un rectangle de côté 1 et Phi, même si, reconnaissons le ce n'est qu'un problème d'unité de longueur. Enfin, je te laisse la main pour les modificationsHB 7 décembre 2005 à 19:36 (CET)

pour le nombre d'or je me rend, c'est toi qui a raison, ta solution est plus élégante, pour l'indien je suis d'accord avec toi, donc la motivation est érronée donc nous sommes tous les deux d'accord, et pour les deux autres points partages tu mon opinion? Après je fais les modifs, là ou nous sommes d'accord. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 19:55 (CET)

Ah, je viens de comprendre ... motivation (référence au paragraphe motivation) J'avoue que je n'aime pas trop le paragraphe en question mais je suis toujours prudente dans les effacements (risque de perte d'information). pour la proposition 3 je regrouperais en une seule partie la notion d'approximation finie je ne comprends pas ce que tu veux faire. Pour la proposition 4, je jugeais ce pavage anecdotique et ne souhaitais pas faire patienter le lecteur trop longtemps avant de lui donner les outils mathématiques de construction d'une fraction continuée. Mais je manque de recul, c'est pourquoi, je te proposais de te laisser la main.HB 7 décembre 2005 à 20:30 (CET)

Excuses moi pour le manque de clarté, j'essaie quelque chose, je coupe en plusieurs parties pour que tu puisses reverter facilement autant que tu le sens. Jean-Luc W 7 décembre 2005 à 21:05 (CET)

[modifier] Fractions continues ascendantes

Si les fractions continues "descendent vers le bas", les fractions continues ascendantes "montent vers le haut" ! Je ne connaissais pas avant d'avoir assisté à une conférence de Benoît Rittaud qui a écrit "Le fabuleux destin de $\sqrt2$ " (Editions Le Pommier 2006 - ISBN 9-782746-502758) --Claudius 15 octobre 2006 à 19:25 (CEST)

[modifier] Relecture de Claudeh5

.... je te signale un manque dans les applications: les fractions continues servent aussi dans la résolution de l'équation ax+by=c en nombres entiers. En particulier, l'avant-dernière réduite de la fraction continue a/b fournit une solution particulière de l'équation.Claudeh5 (d) 15 juin 2008 à 18:53 (CEST)

Cette application est plus simple que, par exemple, celle de l'irrationnalité de e. L'objectif est une accessibilité importante, l'application à Bézout est clairement plus pertinente, je l'insère comme la première application.

Il faut une introduction au problème de huygens. Actuellement on débarque au milieu des réflexions de Huygens sans avoir compris de quoi il s'agit... Huygens se propose de faire un modèle mécanique du mouvement des cinq planètes principales connues à son époque (Uranus n'est découvert quà la fin du 18e siècle, Neptune au milieu du 19e et pluton (que je considère comme une planète) en 1930. Il s'agit donc d'un mécanisme à roues dentées à l'instar des horloges.

A la relecture, la remarque devient d'une pertinence implacable. L'article est déjà bien gros, d'où la nécessité d'une introduction rapide, mais l'introduction est indispensable, sinon le contexte est incompréhensible.

Et pi alors ? rien sur 22/7 ? rien sur 355/113 ?

Encore une remarque dont la pertinence devient incontournable une fois qu'on y pense. La première application du paragraphe Meilleure approximation semble beaucoup plus devoir être sur 22/7 et 255/113 que Liouville. La construction explicite d'un nombre transcendant viendrait alors juste derrière.

Les remarques de Claudeh5 sont en fonte normale, les réponses de Jean-Luc W en italique.

[modifier] Conclusion

Les trois remarques de Claude sont incontournables. L'article déjà bien chargé devient alors trop lourd. Je pense que la solution la plus viable est de transférer les calculs d'approximants de padé dans l'article Approximant de Padé et de condenser les deux applications Equations de Pell-Fermat en une seule dans le paragraphe Nombre quadratique.

L'article devient plus léger, plus abordable et un bon système de liens ne pénalisera pas le lecteur expert. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 10:33 (CEST)

[modifier] Relecture d'Ambigraphe

[modifier] Dans l'introduction

La « forme » est ambigüe pour qui ne connait pas le sujet : il ne s'agit pas d'une expression algébrique finie, mais d'une écriture incomplète à la manière des π = 3,14159… Il faut impérativement expliquer dès la première phrase que cette expression est en général infinie et relève donc plutôt de l'analyse réelle. (Tiens, d'ailleurs on n'en fait pas avec les p-adiques ?) Mais comment expliquer cela proprement sans rentrer dans des détails lourdingues ? Peut-on chercher quelque chose qui aille un peu dans le sens suivant :

OK sur presque tout, je n'achète pas tes p-adiques.

En mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est un système d'écriture différent de la notation décimale classique pour un nombre réel, utilisant des fractions étagées de la forme : [image]

les expressions finies fournissant une approximation dont la précision croît avec le nombre d'étages. […]
Il est inutile de graisser chaque occurrence du titre de l'article.
Peut-être que la notion de « meilleure approximation » pourrait être amenée par l'expression « en un certain sens » afin d'évoquer une justification mathématique sous-jacente, plutôt que par « d'une manière générale » qui n'est pas très claire (qu'est-ce qui est généralisé ?)
La phrase « Les fractions continues possèdent une longue histoire » n'est pas utile. Il est suffisant de dire qu'elles sont déjà usitées par les mathématiciens indiens (de quel Moyen-âge d'ailleurs ? C'est le même que le nôtre ?) Le nombre de mathématiciens ayant planché dessus au XXe fait un peu sensation sans pouvoir être apprécié correctement par le lecteur moyen : ça fait beaucoup ou pas ?

La citation n'est pas utile . Moyen-Age d'ailleurs, préciser dans l'introduction me semble trop lourd, ce qui veulent des précisions ont la partie historique pour répondre à cette question. 1500 c'est beaucoup ? : suffisamment pour que l'article ne soit pas exhaustif et que de vastes parties du sujet ne puissent être traitées (c'est l'objectif de la phrase).

Enfin, la notation utilisée dans le corps de l'article pourrait être évoquée dans l'introduction, par exemple à la fin du premier alinéa.

Ambi graphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)

[modifier] Remarques

J'achète tout, sauf les p-adiques. Je les ai sauvagement sabré de l'article (d'où ils n'étaient pas présents avant mon intervention). Les p-adiques ne sont pas encore traités sérieusement dans WP. Le malheureux qui voudrait apprendre quelque chose sur le sujet ne trouverait qu'une abominable impasse sur presque tous les aspects bien riches de cette question. Salle me suggérait de m'y mettre, mais il y a encore trop de trous en théorie des nombres vision algébrique. Pour les experts, j'annonce que l'on va un peu parler de fractions rationnelles.

Si je n'ai pas pris en compte la remarque sur les 1500 chercheurs c'est que je ne sais pas comment m'y prendre. Je ne veux pas prendre plus de place pour couvrir dans l'introduction un paragraphe somme toute petit. Jean-Luc W (d) 16 juin 2008 à 19:00 (CEST)

[modifier] Préambule

Le conflit de traduction est exagérément mis en vedette. Il peut être mis en note juste après l'expression « fraction continuée » dans l'introduction.
L'exemple est d'abord incompréhensible. Comment ça « la » fraction continue de 415/93 ? L'introduction actuelle ne permet absolument pas de comprendre que chaque réel peut s'écrire sous forme de fraction continue. Celle que je propose ci-dessus essaie de faire mieux de ce côté, mais ce n'est pas encore limpide.
Surtout, plonger dans les calculs quand on ne sait pas encore de quoi on parle, c'est foutre la frousse aux néophytes. Il vaudrait mieux commencer par expliquer que l'algorithme d'Euclide de recherche d'un pgcd fournit des quotients qui peuvent être exploités pour fournir une écriture sous forme de fraction étagée. Plutôt que de détailler ces calculs dans le corps du texte, une illustration sous forme de tableau peut construire l'exemple rapidement et efficacement. L'algorithme revu avec des parties entières donne ensuite un procédé de calcul qui peut s'appliquer à un irrationnel.
Les calculs du paragraphe sur √2 ne sont pas clairs.
La partie « Motivation » ne dit pas grand chose de plus que l'introduction et se retrouve de toute manière explicitée par d'autres parties ensuite. Il faut donc soit l'éclaircir pour en tirer des idées claires, soit la supprimer.
On ne sait toujours pas vraiment ce que sont les fractions continues quand les inévitables « fragments d'histoire » viennent abreuver le lecteur de dates et de grands noms qui utilisent ces énigmatiques fractions continues pour calculer plein de choses plus énigmatiques encore. À mon sens, l'histoire devrait dans cet article se trouver entre la partie « Définition et premières propriétés » et les applications.
Enfin, il n'est nul besoin de recourir au néologisme « approximer » quand le verbe « approcher » convient parfaitement au sens mathématique.

Ambi graphe, le 16 juin 2008 à 17:24 (CEST)

[modifier] Relecture (partielle) de HB

Cher Jean-Luc, tu es venu solliciter notre avis sur ton texte et nous jouons le jeu avec l'honnêteté qu'implique ta démarche. Malheureusement, cette analyse critique risque de te paraître assez négative. Un avis global d'abord : l'article me semble trop long et met une plombe à se charger. Il s'apparente plus à un manuel complet sur les fractions continues qu'à un exposé encyclopédique. Au bout de trois heures de lecture laborieuse je me suis arrêtée à la section irrationnalité de e quand j'ai vu la longueur et la complexité de la démonstration... Mais pourquoi d'ailleurs vouloir mettre les démonstrations? Elles alourdissent l'article (même en boite déroulante) et sont sources d'erreurs potentielles (voir plus bas) qui risquent de ne pas être corrigées. Il vaut beaucoup mieux mettre un bon ouvrage en référence à mon avis. Je te livre cependant quelques remarques concernantla partie que j'ai lue.

[modifier] Entête

En gros mêmes réflexions qu'Ambigraphe.

[modifier] Introduction par l'exemple

Comme Ambigraphe, je préfère approcher qu'approximer.
Tu écris "Il n’existe qu’un nombre fini d’approximations ayant ces propriétés dans le cas d'un rationnel". Affirmation sans preuve sur laquelle s'appuie une conséquence qui se démontre tellement plus simplement par l'algorithme d'Euclide.
Tu parles de "précision supérieure au millième." Sur la précision, toujours cette difficulté, la précision est meilleure qu'une précision au millième mais peut-on dire que la précision est supérieure ? avec une erreur inférieure au millième ?

[modifier] Motivation

Que veut dire équivalent dans "L'approximation décimale équivalente : 141/100" ?
Encore une fois cette histoire du nombre fini de meilleure approximation d'un rationnel pour justifier le caractère fini de la suite pour un rationnel

[modifier] Histoire

Même remarque qu'Ambigraphe sur le fait que cela est prématuré tant qu'on n'en sait pas assez sur les fractions continues
Tu prends un peu trop de liberté avec tes sources : la boutade de Brezinski "Mais arrêtons nous là car il faudrait citer ...1500 mathématiciens" devient dans ton texte "Le XXe siècle voit l'explosion du nombre de publications sur ce sujet. Plus de 1 500 mathématiciens trouvent des éléments digne de communication" ce qui est me semble-t-il sensiblement différent. De plus cette affirmation figure deux fois dans l'article.

[modifier] définition

Là c'est un peu confus. On parle DU développement en fraction continue sans avoir prouvé qu'il était unique. D'autant plus que plus loin on va indiquer qu'un nombre rationnel en possède deux. On pourrait peut-être s'inspirer de cette présentation qui distingue elle aussi rationnel et irrationnel
la définition du développement m'a paru confuse avec un flottement entre des indices a, n, p (je fais une contre-proposition)

Le développement en fraction continue d'un réel x est une suite d'entiers (

a p

) éventuellement finie associée à une suite de réels (

x p

) définis par récurrence par

$x 0 = x$ et $a 0 = E (x)$ où E(x) représente la partie entière de x
Pour tout entier n,
- si $x n = a n$ alors la suite s'arrête,
- sinon, $x_{n+1}=\frac{1}{x_n-a_n}$ et $a n + 1 = E (x n + 1)$

On obtient ainsi, pour une suite définie au moins jusqu'au rang n+1, les égalités suivantes

$x = a_0+\frac{1}{x_1}= a_0 + \frac 1{a_1 + \frac 1{x_2}} = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{x_3}}}=\;\cdots \; = a_0 + \cfrac 1{a_1 + \cfrac 1{a_2 + \frac 1{\cdots a_n + \frac 1{x_{n+1}}}}} \;$

(après, on a intérêt à mettre des n partout)

[modifier] Représentation géométrique

L'allusion à la suite de Fibonnaci est prématurée d'autant plus que tu en parles au chapitre suivant.

[modifier] premières propriétés

Il y a des problème de domaine de validité des formules dans la section premières propriétés qu'il faudrait corriger : parler d'un réel possédant un développement dans lequel x_{n+1} est défini permettrait de remplacer a_{p-1} par a_p
La spirale d'or n'a rien à faire dans l'article
Il faudrait sauter une ligne quand tu suggères de prendre les a_p = 1 car tu traites un exemple et pas le cas général et c'est confusionnant.
les démonstrations ne sont pas convaincantes : il semble y avoir une confusion dans les compteurs : vrai pour p ou pour p-1 mais, plus grave, les propriétés sur les h_p et les k_p sont annoncées comme une conséquence de la propriété avec y mais dans le raisonnement par récurrence pour démontrer la propriété concernant y, l'égalité liant h_p, h_{p-1} et h_{p-2} est utilisée. ==> démonstration à refaire ou à supprimer

[modifier] Notation

un peu tardif non?

[modifier] Nombre rationnel (propriété)

Les réduites sont annoncées au chapitre nombre rationnel comme étant des rationnels (avec démonstration à l'appui) alors que le résultat est connu semble-t-il dès la section premières propriétés puisqu'on y parlait de hp et kp comme d'entiers
le chapitre sur nombre rationnel propriété est en contradiction avec la définition donnée d'un développement en fraction continue car $[a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \,\ldots ,a_{n}, 1]$ ne peut pas être, selon la défnition, un développement en fraction continue.

je pense qu'une formulation exacte serait, il existe au moins deux fractions continues donnant le même rationnel mais seul la seconde fraction correspond au développement en fraction continue du rationnel. ce qui veut dire que l'on a pas défini ce qu'est une fraction continue....

La démonstration par récurrence de "La représentation en fraction continue de x est finie si et seulement si, x est un nombre rationnel " manque de rigueur dans le quantificateur de la récurrence, il faudrait rajouter dans la récurrence "soit q un entier strictement supérieur à 1". Il faudrait expliquer pourquoi on peut prendre l'inverse de r/p (r est non nul car p et q sont premiers entre eux). De plus, la démonstration n'est valide que si l'on admet qu'il n'existe qu'une seule méthode pour obtenir un développement en fraction continue d'un nombre et on retombe toujours sur le même problème de définition et c'est en contradiction avec la démonstration qui sui tqui veut prouver qu'un rationnel possède au moins deux fractions continues.

[modifier] Nombre rationnel (Identité de Bézout)

la je ne suis pas d'accord avec Claudeh : à moins que l'on me prouve que l'on utilise une autre méthode que l'algorithme d'Euclide pour décomposer un rationnel en fraction continue, pour moi, c'est l'algorithme d'Euclide et pas les fractions continues qui donne une solution particulière à l'identité de Bézout.
identité de Bézout, tu écris "Si l'on note p ce plus grand commun diviseur, la résolution de l'équation suivante permet de résoudre (1) par multiplication des deux membres de l'égalité (2) par c / p :", "Résoudre" n'est pas le terme approprié, et multiplier les deux membres n'est qu'un étape. Il faudrait écrire "on trouve UNE solution de l'équation (2) en multipliant par c/p une solution de l'équation (1)

après j'ai cessé de lire... trop fatiguée. Je t'avoue que je ne compte pas continuer la relecture surtout des démonstrations, il faudra donc que tu trouves quelqu'un d'autre pour les valider mais je ne suis pas convaincue qu'elles aient leur place ici.

Juste une dernière remarque : il y a deux sections sur Pell-Fermat ça ne fait pas doublon par hasard ?

Bon courage pour la lecture de mon pavé. Il me semble qu'on prête moins le flanc à la critique quand on envisage une version plus modeste des articles, d'autant plus qu'ils demeurent alors plus abordables au néophyte. Mais ce n'est que mon humble avis. Cordialement. HB (d) 16 juin 2008 à 20:32 (CEST)

[modifier] réponse de Claudeh5 (pas content) à HB

Pardon ? C'est de la plaisanterie ou quoi ? La démonstration de cette propriété des réduites de donner une solution particulière (ce n'est pas la seule) à l'équation de Bachet de Meziriac est donnée dans l'article. Je ne comprends donc pas le paragraphe "a moins que ... Bezout" qui frise l'absurde: que ce soit d'une manière ou d'une autre c'est la décomposition en fraction continue de a/b qui est utilisé et c'est le calcul de l'avant-dernière réduite qui fournit la solution particulière. Je n'ignore pas qu'il y a une technique de remontée de l'algorithme d'euclide qui permet d'arriver au même résultat mais cela revient exactement à calculer l'avant dernière réduite ... sans le dire !Claudeh5 (d) 17 juin 2008 à 01:13 (CEST)

problème de communication semble-t-il : je ne nie pas la présence d'une solution à l'identité de Bézout dans l'avant dernière réduite. Je mets en doute que cette avant-dernière réduite SERVE à trouver une solution au problème car pour calculer l'avant dernière réduite il faut, semble-t-il, développer l'algorithme d'Euclide généralisé qui fournit conjointement les réduites et une solution. D'où ma question : peut-on se passer de l'algorithme d'Euclide pour calculer les réduites ? Si oui, alors, oui, les fractions continues servent à à résoudre l'identité de Bézout, sinon, et bien on ne gagne rien de plus que ce que l'on a déjà avec l'algorithme d'Euclide étendu. Mais tout ceci n'est qu'un détail. HB (d) 17 juin 2008 à 21:13 (CEST)

[modifier] Première synthèse

Un large consensus au sein que WP admet maintenant que les articles doivent être accessibles à un large public. Certains comme moi estiment que cela est réalisable sans pénaliser des lecteurs plus experts.

L'expérience de l'article nombre d'or ainsi que celui ci montre que l'on ne s'improvise pas vulgarisateur si simplement. A la lecture des remarques précédentes, il apparaît évident que l'on peut encore beaucoup mieux faire et que l'article n'est pas loin d'être prêt pour une nouvelle refonte. C'est la rêgle du jeu de WP, réjouissons nous plutôt du fait que les différentes compétences des contributeurs ouvrent la voie à de nouvelles améliorations.

A l'avenir, je serais peut-être un peu plus prudent et à l'image de Valvino je devrais commencer plus tôt le sondage pour amasser en amont un premier lot d'idées avant de commencer. Personnellement, je crois que sans cette première version, je n'aurai guère eu la vue assez large pour savoir ce qu'est une fraction continue.

Que des opinions différentes apparaissent sur un article, n'est qu'une source d'enrichissements. Travaillons plutôt à l'élaboration d'une version qui satisfasse l'intégralité des contributeurs, reflets des différentes tendances des lecteurs plutôt que de mettre en jeu nos affects. HB voit les choses différemment de moi ? Cela ne signifie pas nécessairement que je doive me mettre en colère. Mettons nous au travail pour élaborer un compromis acceptable pour tous !

Merci à tous pour avoir la gentillesse d'apporter vos idées. Personnellement je trouve l'idée de Claudeh5 bien sympathique et je suis sur que nous allons trouver une rédaction qui mette bien en valeur la relation avec l'algorithme d'Euclide et évite l'écueil cité par HB. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 09:39 (CEST)

[modifier] La main à la pâte

J'ai repris les exemples introductifs en leur donnant une teinte nettement plus algorithmique et en évitant de parler "du" développement. Je crois que les démonstrations (non à dérouler) sont peut-être un peu longues, et je vais essayer de voir si je peux mieux faire. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 12:28 (CEST)

J'ai encore fait un certain nombre de bidouillages divers et variés, surtout du style et de l'orthographe. Maintenant, j'arrive à la partie plus mathématique, qui comprend les premières propriétés, et là, ça ne va pas, les choses ne sont pas dans le bon ordre. Il faut que je réfléchisse à une solution possible. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 13:54 (CEST)

J'ai trouvé je crois, en partie (à relire). HB (d) 17 juin 2008 à 15:25 (CEST)

[modifier] La main à la pâte : deux idées ?

HB exprime deux idées sur ma page de discussion :

Je ne sais même pas par quel bout le prendre pour éviter les contradictions internes. On éviterait probablement beaucoup de problème en refusant de faire apparaitre les démonstrations qui oblige l'article à des tours et des détours préjudiciables à son contenu. On pourrait alors développer l'article en s'inspirant dans un premier temps de l'encyclopédia universalis qui présente les approximations de x comme des points "proches" de la droite Y = xX de coordonnées entières. Par points proches, il entend des points pour lesquels il n'existe pas de points de coordonnes entières entre la droite et le segment OM. et on aurait alors tout de suite une vision pragmatique d'une fraction continue. On pourrait alors affirmer mais sans le démontrer que ces points s'obtiennent grâce à l'algorithme sur les fractions partielles et les fractions totales. et on présenterait alors la forme "en étage". remarque de HB

Peut-être que Sylvie Martin et HB devraient se coordonner et statuer sur cette idée (puisqu'elles semblent prendre la main sur la première partie de l'article, pour le plus grand bonheur de tous).

Je trouve qu'il faudrait déplacer les parties démonstrations associées aux approximants de Padé dans l'article idoine, de même, il faut déplacer la partie trop lourde sur les développement des nombres quadratiques qui, au vu de la taille, mérite un article à part entière. J'attend de voir si l'idée fait consensus ou non pour agir. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 16:22 (CEST)

HB, peux-tu me dire un peu où tu en es, histoire qu'on ne doublonne pas? J'ai mal dormi cette nuit, dans mon crâne, c'est pas de la cervelle mais de la sauce blanche (citation approchée tirée de la "Java des bombes tomiques" de Boris Vian), si bien que ce que j'écris peut être assez mauvais. De plus, je suis tout sauf spécialiste de ce sujet. En revanche, j'ai beaucoup utilisé et enseigné des approximants de Padé, ce qui n'est pas très loin. Je voyais la situation comme ceci :

on part d'un réel et on définit par un petit algorithme la suite des nombres $a i$ , finie ou infinie ;
on montre que si ce réel est rationnel, la suite est forcément finie, et la fraction continue finie ainsi obtenue redonne bien le rationnel dont on est parti ;
si la suite est infinie, on montre qu'elle converge, en utilisant la récurrence sur les numérateurs et dénominateurs des réduites successives, qui doit être, sauf erreur de ma part $p n + 1 = p n - 1 + a n + 1 p n$ et $q n + 1 = q n - 1 + a n + 1 q n$ ; on peut également vérifier que les sous-suites à indices pairs et à indices impairs sont monotones et fournissent un encadrement de la limite, qui est notre bel et bon réel irrationnel de départ ;
l'unicité du développement dans le cas irrationnel vient gratis ou à peu près.

Une fois ces questions réglées, il n'est plus nécessaire de tourner autour du pot, et on peut parler du développement en fraction continue, qui existe toujours, et l'identifier honnêtement à un bon et brave réel. L'article "approximants de Padé" est un peu pauvre, et on pourrait y déplacer une partie de ce qui est prouvé ici, et qui relève plus des Padé que directement des fractions continues. De même pour les développements de

π

et e. Une fois ces déplacements faits, l'article fractions continues retrouverait un tour de taille raisonnable, me semble-t-il. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:30 (CEST)

Idem pour les développements en fraction continue des nombres quadratiques, ils ont leur place avec les nombres quadratiques. On doit pouvoir présenter des développements en fraction continue intéressants, sans mettre de démonstration et renvoyer les démonstrations aux articles plus spécialisés. Donc, oui, mettre e et

π

, mais ne pas donner de démo. A part ça, les démonstrations de transcendance de e et

π

méritent le détour, et si quelqu'un a le courage, un de ces jours...--Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:35 (CEST)

J'aime bien aussi l'idée géométrique de l'Encyclopedia Universalis, signalée par HB. On peut la mettre en rapport avec les vues de forêts de pins plantés sur une grille carrée régulière : quelles sont les directions dans lesquelles on peut voir jusqu'à la lisière (réponse en fonction de l'épaisseur des troncs, du pas de la grille et de la géométrie de la zone plantée). En ce qui concerne les démonstrations longues, je pense qu'il faut tout simplement fabriquer des articles où elles trouvent leur place. Je ne suis pas spécialiste de théorie des nombres, donc je ne saurais pas comment intituler les articles en question, mais peut-être que Cgolds a une idée? Il ne faut pas perdre ce travail d'exposition, il faut seulement le déplacer intelligemment, et garder un bon graphe de liens hypertextes. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 16:46 (CEST)

Réponse de HB

Sur le plan que tu proposes, oui, il résout pleinement le problème de cohérence donc aucune objection de ma part

Bon.

Sur la réécriture de l'exemple rationnel: il était nécessaire mais je le trouve un peu trop long, pourquoi ne pas reprendre celui qui figure dans la section algorithme d'Euclide et qui fait d'ailleurs doublon avec le tien?

Tu as raison, il faut combiner les deux.

Sur tes ajouts cosmétiques : aucune problème seulement veille à conserver une homogénéité dans les notations avec ce qui est déjà présent.
Concernant la présentation d'Universalis, comme je l'indiquais dans la page de discussion, c'est UN des points d'entrée possible de l'article mais ce n'est pas celui qui a été choisi pour l'instant, je crains qu'en le rajoutant cela ne fasse qu'une verrue de plus donc ça m'est égal si l'on n'en parle pas.

Donc de côté pour le moment.

Concernant les approximants de Padé, l'article Universalis et d'autres articles que j'avais lu définissaient une meilleure approximation rationnelle de x comme une fraction p/q telle que pour tout p' et q', si |p'x-q'|< |px - q| alors q'>q. Ce n'est pas ce qui est donné comme définition dans approximant de Padé. les deux notions sont-elles équivalentes ?

Etant donnée une série formelle $f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+\dots$ un approximant de Padé

[m, n]

est une fraction rationnelle, dont le numérateur

P

est au plus de degré

m

et le dénominateur

q

est au plus de degré

n

, tel que

p - q f

soit au moins d'ordre

m + n + 1

. S'il existe, un tel approximant est unique.

Je te laisse travailler sur l'article car je ne vais pas pouvoir être beaucoup disponible d'ici la fin de semaine (et plus selon aléa de convocation). Bon courage à tous. HB (d) 17 juin 2008 à 21:20 (CEST)

Bon courage à toi surtout... ça sent la correction d'épreuves d'examen! --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 21:43 (CEST)

Hum, je pense qu'en théorie des nombres (où je connais très mal l'aspect analytique), il est simple, une fois obtenue les approximants de Padé, de montrer que e^r et tan (r) sont irrationnels si r est rationnel. On pourra toujours le glisser dans l'article nombre irrationnel. Je réfléchis sur Padé et propose un plan pour que le lecteur ait de quoi manger en lisant l'article. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 17:00 (CEST)

La « situation » décrite par Sylvie Martin est inattaquable d'un point de vue démonstratif, mais bancale d'un point de vue pédagogique.

L'algorithme n'a de sens que lorsqu'on sait ce qu'on veut obtenir. Il faut d'abord voir que ces fractions étagées sortent toutes chaudes de l'algorithme d'Euclide pour le calcul du pgcd, ensuite on peut exprimer la construction de la fraction étagée à l'aide d'un procédé itératif utilisant partie entière et inverse, enfin dans un troisième temps on applique ce procédé à des réels. L'application réel -> fraction continue est acquise à cette étape.

OK. Mais comme j'ai promis à HB de rerédiger le premier exemple en injectant dedans l'algorithme d'Euclide, ça devrait être possible de te satisfaire. En tous cas, je tiens compte de cette remarque.

La terminaison de l'algorithme d'Euclide assure la terminaison du procédé itératif pour un nombre rationnel tandis que l'irrationalité interdit l'obtention d'un développement fini en fraction continue. Au passage, on montre qu'un développement périodique en fraction continue est nécessairement quadratique.
On définit les réduites d'une fraction continue et on montre que les suites d'indice pair et d'indice impair sont adjacentes, avec un écart explicite. L'application fraction continue -> réel est obtenue à cette étape.

C'est ce que j'avais en tête.

Reste le plus délicat : montrer que ces deux applications sont réciproques l'une de l'autre, ce qui est tellement bien caché dans l'article actuel que je ne l'y ai pas trouvé.

Bien sûr. C'est à mettre dans ce que je mijote. Merci de tes remarques. --Sylvie Martin (d) 17 juin 2008 à 22:38 (CEST)

Ambi graphe, le 17 juin 2008 à 21:52 (CEST)

[modifier] Refonte de l'introduction

Je tique sur la suppression de la phrase indiquant que c'est un vaste sujet de recherche. Que l'article soit didactique soit. Que l'article néglige totalement ce qu'est une fraction continue depuis plus de 200 ans me semble un peu étrange. On aurait pu dire sur un autre sujet, une voiture est un objet roulant tiré par un à plusieurs chevaux ..., mais les contributeurs ont jugés utile de tenir compte des progrès des 200 dernières années. Jean-Luc W (d) 17 juin 2008 à 21:46 (CEST)

Je suppose que tu fais allusion à ma reprise de l'introduction. Mais je n'ai pas supprimé la mention comme sujet de recherche. Tout au plus peut-on déplorer que l'adjectif « vaste » ait sauté au passage, ce qui est à mettre sur le compte d'une étourderie de ma part, facilement réparable. Si c'est le nombre de 1500 mathématiciens qui te manque, la critique de HB sur la fiabilité de ce compte et sa répétition plus loin dans l'article me confortent dans l'idée qu'il vaut mieux une phrase claire qu'un nombre illusoire. Ambi graphe, le 17 juin 2008 à 22:00 (CEST)