Idempotence
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En mathematiques, le concept d' idempotence signifie basiquement qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois, ou encore qu'en la réappliquant on ne modifiera pas le résultat. On la retrouve en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projections et des opérateurs de clôture.
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[modifier] Définition
En mathématiques, un élément x d'un anneau A est dit idempotent si 
Plus généralement 
est dit idempotent d'ordre n s'il vérifie l'égalité suivante: 
.
En particulier, une application f est idempotente si 
Autrement dit, si 
est idempotente alors si f(a) = b (avec 
et 
) alors f(f(a)) = b.
[modifier] Nombres idempotents
Dans 
, 0 et 1 sont idempotents sur tous les ordres
Dans 
, on peut rajouter -1 qui est idempotent pour les ordres impairs
Dans 
, i et -i sont idempotents d'ordre 5
[modifier] Endomorphismes idempotents
Un endomorphisme linéaire idempotent est appelé "projecteur".
Si E est un espace vectoriel et u un endomorphisme idempotent d'ordre 2, u est appelé projecteur. On l'interprète géométriquement comme la projection de l'espace image de u sur le noyau de u.
Si E est un espace vectoriel complexe de dimension finie et u un endomorphisme idempotent, alors u est diagonalisable, avec des valeurs propres qui sont toutes racines n-èmes de l'unité.
