Discuter:Treillis (ensemble ordonné)
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Visiblement, d'après Structure algébrique, un treillis admet une définition en termes de structure algébrique (en considérant les opérations borne supérieure et borne inférieure comme des lois internes).
Ce serait intéressant que quelqu'un qui connaisse bien cette caractérisation d'un treillis développe ce point de vue dans l'article Treillis (ensemble ordonné).
--Ąļḋøø 27 nov 2004 à 18:01 (CET)
Autre remarque : est-il utile de définir un treillis par un quadruplet (E, ⋁, ∧, ≤), alors que ≤ se déduit de ⋁ et ∧ (obtenir l'ordre à partir de la structure algébrique) et réciproquement (on déduit la structure algébrique de l'ordre) ?
--Ąļḋøø 27 nov 2004 à 18:05 (CET)
Est il pertinent que les exemples soient placés avant les cas particuliers ? Ces derniers indiquent ce qu'est un treillis complet, donc implicitement ce que signifie incomplet, utilisé plus haut dans les exemples.
Une algèbre qui est un treillis distributif borné et avec complement est une algèbre de Boole. Il serait peut être intéressant de définir ces termes (borné, avec complément) et de lier l'information avec l'algèbre de Boole ?
Blustuff 31 mars 2007 à 15:04 (CEST)
[modifier] idempotence ne suffit pas
Dans la définition algébrique, l'article dit :
- Un treillis est un ensemble E muni de deux lois internes habituellement notées
et 
vérifiant :
- les deux lois sont commutatives et associatives
- pour tout a de E,
et 
(idempotence) - pour tout a et b de E:
et 
(absorption)
- Pour démontrer que E est un treillis en tant qu'ensemble ordonné, il faut définir une relation d'ordre généralement notée
de la manière suivante : 
- (...)
- Grâce à l'idempotence, on peut aussi montrer que :
Or, je ne vois pas comment l'idempotence pourrait suffire à montrer cette thèse. Il faut aussi l'absorption. (Et peut-être d'autres ?) Sans l'absorption, on pourrait avoir 
, par exemple, ce qui respecte les hypothèses sans satisfaire la thèse.
Je ne prends pas la liberté de changer au cas où je me tromperais. Que le premier qui me donne raison le fasse !--OlivierMiR (d) 22 mai 2008 à 18:49 (CEST)
- J'avais mal compris ta question d'abord, mais tu as raison : la démonstration de la seconde équivalence utilise aussi l'absorption. J'imagine que le rédacteur voulait dire que l'hypothèse d'idempotence était importante pour cela, mais la formulation est ambiguë. Il vaudrait mieux dire « avec ces seules hypothèses, on peut aussi montrer… » Ambigraphe, le 22 mai 2008 à 21:27 (CEST)
C'est seulement les deux lois d'absorption (un lapsus du rédacteur plutôt, je dirais). Proz (d) 22 mai 2008 à 22:47 (CEST)
