Théorème d'Abel (algèbre)

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En mathématiques, plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des équations algébriques, Le théorème d'Abel-Ruffini ou théorème d'Abel fournit une condition nécessaire et suffisante pour la résolution par radicaux d'une équation algébrique.

Un corollaire plus simple s'exprime sous la forme suivante: « Il existe des équations polynomiales (pour tout degré supérieur ou égal à cinq) qu'il est impossible de résoudre par radicaux. »

Ce théorème se démontre à l'aide de la théorie de Galois.

[modifier] Explication du théorème

[modifier] Équation algébrique et équation polynomiale

Une équation algébrique est une équation qui s'exprime avec un nombre fini d'opérations choisies dans l'ensemble des additions, soustractions, multiplications, divisions et extraction de racines. Une telle équation peut toujours se ramener à une équation polynomiale. C'est la raison pour laquelle la suite de l'article ne traite que des polynômes.

[modifier] Signification du théorème

Le contenu de ce théorème est souvent mal compris. Il n'affirme pas que les équations polynomiales ne sont pas résolubles. En fait, si le polynôme est à coefficients rationnels, réels ou complexes, alors il a des solutions dans le corps des nombres complexes (théorème fondamental de l'algèbre). Même si on ne peut pas donner de formule pour ces solutions, on peut les calculer à n'importe quel degré de précision en utilisant des méthodes numériques comme la méthode de Newton-Raphson ou la méthode de Laguerre, et de ce point de vue, le degré n'intervient pas.

Le théorème concerne uniquement la forme qu'une solution peut prendre. Il dit que les solutions d'une équation de degré 5 ou plus ne peuvent pas, en général, s'exprimer par radicaux à partir des coefficients de l'équation, ce qui signifie que ces solutions ne peuvent pas s'obtenir à partir des coefficients, en ne s'autorisant que des expressions faisant intervenir l'addition, la multiplication et des extractions de racines (d'ordre arbitraire). C'est par exemple le cas pour l'équation x⁵ - x + 1 = 0. Certaines équations du cinquième degré peuvent être résolues par radicaux comme x⁵ - x⁴ - x + 1 = 0. Le critère qui distingue les équations qui peuvent être résolues par radicaux et celles qui ne peuvent l'être a été énoncé par Évariste Galois et fait maintenant partie de la théorie de Galois : une équation polynomiale peut être résolue par radicaux si et seulement si son groupe de Galois est un groupe résoluble. Le théorème découle de ce que les groupes symétriques S₂, S₃ et S₄ sont des groupes résolubles, alors que S_n n'est pas résoluble pour n≥5.

Article détaillé : équation quintique.

[modifier] Histoire

[modifier] Genèse

Si l'histoire de la théorie des équations algébriques remonte à la nuit des temps, en revanche l'idée d'associer une structure de groupe à l'équation n'apparaît qu'au XVIIIe siècle. Joseph-Louis Lagrange (1736 1813) met en évidence la relation entre les propriétés d'un groupe de permutations des racines et la possibilité de résolution d'une équation cubique ou quartique^[1]. S'il est possible de voir dans ces travaux l'origine de l'utilisation des permutations dans ce domaine, en revanche, ne sont utilisés ni la loi de composition ni l'ensemble des permutations comme une structure propre.

[modifier] Paolo Ruffini

Paolo Ruffini 1765-1822

Paolo Ruffini (1765 1822) est le premier à comprendre que l'équation générale et particulièrement l'équation quintique n'admet pas de solution Il utilise pour cela les propriétés des groupes de permutations. Il publie un livre sur cette question^[2] en 1799.

Malgré l'apport considérable d'une telle démarche, la communauté scientifique de l'époque ne reconnaît pas son travail. Il envoie son livre à Lagrange en 1801, mais n'obtient aucune réponse. Une présentation officielle à l'Académie des sciences, n'obtient pas plus de succès. Lagrange, Legendre (1752 1833) et Lacroix, trois mathématiciens sont chargés d'évaluer la validité de sa preuve. Le rapport décrit son travail comme sans importance. Une nouvelle tentative, auprès de la Royal Society anglaise obtient une réponse plus sympathique: si un tel travail n'entre pas dans sa compétence, les résultats ne semblent néanmoins pas contenir d'erreur. Deux autres publications en 1803 et 1808 n'auront guère plus de succès. Pour les mathématiciens de l'époque, le résultat est soit faux, soit anecdotique. Seul Augustin Louis Cauchy (1789 1857) comprend la profondeur de son travail. Il lui envoie une lettre en 1821 dans laquelle il indique à la fois la validité et l'importance de la question traitée.

Il est toutefois à noter que le travail de Ruffini est incomplet. Si l'énoncé du théorème est exact, en revanche la démonstration reste lacunaire.

[modifier] Niels Henrik Abel

Après une tentative infructueuse en 1821, le mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802 1829) publie, à ses propres frais un petit texte de six pages^[3]. Si ce document représente une avancée considérable par rapport aux travaux de Ruffini, il obtient néanmoins une incompréhension analogue à celle des textes précédents. Même Carl Friedrich Gauss (1777 1855) juge le sujet sans intérêt. La lettre d'Abel sera retrouvée après la mort de Gauss non décachetée. En 1801 ce mathématicien avait exprimé dans une thèse que la recherche de solution par radicaux était sans intérêt, il suffisait de donner un nom quelconque à la racine. Même Cauchy, qui reçoit Abel en 1826 daigne à peine jeter un coup d'œil à ses travaux.

D'autres articles furent écrits entre 1826 et 1828, contenant la preuve de l'impossibilité de la résolution dans le cas général. Même si au regard de la rigueur actuelle, la preuve n'est pas parfaite, les travaux d'Abel finissent par convaincre la communauté scientifique. En 1830 Cauchy retrouve son manuscrit, et Abel finit par obtenir le grand prix de mathématiques de l'Académie des sciences la même année à titre posthume.

[modifier] Évariste Galois

Évariste Galois 1811-1832

Après les travaux d'Abel, seuls trois éléments manquent pour une expression finale du théorème: une approche parfaitement rigoureuse, la condition nécessaire et suffisante de résolubilité de l'équation et une compréhension profonde des mécanismes qui rendent possible la résolubilité. C'est Évariste Galois (1811 1832) qui réalise ces trois progrès.

Son approche subit la même incompréhension que ses prédécesseurs. Ses premiers écrits, présentés à l'Académie des sciences dès 1829 sont définitivement perdus. Un article^[4] de l'auteur écrit en 1831 est redécouvert par Joseph Liouville (1809 1882) qui le présente à la communauté scientifique en 1843 en ces termes: "...J'espère intéresser l'Académie en lui annonçant que dans les papiers d'Évariste Galois j'ai trouvé une solution aussi exacte que profonde de ce beau problème : Étant donnée une équation irréductible, décider si elle est ou non résoluble par radicaux.". L'apport de Galois est majeur, G. Verriest^[5] le décrit dans les termes suivants:"le trait de génie de Galois c'est d'avoir découvert que le nœud du problème réside non pas dans la recherche directe des grandeurs à adjoindre, mais dans l'étude de la nature du groupe de l'équation. Ce groupe (...) exprime le degré d'indiscernabilité des racines (...). Ce n'est donc plus le degré d'une équation qui mesure la difficulté de la résoudre mais c'est la nature de son groupe."

[modifier] Définitions et théorème

Soit K un corps, L une extension algébrique, P(X) un polynôme à coefficients dans K, F un sous corps de L et Ω la clôture algébrique de K. Ces notations sont utilisées dans toute la suite de l'article, de plus L est identifiée à un sous-corps de Ω.

[modifier] Définitions pour les expressions par radicaux

On appelle radical de F dans L un élément l de L tel qu'il existe une puissance de l élément de F. De même, on appelle radical d'une suite un élément de l de L tel qu'il existe une puissance de l un élément de la suite.
On dit qu'un élément l de L s'exprime par radicaux de K si et seulement s'il existe p suites finies S_i avec i variant de 0 à p-1 telles que:

- S₀ est une suite de K

- Si i est un entier compris entre 1 et p - 1 alors S_i est une suite de combinaisons linéaires à coefficients dans K de radicaux de la suite S_i-1.

- l est une combinaison linéaire à coefficients dans K d'éléments de la suite S_p-1

On dit qu'un polynôme est résoluble ou résoluble par radicaux si et seulement si toutes ses racines s'expriment par radicaux de K.

Par exemple, l'expression suivante d'un cosinus est une expression par radicaux. Elle est tirée d'un élément de solution du polynôme cyclotomique des racines dix-septièmes de l'unité, utilisée pour la construction à la règle et au compas de l'heptadécagone.

$\cos\left(\frac{2\pi}{17}\right) = \frac{1}{16}\left(-1 + \sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}} +\sqrt{68 +12\sqrt{17}-2\sqrt{34-2\sqrt{17}}-16\sqrt{34+2\sqrt{17}}+2\sqrt{578-34\sqrt{17}}}\right)\,$

[modifier] Définitions pour les groupes résolubles

Article détaillé : Groupe résoluble.

On appelle groupe de Galois de l'extension L sur K le groupe des automorphismes de L laissant invariant K. Le groupe de Galois est souvent noté Gal (L/K).
On appelle groupe de Galois du polynôme P[X] le groupe de Galois du corps de décomposition de P[X] sur K. Le groupe de Galois est alors souvent noté G_K(P[X]).

Un groupe $G$ est résoluble lorsqu'il existe une suite finie $G_0, G_1, \ldots, G_n$ de $n + 1$ sous-groupes de $G$ telle que :

$I= G_0\subset G_1\subset \ldots\subset G_{n-1}\subset G_n = G$

où $\forall i\in[0,n-1]$ ,

G i

est un sous-groupe distingué de

G i + 1

et le groupe quotient

G i + 1 / G i

est abélien (

I

est ici le sous-groupe constitué uniquement de l'élément neutre de

G

Remarque: Dans le reste de l'article, le groupe de Galois est noté G.

[modifier] Théorème d'Abel-Ruffini

Si l'extension L est séparable alors

P[X] est résoluble par radicaux si et seulement son groupe de Galois l'est.

[modifier] Exemples

[modifier] Le cas de degré deux

Courbe polynomiale quadratique

Considérons le cas où le polynôme P[X] est de degré deux à coefficients rationnels n'ayant pas de racine rationnelle. Quitte à diviser l'équation, il est possible de considérer que :

$P[X]=X^2-pX+q\,$

Notons x₁ et x₂ les deux racines de l'équation. On en déduit :

$P[X]=X^2-pX+q=(X-x_1)(X-x_2)\quad donc\quad x_1+x_2=p \; et\; x_1.x_2=q\;$

L'extension est de degré deux et L est un espace vectoriel sur les rationnels de dimension deux. Comme l'extension est galoisienne le groupe de Galois G est d'ordre deux, il existe donc un morphisme m du groupe de Galois différent de l'identité tel que m² soit égal à Id l'identité de L. Le polynôme minimal de m est donc un diviseur de X²-1. Les valeurs propres de m sont donc 1 car l'ensemble des rationnels est invariant par m et -1 car m est différent de l'identité. Considérons alors une base de L (1,r) telle que r soit une valeur propre de m et telle que x₁ = a + r. Alors x₂ s'exprime aussi dans la base, il existe donc deux rationnels a' et b' tels que x₂ = a' + b'r.

Or la somme des racines est rationnelle donc b' est égal à -1. De plus, le produit des racines est aussi rationnel donc a' est égal à a. On en déduit :

$x_1+x_2=2a=p \; et\; a=\frac{p}{2}\;$ $x_1.x_2=a^2-r^2=q \; et\; r^2=\frac{1}{4}(p^2-4q^2)\;$

Le groupe de Galois permet donc une résolution effective de l'équation quadratique.

[modifier] Le cas de degré trois

Courbe polynomiale cubique

[modifier] Généralités

Considérons le cas où le polynôme P[X] est de degré trois à coefficients rationnels et irréductible. Quitte à diviser l'équation et à translater la variable, il est possible de considérer que:

$P[X]=X^3+pX-q\;$

Notons x₁, x₂ et x₃ les trois racines de l'équation. On en déduit:

$P[X]=X^2-pX+q=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)\;$ $x_1+x_2+x_3=0\quad ,\quad x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=p \quad et\quad x_1x_2x_3=q\;$

Le corps de décomposition L contient la racine x₁ dont le polynôme minimal est de degré trois. Et L est au moins de dimension trois. Le groupe de Galois de P[X] est isomorphe à un sous-groupe de S₃ le groupe symétrique d'ordre trois et est donc inclus dans un groupe d'ordre six. Le groupe de Galois est au moins d'ordre trois car L est au moins de dimension trois sur le corps des rationnels. Il est au plus d'ordre six. Le groupe de Galois est donc soit isomorphe à S₃ soit à A₃ le groupe alterné d'ordre trois isomorphe au groupe cyclique d'ordre trois.

A₃ est un groupe résoluble car il est abélien, S₃ contient un sous-groupe distingué A₃ et A₃ ainsi que S₃/A₃ sont abéliens car ils contiennent respectivement trois et deux éléments. En conséquence S₃ est aussi résoluble. Dans tous les cas, le groupe de Galois est résoluble, donc le théorème d'Abel-Ruffini garantit que le polynôme l'est aussi.

[modifier] Détermination du groupe de Galois

Le groupe de Galois est égal à S₃ si et seulement s'il contient un élément dont la signature (le groupe de Galois est ici identifié au groupe des permutations des racines) est égal à -1. Soit g un élément du groupe ; on a alors l'égalité:

$g(\delta )=\epsilon(g).\delta \quad si \quad \delta =(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_1-x_3)\;$

où ε(g) désigne la signature de g. On en déduit que le groupe de Galois contient un élément de signature impaire si et seulement si $δ$ a pour image par un élément du groupe $- δ$ . Dans le cas contraire $δ$ est invariant par tous les éléments du groupe, ce qui est une condition nécessaire est suffisante pour que $δ$ soit un rationnel (cf la quatrième propriété du paragraphe sur le théorème fondamental de la théorie de Galois. On remarque de plus que le carré de ce nombre est toujours un rationnel. On vérifie alors que:

$\delta^2=-4p^3-27q^2\;$

On en déduit la condition nécessaire et suffisante:

Le groupe de Galois de P[X] est égal à A₃ si et seulement si - 4p³ - 27q² est un carré dans l'ensemble des rationnels.

[modifier] Calcul des racines

Dans l'extension Q[ $δ$ ], le groupe de Galois ne contient que des éléments d'ordre trois. Pour plus de commodité, considérons alors l'extension L₁ comme égale à Q[ $δ$ , j] où j désigne la première racine cubique de l'unité (celle de partie imaginaire strictement positive). Les deux éléments $δ$ et j sont des éléments d'ordre deux, L₁ ne peut donc contenir les racines du polynôme. Soit m le morphisme du groupe de Galois défini par:

$m(x_1)=x_2\quad , \quad m(x_2)=x_3\quad et \quad m(x_3)=x_1$

Le morphisme m est défini par une permutation de signature paire, et le groupe de Galois contient les trois permutations de signature paire, m est donc bien un élément du groupe.

Le polynôme caractéristique de m considéré comme un endomorphisme de l'espace vectoriel L sur L₁ est égal à X³-1 = 0. Il admet trois racines 1, j et j² qui sont donc trois valeurs propres. Il existe donc une base de vecteurs propres et x₁ = u + v + w où u (respectivement v), (respectivement w) est soit un vecteur propre de valeur propre j (respectivement j²) (respectivement 1) soit le vecteur nul. Il ne reste alors plus qu'à calculer u, v et w en fonction des coefficients du polynôme.

$x_1+x_2+x_3=0=3w \quad et \quad w = 0\;$ $x_1x_2x_3=q=(u+v)(ju+j^2v)(j^2u+jv)=u^3+v^3\;$ $-x_1x_2-x_2x_3-x_3x_1=p=-(u+v)(ju+j^2v)-(ju+j^2v)(j^2u+jv)-(j^2u+jv)(u+v)=-3uv\;$

Le système d'équations suivant permet alors de conclure:

$\left\{\begin{matrix} u^3+v^3=q \\ 27u^3v^3=-p^3 \end{matrix}\right.$

[modifier] Un exemple de degré seize

Article détaillé : polynôme cyclotomique.

Figure à la règle et au compas: Heptadécagone, un polygone régulier de 17 cotés

Certains polynômes, malgré leurs degrés élevés, sont résolubles par radicaux. Carl Friedrich Gauss (1777 1855) a étudié les polynômes cyclotomiques en 1801^[6] pour, entre autres choses, construire à la règle et au compas l'heptadécagone, c’est-à-dire le polygone régulier à 17 cotés. Il a considéré le polynôme suivant:

$P[X]=\sum_{i=0}^{16} X^i$

C'est le polynôme cyclotomique correspondant au troisième nombre premier de Fermat. Montrons que son groupe de Galois est isomorphe au groupe cyclique d'ordre seize.

$1-X^n=(1-X)(\sum_{i=0}^{16} X^i)$

L'égalité précédente montre que les seize racines d'ordre dix-sept différentes de l'unité sont des racines du polynôme. Soit z la première racine primitive: exp(i.2. $p i$ /17) et m un morphisme de l'extension du corps des nombres rationnels contenant les seize racines différentes de un. Alors m(z) est aussi une racine, il existe donc un entier p tel que m(z)= z^p. On en déduit que si n est un entier alors : m(zⁿ)= z^n.p. Réciproquement si p est un entier compris entre un et seize alors l'application qui à zⁿ associe z^n.p définit bien un élément du groupe de Galois. Le groupe de Galois est donc un groupe à seize éléments isomorphe au groupe cyclique d'ordre seize.

La fin des calculs se trouve dans le paragraphe Cas de l'heptadécagone.

[modifier] Un contre-exemple de degré cinq

[modifier] Démonstration

[modifier] Si le groupe est résoluble, alors le polynôme l'est.

On suppose dans ce paragraphe que L est une extension séparable, et donc L est une extension de Galois (cf l'article corps de décomposition).

Un corps de décomposition est un espace vectoriel de dimension finie sur le corps de base, soit n cette dimension.

Comme le montre la méthode de Cardan, l'adjonction des n racines de l'unité, même si elle n'est pas toujours nécessaire, est bien utile. On suppose donc que K contient les n racines de l'unité, c’est-à-dire les n racines du polynôme Xⁿ - 1.

La démonstration du caractère résoluble du polynôme est souvent réalisée en deux temps:

Si G est abélien alors il existe une base de L considérée comme un espace vectoriel de K de radicaux de K.

Remarque 1: souvent le corps initial est celui des nombres rationnels, et K est l'extension cyclotomique d'ordre n.

Remarque 2: s'il existe une base de radicaux, alors tout élément de L et en particulier les racines du polynôme s'exprime comme combinaison linéaire de radicaux, l'équation polynomiale est donc résoluble par radicaux.

Si G est un groupe résoluble Alors tout élément de L possède une expression par radicaux sur K.

Démonstrations

Si G est abélien alors il existe une base de L considérée comme un espace vectoriel sur K de radicaux de K.

L'extension L est un corps de décomposition séparable. L'article sur les corps de décomposition démontre que L est une extension de Galois finie. En conséquence G contient exactement n éléments, et un élément laissé invariant par chaque élément de G appartient nécessairement à K (cf deuxième proposition du paragraphe sur les propriétés élémentaires.

Le groupe de Galois est aussi une représentation de groupe dans l'espace vectoriel L, chaque élément du groupe m étant maintenant considéré comme un automorphisme d'espace vectoriel. Dans le cas de la représentation d'un groupe fini abélien dans un espace vectoriel de dimension finie, alors il existe une base qui diagonalise chaque automorphisme du groupe (cf Diagonalisation de la représentation d'un groupe fini commutatif. Chaque valeur propre est racine de l'équation X ⁿ - 1 = 0, d'après le théorème de Lagrange. Une valeur propre est donc une racine n-ième de l'unité.

Soit (r₁, ..., r_n) une base qui diagonalise tous les éléments de G, et (λ₁, ..., λ_n) les valeurs propres associées à m un élément quelconque de G alors:

$\forall i \in [1,n] \quad m(r_i^n)=m(r_i)^n=\lambda_i^n.r_i^n=r_i^n \,$

Or L est une extension de Galois, en conséquence, r_iⁿ, laissé invariant par chacun des automorphismes du groupe, est un élément de K. Ce qui démontre que la base choisie est une base de radicaux. La proposition est donc démontrée.

Si G est un groupe résoluble, alors tout élément de L possède une expression par radicaux sur K.

Dire que G est résoluble signifie qu'il existe une suite finie $G_0, G_1, \ldots, G_k$ de $k + 1$ sous-groupes de $G$ telle que :

$I=G_0\subset G_1\subset \ldots\subset G_{k-1}\subset G_k = G$

Où, si i est compris entre 0 et k - 1 $G i$ est un sous-groupe distingué de $G i + 1$ et le groupe quotient $G i + 1 / G i$ est abélien. Ici, I désigne le groupe réduit à l'élément neutre. Démontrons alors la proposition par récurrence sur k.

Si k est égal à 1, alors le groupe de Galois de L est abélien. En conséquence il existe une base L formée par des radicaux de K. Toute racine s'exprime dans cette base, ce qui démontre la proposition.

Supposons la propriété vraie à l'ordre p et supposons que k est égal à p + 1.

Considérons alors le corps L_k-1 choisi comme étant égal aux élements de L laissé invariant par tous les automorphismes de G₁. Alors le théorème fondamental de la théorie de Galois assure que L_k-1 est une extension de Galois dont le groupe de Galois est isomorphe à $G / G 1$ . Cette extension vérifie donc l'hypothèse de récurrence et tous ses éléments s'expriment par radicaux sur K.

Le théorème fondamental assure aussi que L est une extension de Galois sur L_k-1 ayant comme groupe de Galois le groupe abélien G₁. Donc tout élément de L s'exprime par radicaux sur L_k-1 et donc sur K. Et la proposition est démontrée.

[modifier] Si un polynôme est résoluble, alors son groupe de Galois l'est.

La démonstration de la réciproque se réalise en trois temps. Dans un premier temps, l'objectif est de décrire l'extension L sous une forme plus maniable que le fait que les racines du polynôme aient une expression par radicaux. Comme précédemment, on suppose que K contient le groupe des racines n-ièmes de l'unité où n est le ppcm de tous les ordres des racines.

Si toutes les racines de P[X] s'expriment par radicaux, alors il existe une suite d'extensions:

$K=F_0\subset F_1\subset \ldots\subset F_{k-1}\subset F_k = F \mbox { avec } \forall i \in [1,k] \; \exists \alpha_i \in F_i \mbox { tel que } \alpha_i^{p_i} \in F_{i-1} \mbox { et } F_i=F_{i-1}(\alpha_i)$

où p_i est une suite de nombres premiers et F une extension contenant L.

La suite de la démonstration consiste à analyser une des extensions de la suite:

Si F_i est un corps contenant une racine primitive p-ième de l'unité où p est un nombre premier, si $α$ est un élément de Ω tel que α^p est élément de F_i, alors F_i(α) de F est une extension de Galois abélienne.

Les deux propositions précédentes permettent alors de conclure:

Si P[X] est résoluble, alors son groupe de Galois l'est.

Démonstrations

Existence de la suite d'extensions (L_i).

On remarque, dans une premier temps que tout radical s'écrit comme composé de radicaux dont l'ordre est un nombre premier, car:

$\forall p,q \in \mathbb{N}^* \quad \sqrt[pq]{x}=\sqrt[p]{\sqrt[q]{x}} \;$

Soit R l'ensemble des radicaux d'ordre un nombre premier utilisés dans les définitions des différentes racines de P[X]. R est un ensemble fini, notons k son cardinal. Notons F l'extension du corps K engendrée par R. Montrons alors par récurrence sur k l'existence de la suite d'extensions.

cas où k est égal à 1.

R ne contient qu'un seul élément α₁ et la suite définie par F₀ = K et F₁ = K(α₁) = F vérifie la proposition.

Supposons la propriété démontrée à l'ordre m et supposons que k soit égal à m + 1.

Comme R est l'ensemble des radicaux d'ordre un nombre premier utilisé dans l'expression des racines, il contient au moins un élément α₁ qui est un radical de K. Soit F₁ = K(α₁), F est une extension de F₁ engendrée par m éléments. Il existe par hypothèse de récurrence une suite:

$F_1\subset F_2\subset \ldots\subset F_{k-1}\subset F_k = F \mbox { avec } \forall i \in [2,k] \; \exists \alpha_i \in F_i \mbox { tel que } \alpha_i^{p_i} \in F_{i-1} \mbox { et } F_i=F_{i-1}(\alpha_i)$

L'adjonction de K à cette suite démontre la proposition.

Si F_i est un corps contenant une racine primitive p-ième de l'unité où p est un nombre premier, si $α$ est un élément de Ω tel que α^p est élément de F_i, alors F_i(α) est une extension abélienne.

Montrons que F(α) est une extension séparable.

Notons r une racine primitive p-ième de l'unité. Si α est un élément de F alors la proposition est évidente. Dans le cas contraire, X^p - α^p est un polynôme annulateur de α. Ce polynôme est séparable car ses racines sont de la forme r^k. α ou k est un entier compris entre 1 et p, et elles sont toutes distinctes. Le polynôme minimal de α est un diviseur du polynôme précédent, il est donc séparable. En conclusion le théorème de l'élément primitif montre que l'extension F(α) est séparable.

Montrons que F(α) est une extension normale.

F(α) est engendré par la famille 1,α, ..., α^p-1 elle est donc de dimension inférieure ou égale à p. Tout morphisme m de F(α) dans la clôture algébrique de K est défini exactement par sa valeur en α. Cette valeur est une racine du polynôme X^p - α^p et il existe donc k tel que m(α) = r^k α. Réciproquement toute valeur entière k comprise entre 0 et p - 1 définit un morphisme. Tous ses p morphismes distincts laissent F(α) stable. Ce qui montre que F(α) est une extension normale.

Montrons que F(α) est une extension abélienne.

L'extension est normale et séparable, elle est donc galoisienne. Il suffit de remarquer que le groupe de Galois a pour ordre un nombre premier pour conclure que ce groupe est cyclique, donc abélien.

Si P[X] est résoluble, alors son groupe de Galois l'est.

Montrons par récurrence sur k que F_i est une extension galoisienne de K.

Si k est égal à 1, alors F est égal à K(α) et la proposition précédente démontre que F est une extension galoisienne de groupe un groupe abélien donc résoluble.

Supposons la propriété vraie pour m et supposons de k = m + 1.

Alors F_k-1 est une extension galoisienne de K, F est une extension galoisienne de F_k-1 d'après le résultat précédent. On en déduit que F est une extension galoisienne de K. Soit G_i où i est un entier compris entre 0 et k le sous-groupe du groupe G de Galois de F laissant invariant F_i. Comme F_i est une extension galoisienne de K, G_i est un sous-groupe distingué de G et donc de G_i+1 si i est plus petit que k. La démonstration précédente montre que le groupe de Galois de l'extension F_i+1 de F_i est abélien, le quotient de G_i+1 par G_i isomorphe à ce groupe est donc aussi abélien. G est donc résoluble.

L'extension L de K est incluse dans F et est de Galois car c'est un corps de décomposition inclus dans une extension séparable. Le groupe H laissant invariant L est donc un sous-groupe distingué de F. G est résoluble, H est un sous-groupe distingué de G, donc G/H est résoluble (cf groupe résoluble). Or G/H est le groupe de Galois de L (cf théorème fondamental de la théorie de Galois). La proposition est ainsi démontrée.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

↑ Joseph-Louis Lagrange Réflexions sur la résolution algébrique des équations 1770
↑ Paolo Ruffini Théorie générale des équation, où il est montré que la résolution de l'équation algébrique générale de degré supérieur à quatre est impossible 1799
↑ Niels Henrik Abel Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré 1824
↑ Evariste Galois sur les conditions de résolubilité des équations algébriques 1846 Journal de Liouville
↑ G. Verriest Œuvres Mathématiques d'Évariste Galois 1951 Gauthier-Villars, Paris
↑ Carl Friedrich Gauss Disquisitiones arithmeticae 1801

[modifier] Liens externes

(fr) Démonstration du Théorème d'Abel-Ruffini par Serge Hubleau
(en) Références historiques de l'université de St Andrews
(fr) Un cours de DEA sur la théorie de Galois par Alain Kraus Université de Paris VI 1998
(fr) Groupe de Galois dans les-mathématiques.net
(fr) Une approche naïve du groupe de Galois

[modifier] Références

R. et A. Douady Algèbre et théories galoisiennes Cedic/Fernand Nathan 1978

S. Lang Algebre Dunod 2004

P. Samuel Théorie algébrique des nombres Hermann Paris 1971

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