Groupe alterné

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En mathématiques, les groupes alternés sont les groupes formés par les permutations paires d'un ensemble fini, sous-groupes des groupes symétriques correspondants. Le groupe alterné correspondant à l'ensemble {1,...,n} est appelé groupe alterné d'indice n et noté {\mathfrak A}_n.

Ainsi le groupe alterné d'indice 4 est l'ensemble formé des permutations identique et (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

[modifier] Propriétés

Pour n>1, le groupe alterné d'indice n est un sous-groupe distingué du groupe symétrique, puisque c'est le noyau d'un morphisme de groupes : la signature. Il est d'indice 2, donc de cardinal n!/2.

Toute permutation paire peut s'écrire comme un produit de 3-cycles, ce qui signifie que les 3-cycles forment un système de générateurs du groupe alterné.

Ce groupe est abélien si et seulement si n ≤ 3 ; c'est un groupe simple si et seulement si n = 3 ou n ≥ 5. Ainsi {\mathfrak A}_5 est le plus petit groupe simple non abélien, d'ordre 60, et le plus petit groupe non résoluble.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références