Discuter:Théorème de la boule chevelue

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Sommaire

[modifier] Relecture

J'ai donc essayé de lire à nouveau la preuve. J'ai rajouté 'euclidien' pour l'espace V, j'espère que c'est correct (si cela ne l'est pas, peux-tu expliciter ce qu'est cet espace?). Je ne suis pas sûre d'avoir compris la fin (est-ce que c'est évident qu'on a une approximation par des champs C1 ou bien est-ce qu'on le suppose provisoirement et on le prouve ensuite, la formulation est ambigue ?). Ce serait utile d'avoir un dessin pour le coup, pour montrer le champ de vecteur intuitivement. Plus généralement, il y a beaucoup de 'et', 'et, 'et', c'est difficile de suivre ce qui est une hypothèse, ce qui est bien connu des topologues, ce qu'on va démontrer, etc. Ce serait bien de mettre les différences en valeur car les lecteurs ne sont pas censés savoir cela (moi, par exemple, je ne sais pas si la propriété d'orthogonalité utilisée est évidente, bien connue, etc). Là où j'ai cru comprendre, j'ai remplacé par des points, ou des 'donc', pour mettre en valeur la structure de l'argument, j'espère que c'est correct, excuse-moi sinon. Enfin, "une fois continument différentiable" est vraiment trop franglais, en principe 'continument différentiable' suffit si c'est une fois ! Il me semble qu'il reste des points bizarres, mais il est trop tard pour que j'imprime. Bon courage, --Cgolds (d) 1 mars 2008 à 03:14 (CET)

Concernant la propriété de l'orthogonalité de x et X(x), je pense qu'il n'y a pas de pb et c'est mis dès l'introduction X(x) est un vecteur tangent à la sphère en x. En revanche, il me semble qu'il y a quelques points à revoir (de détail ou plus fondamentaux)
  • la dimension de l'espace : dans l'énoncé Sn est la sphère de \R^{n+1} et pas de \R^{2n+1}. Pour des questions d'homogénéité, il serait bon de conserver la même notation entre l'énoncé et la démonstration (ce n'est pas grave et cela permet juste de rappeler au moment de la contradiction que c'est contradictoire car (1+t^2)^{n+1 \over 2} est irrationnel en t car n est pair.
  • il faudrait remplacer | x | 2 + th( | x | )2 = 1. par | x | 2 + t2h( | x | )2 = 1.
  • plus fondamental, Le raisonnement par l'absurde se termine par « C'est la contradiction désirée. » alors qu'aucune hypothèse à invalider n'est fournie au départ du raisonnement. Pour ma part, je le lis comme "supposons qu'il existe un champ unitaire continûment différentiable sur S_n" mais du coup le passage au champ continu pose un problème fondamental de logique car il utilise la propriété (qui me semble impossible) « Pour chacun de ces champs, il y a un point xk en lequel Xk s'annule. » alors que je ne vois pas comment un champ unitaire pourrait s'annuler. Je pense donc qu'il est fondamental d'éclaircir ce point.
* Autrement, comme Cgolds, je pense qu'il serait bon de citer le théorème permettant d'affirmer que tout champ continu peut être vu comme la limite de champs continûment différentiables.
J'apprécie cependant la nouvelle présentation de la démonstration qui est plus facile à lire. Certaines démonstration pourraient être allégée mais je ne tente rien tant que le point fondamental n'est pas réglé. Bon courage. HB (d) 1 mars 2008 à 08:17 (CET)

[modifier] Remarques matinales

Pour préciser, maintenant que j'ai pu imprimer le texte:

  • parfois tu parles de champ de vecteur, parfois de champ de vecteur tangent (du coup on a l'impression qu'il peut y avoir une différence, d'où ma question sur l'orthogonalité). Peux-tu clarifier ce point ?
  • Le changement de notation en route qu'a aussi noté HB, j'ai failli corriger cette nuit en mettant m au début (et m=2n+1), mais je craignais de faire des bêtises (on travaille directement dans un R^m, pas dans le fibré tangent ?). Dans ce cas n n'est pas nécessairement pair, il faut donc bien mettre les parenthèses au bon endroit pour le calcul du volume.
  • La démarche actuelle me semble : on suppose d'abord l'existence d'un champ unitaire et C1, on montre qu'il y a contradiction ; ensuite, on prend un champ quelconque, dont on suppose seulement qu'il est continu et ne s'annule pas, alors on peut trivialement construire un champ unitaire associé et moins trivialement l'approximer par des champs unitaires C1 ; là on voudrait utiliser la contradiction du premier point et avoir une suite de points d'annulation, puis en déduire un pour le champ de départ. Mon pb est que rédigé comme cela, on n'a pas montré qu'il existait un point d'annulation pour un champ unitaire, on a montré qu'un champ unitaire n'existait pas. Il faudrait clarifier, autrement dit : expliquer dès le début que d'abord on se place dans le cas C1 ; si un champ ne s'annule pas, on lui associe un champ unitaire et taratata, contradiction ; ensuite on se place dans le cas général et on approxime par des C1, pour chacun, on a un point d'annulation par la première étape etc.... Au moins, si j'ai compris ce qui se passe (rien n'est moins sûr car je ne sais pa dans quelles hypothèses exactes fonctionne le résultat d'approximation), de toute façon, il faut la variante qui marche.
  • Est-ce que tu vas rédiger le résultat d'approximation ou bien donner juste une référence ? Ce serait bien de le citer précisément au moins pour qu'on voit bien les hypothèses.
  • peut-être mettre des paragraphes séparés pour les différentes étapes du cas C1, en particulier l'arrivée de la fonction auxiliaire h est un peu perturbante (pourquoi est-elle nécessaire ? Est-ce évident ou un résultat standard de topologie ?)
  • corriger les fautes de frappe : HB a noté le carré manquant sur t, il y aussi un truc avec geq qui traîne, je crois que j'ai corrigé les autres, mais je ne suis pas sûre du tout.
  • Dernière question : est-ce qu'il y a une autre preuve (tu le laisses entendre vu la phrase sur Milnor au début), si oui, peut-être le signaler avec des références.
  • Je n'ose pas dire que ce serait un excellent endroit pour mettre en pratique tes injonctions pour avoir plus de détails visuels, d'intuition, etc., mais je le pense très fort, Clin d'œil (par exemple, d'où sort vraiment ce petit miracle sur le double calcul des volumes qui a l'air de faire tout le travail ?). Cordialement, --Cgolds (d) 1 mars 2008 à 11:17 (CET)

[modifier] Ça avance

Merci à toutes les deux de votre relecture critique (et les critiques étaient méritées). J'ai repris la rédaction après 24 heures de repos -- ça fait toujours du bien de laisser les choses reposer.

Je pense que c'est en train de converger. Demain je chercherai à épouiller les coquilles, il y en a sûrement un paquet.

J'ai simplifié un certain nombre de choses, j'en ai détaillé d'autres, j'ai mis v àq la place de x, parce que mon espace vectoriel s'appelle V. Je suis sûre qu'à la relecture je verrai encore des verrues, mais ce soir, je ne les vois plus. Amicalement, --Sylvie Martin (d) 2 mars 2008 à 00:38 (CET)

J'ai été un peu pêcher dans wp, pour trouver des références sur l'approximation par convolution. Je n'en ai pas trouvé. Mais vous savez peut-être les trouver mieux que moi. Cela m'aurait permis de référer.

Bon, je vais faire demain des corrections sur matrice de Toeplitz, et après, je vais penser à l'approximation des fonctions - en tant qu'article. J'ai été voir l'article théorie de l'approximation : il est assez pauvre, et l'article convolution ne vaut guère mieux. --Sylvie Martin (d) 2 mars 2008 à 00:46 (CET)

J'oubliais: le petit miracle... ben John Milnor, c'est quand même un type qui a eu une médaille Fields, et dans son admirable bouquin "Topology from the differentiable viewpoint", il ne donne pas d'explication au petit miracle. J'ai donc essayé de penser à fabriquer une explication vulgarisée pour savoir comment il était tombé sur cette preuve extraordinaire, et je n'ai pas encore trouvé. Il y a d'autres démonstrations - il faut que je me souvienne si c'est de la catégorie de Lyusternik-Schnirel'man ou autre chose. En tous cas, j'ai appris la boule chevelue sans la démonstration de Milnor. Donc je sais qu'il y a une démo beaucoup plus topologique.

En y réfléchissant, comme Milnor a commencé par de la géométrie algébrique et qu'il y a une saveur profondément algébrique dans sa démonstration, il faut que je fasse de l'ingénierie inverse. Je me suis représenté dans ma tête un champ de vecteur tangent et unitaire sur une sphère de dimension 2, et là on se rend compte qu'il peut y avoir deux cas de figure en regardant les courbes intégrales du champ de vecteur.

  1. il y a une courbe intégrale qui se replie sur elle-même ;
  2. il n'y a pas de courbe intégrale qui se replie sur elle-même.

Dans le premier cas, on se ramène à un disque avec un champ de vecteur tangent au bord, et on a dans ce disque un nombre fini ou infini de courbes intégrales fermées. Si c'est un nombre fini, on considère le cas où on a une courbe intégrale sans autre courbe intégrale fermée à l'intérieur, et donc il suffit de suivre une courbe intégrale non fermée et de conclure par un théorème de type Poincaré-Bendixson (tiens, je ne sais pas s'il y est celui-là). S'il y a un nombre infini de courbes fermées, c'est encore plus simple, parce que dans ce cas, on il n'y a pas moyen de mettre des champs qui oscillent trop vite entre des directions opposées. Dans le deuxième cas, on peut utiliser le caractère bidimensionnel pour constater que les courbes intégrales s'enroulent les unes autour des autres sans se recouper, donc on les coince dans des disques de plus en plus petits, et on doit pouvoir conclure tranquillement.

Mais c'est vraiment une esquisse de démonstration, qui ne peut absolument pas marcher en dimension supérieure, à supposer que je puisse la mener jusqu'au bout.

Je pense que la transformation f fournit une approximation de la déformation qu'on aurait en transportant la sphère S_n par le champ. Mais il y a visiblement un ingrédient assez magique, que je n'ai pas encore attrapé. Je ne renonce pas!--Sylvie Martin (d) 2 mars 2008 à 01:00 (CET)

Mon idée sur Milnor est fausse, et mon idée de démonstration aussi, je vais aller lire la littérature. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:27 (CET)
Oui, cela avance vraiment (et la page de discussion est aussi intéressante à lire !). Merci beaucoup. Cordialement, --Cgolds (d) 2 mars 2008 à 20:45 (CET)
Dernières remarques de HB
  • V apparait en début de dem alors qu'il n'est défini que vers le milieu de l'article (espace euclidien \R^{n+1} ?)
Il est défini à la ligne 2 de la démonstration : "à valeurs dans l'espace euclidien V de dimension n+1".--Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
  • Une lecture critique me fait dire que je ne sais pas pourquoi v \mapsto |v|Y(v/|v|) est lipschitzien sur V
Je vais rajouter la démonstration. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
Mea culpa. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
  • h n'est plus défini mais apparaît encore
Mea culpa. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
  • g(.,v) est à remplacer par g(.,t)
Mea culpa. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
  • Pourquoi f M-lipschitzienne impliquerait-il g tM-lipschitzienne ?
Encore une erreur de notation de ma part.--Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
  • il existe un point fixe v qui appartient à V qui sera l'antécédent de w par f(.,t). peut-être serait-il bon de signaler que v est bien sur la sphère de centre O et de rayon r=1/\sqrt{1+t^2}
Cela découle de la construction précédente, mais si c'est susceptible de mettre les lecteurs plus à l'aise, je vais le préciser.
  • La fonction phi a chez moi deux apparences différentes (en affichage) : φ et \phi\,
  • epsilon n'est pas précisé et donc la convergence uniforme vers X non plus (epsilon tend vers quoi? vers 0 je suppose ? pourquoi ne travaille-t-on plus sur une suite X_k ?) Pour le reste, le produit de convolution dépasse mes compétences mais il me semble qu'il manque une norme quelque part car on a de nouveau un produit de deux vecteurs dans l'intégrale
Je viens de lire trois démonstrations imprécises d'un théorème de haut niveau qui dépasse mes capacités. Je n'en lirai pas une quatrième. Si Cgolds accepte de continuer les relectures, pas de problème. Sinon, il me semble que wikipédia peut vivre sans la démonstration du théorème de la boule chevelue. HB (d) 3 mars 2008 à 09:46 (CET)
Chère HB, tes relectures sont éminemment utiles, et je t'en remercie très vivement et très sincèrement. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:35 (CET)
Je pense que V est le même que celui défini au début de la preuve (euclidien de dimension n+1) (j'espère, parce que sinon, je lâche prise). Tu as raison pour le lien sur Banach (je ne l'ai pas vu, mea maxima culpa, ouch, désolée, parce que quand on passe la souris, on voit seulement 'théorème de Banach', il faut cliquer dessus pour avoir droit à la redirection. Amha on a d'ailleurs besoin d'une page d'homonymie sur théorème de Banach comme on a pour théorème de Bézout ou de Gauss). Sur phi, j'ai le même problème dans courbe elliptique et j'ai demandé quoi faire il y a quelques semaines à Flo, expert TeX/typo maths sur wikipédia, il me dit qu'il ne sait pas non plus. C'est possible qu'ici on puisse se contenter de mettre tout entre des balises math comme tu proposes, si j'ai bien compris. Sourire, --Cgolds (d) 3 mars 2008 à 19:59 (CET)
Le hasard m'a fait retomber sur un article où j'ai trouvé entretemps la solution : \varphi. Si cela peut vous aider... et je suis assez d'accord pour une page d'homonymie sur théorème de Banach avec tous les théorèmes de la page Stefan Banach ? HB (d) 3 mars 2008 à 21:02 (CET)
J'ai peur que cela ne résolve pas tout, voir les explications de Flo : Discussion Utilisateur:Flo#Mystère phi. Comme je ne comprends rien à la question HTML/Wiki/LaTeX, je ne m'avance pas là-dessus ! Ok pour Banach. Amitiés, --Cgolds (d) 4 mars 2008 à 02:18 (CET)
Voilà, j'ai encore retravaillé l'article "Boule chevelue". J'ai encore des choses à y rajouter: montrer comment on peut tirer le théorème de point fixe de Brouwer du théorème de la boule chevelue, et rajouter encore une indication de démonstration (pour la sphère S2) à partir du lemme de Sperner, et penser à d'autres applications que celle qui est donnée, et qui n'est pas folichonne. Je connais une démonstration infiniment plus simple du même énoncé. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 20:19 (CET)
Je suis tombée sur une feuille de TD de Paris 6 qui donne une démonstration du théorème de la boule chevelue qu'on peut exploiter pour une approche intuitive du théorème sur la sphère ordinaire. Il y aura un problème de sourçage... mais je peux bien référer à une feuille de TD! --Sylvie Martin (d) 12 mars 2008 à 12:46 (CET)

[modifier] Approche intuitive ?

Il me semble qu'il faudrait expliciter ce petit paragraphe car en deux phrases il passe du coq à l'âne si je puis me permettre : coiffure -> boule chevelue (jusqu'ici tout va bien) -> épi (heu... cheveux en bataille ?) -> Terre (ok, tête ronde comme terre est ronde, épi -> champ de blé ?) -> vent (heu... autant en emporte un épi...)... Cordialement, DocteurCosmos - ✉ 3 mars 2008 à 17:29 (CET)


J'ai deux choses dans mon agenda de cette après-midi: faire un tour à la bibli pour comprendre comment Milnor a fabriqué sa démonstration - il paraît que ça vient de Vassiliev, et tenter de répondre à ta question. --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 16:21 (CET)


Ce n'était pas Vassiliev, c'était un certain Daniel Asimov, dont je ne sais pas grand chose. Bon, c'est la vie... --Sylvie Martin (d) 11 mars 2008 à 19:47 (CET)

[modifier] boîte déroulante

J'ai mis la démonstration dans une boîte déroulante de démonstration, et j'ai appris qu'il faut éviter les barres de valeur absolue dans le texte de la démo, sauf si elles sont dans un environnement <math>...</math>. --Sylvie Martin (d) 12 mars 2008 à 19:09 (CET)

Il existe une solution qui permet les barres déroulantes, il faut utiliser cette syntaxe :

Exemple de syntaxe

Pas de souci pour utiliser les barres de la |.|

 

Jean-Luc W (d) 12 mars 2008 à 19:18 (CET)

Merci. --Sylvie Martin (d) 12 mars 2008 à 19:39 (CET)

[modifier] Fréquentation

Avant les développements de Sylvie Martin, l'article doit probablement se situer à une fréquentation entre 100 et 200 lecteurs mois.

La mise en place d'une démonstration limpide et l'effort d'accessibilité devrait, si mon intuition sur la fréquentation est juste, amener l'article à une fréquentation entre 350 et 500 visites mois.

A terme, une fois que les mathématiques de Brouwer seront bien documentées dans WP, je ne vois pas pourquoi la fréquentation serait inférieure à celle des polynômes cyclotomiques soit plus de 1 000 visites mois. Cela supposerait néanmoins que la demi-douzaine d'articles connexes soit abordée avec un traitement analogue (démonstrations, contexte, conséquences ) Jean-Luc W (d) 13 mars 2008 à 10:35 (CET)

Je vais y travailler. J'ai en vue une approche intuitive avec dessins dans le cas de la sphère ordinaire, et il faut que je mette la déduction du théorème de Brouwer dans l'article. --Sylvie Martin (d) 13 mars 2008 à 12:27 (CET)
Mais je n'avais pas vu le paquet de bonnes choses que tu as mises, mon cher Jean-Luc! Bravo pour le travail!. --Sylvie Martin (d) 13 mars 2008 à 12:52 (CET)

Merci. Je crois que j'ai compris la direction que tu souhaites donner à l'article. La question que je me pose est la suivante : à quelle catégorie appartient l'article. C'est une question importante car elle permet au lecteur de retrouver les articles connexes sans trop de difficultés. Le théorème de la boule chevelue, est de la géométrie euclidienne, de la géométrie différentielle; de la géométrie algébrique ou de l'intuitionnisme tel que le défini Brouwer en 1907 ? Quelles sont les articles connexes ? Dans Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie j'y consacre un petit paragraphe et cite le théorème de Stone-Weierstrass, celui de la boule chevelue, celui du point fixe de Brouwer et son théorème d'invariance.

Les catégories claires semblent importantes car elles permettent une navigation plus aisée. Comment vois-tu les choses ? Jean-Luc W (d) 14 mars 2008 à 09:14 (CET)

Hmmm, je ne suis neuve sur wp et les catégories. Mais disons que le théorème lui-même relève certainement de la topologie algébrique. Et la topologie algébrique nous dit que si une variété différentielle est difféomorphe à une sphère, le théorème restera vrai. J'ai besoin du différentiel parce que j'ai besoin de champs de vecteurs tangents.
La question que tu poses est similaire à celle qu'on pose en géométrie projective. On veut démontrer une propriété projective. Un chemin possible est de la démontrer dans un contexte métrique et affine, et de passer au cas général par une homographie convenable. Est-ce de la géométrie affine euclidienne?
Ce matin, je pensais à l'orange qui est sur la table de ma cuisine et qui va servir d'animal d'expérience pour la démonstration intuitive que je projette - ce n'est pas vraiment une sphère, n'empêche que le théorème reste vrai (et je le pointerai dans la démonstration). Je me propose de faire quelques photos de l'animal convenablement tatoué, d'expliquer comment on transfère le problème sur un cylindre (de papier) tangent à l'orange le long de son équateur, et de raisonner ensuite sur la figure dessinée sur le cylindre. A la fin, je lui donnerai comme compagnon un citron tatoué de façon analogue, pour insister sur le fait que les détails de la forme ne sont pas importants.

J'ai suivi ton idée, c'est une bonne chose si tu peux vérifier que la catégorie de la boule chevelue est relativement bien structurée, c'est à dire si un lecteur trouvera le contexte et les idées connexes permettant de comprendre les rudiments de la question.

Pour les tatouages, c'est sympathique si tu n'utilise pas le français. Tes images sont alors souvent reprises dans les WP des autres langues. Comme ils font parfois pareils, c'est assez sympathique de disposer d'un stock de visualisations différentes pour illustrer un concept. Il existe une illustration amusante dans l'article topologie qui exprime l'idée que tu cites. La faiblesse du traitement proposée à l'heure actuelle et à mon avis, est l'absence de liens vers les autres articles. Soit, on peut admettre en terme savant qu'il y a du foncteur derrière l'homéomorphisme. Et alors ? Sur quel sujet cette intuition peut-elle m'aider ? Le paragraphe Idée intuitive de l'article topologie me laisse finalement presque dans l'état d'ignorance initiale.

Une dernière question est celle du titre. Nous sommes arrivés avec Touriste à la conclusion que le choix initial du titre n'avait que peu d'importance. Il est beaucoup plus facile, une fois l'article rédigée, de statuer sur le meilleur titre ainsi que sur les différentes pages devant être irriguées par le nouvel article. Jean-Luc W (d) 14 mars 2008 à 11:39 (CET)

Bonjour Jean-Luc, je ne suis pas sûre de comprendre ce que tu veux dire à propos de l'article topologie. Je viens de lire l'introduction de l'article, avec la déformation de la tasse en tore solide. Je ne pensais pas mettre du foncteur dans l'article sur la boule chevelue, cela ne me paraît pas du bon niveau. Je ne suis pas d'accord avec la remarque de l'article topologie sur la représentation comme un obstacle à l'accès au concept. Bien au contraire, je pense tout à fait essentiel de disposer de représentations dont on est sûr dans des cas simples, pour ensuite parvenir à des concepts plus généraux et plus abstraits.
Je ne crois pas que l'approche bourbakiste, du général au particulier, ait quelque mérite que ce soit du point de vue de l'enseignement des idées. Je voudrais utiliser une image qui provient de très loin, à savoir de Rabbi H'aïm de Volojine, dans son livre "L'âme de la vie", Editions Verdier. A son avis, il est plus intéressant d'avoir une vilaine petite grange pleine à ras bord de grain qu'une grande et belle grange, avec un tout petit tas de grain au milieu. Bien qu'il utilise cette image pour un argument de nature religieuse, je crois cet argument très fort comme image de la construction des connaissances et de la transmission des idées. Ce qui m'intéresse, c'est de permettre aux lecteurs d'amasser du grain, et une fois qu'ils ont amassé du grain, on peut leur montrer l'intérêt de construire une grange plus grande et plus belle. On ne peut profiter des Grandes Généralisations Mathématiques que si on est tout à fait à l'aise dans un domaine ordinaire, où nos représentations habituelles fonctionnent. Une fois cette aisance assurée, on peut monter un peu plus haut, et on peut voir un paysage plus vaste et qui demande d'autres outils pour être compris. Ou de façon plus mathématique, c'est comme si on essayait d'enseigner la notion de nombre à quelqu'un qui a du mal à diviser concrètement 12 abricots entre 6 convives, et je ne parle pas ici de techniques opératoires. Bon je radote un peu, et je crains de ne pas avoir éclairci le débat... --Sylvie Martin (d) 14 mars 2008 à 13:11 (CET)

Pardonne mon absence de Clarté.

Sur l'intuitionnisme et le formalisme, les programmes de l'éducation nationale, toujours en retard sur les nécessités de la recherche, m'ont formaté la tête avec Bourbaki. Formalisme que personnellement j'apprécie. De la à vouloir favoriser une encyclopédie vers un point de vue personnel, il existe un pas que je ne franchirais pas. Que certains comme toi ou Peps voyez les choses différemment est le meilleur gage d'un équilibre plus sain. De plus traiter les résultats de Brouwer avec une méthode intuitionniste semble plus logique qu'un formalisme à la Hilbert.

Quand je parle de foncteur ou d'homéomorphisme, c'est en vue de résumer une idée d'une manière qui n'a aucune valeur didactique. Ceux qui comprennent savaient déjà de quoi je parlais. Le désaccord qu'il y a peut être, ne réside pas sur tes propos. Nous sommes parfaitement en phase, je vais tenter de réexprimer mon idée de manière plus claire (utilisant un vocabulaire parfois technique parce que c'est plus simple pour moi, mais pas du tout pour préconiser un style rédactionnel où clairement je ne te serais d'aucune utilité. Soit dit en passant l'article Théorème de Lagrange sur les groupes propose une brillante démonstration à l'aide des actions de groupes : bilan en fréquentation, un bide total, le lecteur qui domine l'action de groupe ne cherche pas le théorème de Lagrange sur WP).

Soit, l'homéomorphisme me permet de classifier des variétés algébriques, et alors ? Pourquoi est-ce une idée puissante ? Quelle question est mieux comprise avec une telle approche ? Est-ce uniquement un problème abstrait posé par des gens qui n'ont rien de mieux à faire ou est-ce une clé de la compréhension de nombreuses questions mathématiques, physiques ou de l'ordre des sciences de l'ingénieur ? L'article topologie ne répond pas à cette question, pour moi essentielle. Il est fréquent que les questions que me posent les lecteurs aillent un cran plus loin que celles traités dans l'article topologie. Un exemple, en lisant l'article sur les représentations des groupes, un lecteur non spécialiste a parfaitement compris qu'incarner un groupe fini par des isométries est une belle idée. Mais avec ça, est-ce vrai que l'on comprend mieux les groupes finis ? et si oui, pourquoi et comment ? Ensuite il m'a posé la question de la dimension infinie et comme rien n'est sérieusement fait pour l'instant, je n'ai pu qu' ânonner des platitudes dans le grosso et le modo.

Voilà pourquoi j'ai ajouté deux exemples, que j'ai cherché dans la même veine que la teneur de tes propos. Justifier un aussi beau théorème que celui de la boule chevelue par la non inversibilité d'un endomorphisme anti-symétrique, Mazette, tu n'es pas économe des moyens! Tu sais aussi bien que moi le démontrer de manière plus générale (par exemple sur n'importe quel corps commutatif) et pour moins cher. J'ai omis l'exemple sur la programmation informatique de l'article anglais qui n'était pas dans l'esprit que tu donnes à l'article au profit de deux exemples illustrant le fait que la connaissance du théorème pouvait donner une intuition de certains domaines de la physique et du monde de l'ingénieur. En introduction j'ai évidemment évité les liens des articles vers une conception formelle de la topologie, qui ne vont pas dans le sens de l'article. Si je suis à coté de la plaque, revertes d'abord et causes ensuite. Je sais bien qu'il existe des tas d'éléments qui m'échappent dans cette histoire. Jean-Luc W (d) 14 mars 2008 à 14:32 (CET)

Re-bonjour Jean-Luc. Je vais méditer... mais reverter d'abord et causer après, non, il faudrait être fort malotru pour faire ça, alors que nous avons un dialogue tout à fait intéressant. La non inversibilité des opérateurs antisymétriques, ça y était avant dans l'article, j'ai trouvé ça bête, j'ai corrigé une bricole et j'ai laissé.
Je pense le virer dès que j'aurai écrit le passage de la boule chevelue à Brouwer. Je pense mettre aussi le théorème de Frobenius sur la matrices positives, à partir de Brouwer, parce que ça, c'esst un théorème juteux et sympathique! Je pense le faire sur la page point fixe de Brouwer, qu'il me faut aller regarder. Pour cela, il faut évidemment passer des boules à tout convexe, ce que je crois pouvoir expliquer simplement. Je pense qu'on pourra alors comprendre l'intérêt de faire de la topologie. Aussi, Brouwer permet de résoudre des floppées de problèmes non linéaires. Si on accepte les approximations en dimension finie, on peut vraiment se faire plaisir, sans la théorie de Leray-Schauder.
Ceci étant, je viens d'aller voir la page Théorème du point fixe de Brouwer, et je l'ai trouvé peu lisible. Elle est en tous cas beaucoup plus compliquée que la preuve que je connaissais, qui fait la différence entre les cas de dimension paire et de dimension impaire, et qui se trouve dans le papier original de Milnor. Je vais sans doute cette fois-ci développer une page de brouillon pour proposer ma démonstration, avant de la poster dans l'article en question.
Maintenant sur la critique de l'article topologie, là, je crois que j'ai pigé : il faut arriver à exposer des résultats dont le caractère topologique (c'est à dire invariant par homéomorphisme, ou mieux par homotopie) est clair. Est-ce cela que tu voulais dire? Si c'est cela, alors il me semble que l'enrichissement en exemples et en applications est une des voies possibles pour donner de la chair à tout cela. C'est beaucoup plus facile d'expliquer l'intérêt de la topologie, une fois qu'on a de bons et beaux exemples auxquels on peut faire référence. Est-ce que j'ai bien saisi ta pensée?

--Sylvie Martin (d) 14 mars 2008 à 16:23 (CET)

Tu as tout compris. Brouwer ne favorise pas le plaisir du texte, comme disait Barthes. Oui tu as parfaitement compris ma pensée. En te relisant mieux, je comprend maintenant que tu parlais d'homotopie. Les lecteurs semblent raffoler d'exemples, je suis sur qu'une explication de nature graphique est l'approche la plus adaptée pour WP. Tu vas être contente, Touriste a déjà un peu nettoyé la convexité sur WP. Jean-Luc W (d) 14 mars 2008 à 17:00 (CET)

[modifier] contradiction

Il faudrait préciser la contradiction attendue.Claudeh5 (d) 28 mars 2008 à 07:17 (CET)

[modifier] Critique de l’article

[modifier] Forces

  1. Le style allie des propriétés rares. Il est à la fois limpide et rigoureux. Au sens technique, il remplit, à mon sens admirablement l’objectif. Il donne une image à la fois intuitive et précise du contenu ainsi que des méthodes pour se convaincre de la véracité du théorème.
  2. L’article est rafraîchissant, plaisant à lire. Sous ses dehors faussement naïfs, il met en valeur les mécanismes subtils de la démonstration à travers la juste dose de métaphores, favorisant le plaisir du texte.
  3. Il suit les principes de WP, un accès au plus grand nombre sans pour autant confondre vulgarisation et vulgarité. Le terme de vulgarité décrit ici la diffusion d’un savoir galvaudé. En un mot, le texte est populaire sans être démagogue.

[modifier] Faiblesses

  1. Il en fait, à mon goût parfois inutilement trop. Un lecteur à même de comprendre la pertinence et la délicieuse subtilité de l’explication n’a pas besoin de mode d’emploi. La description des différents éléments constitutifs du montage de l’animation est de trop.
  2. Le style est incohérent. L’introduction est froide, ampoulée, à l’image des exemples, platement rédigés. Une homogénéisation est bienvenue.

[modifier] Opportunités

  1. Voilà un style nouveau sur WP. Il me semble dans la droite ligne d’une intuition que Brouwer n’aurait pas reniée. Les mathématiques sont l’œuvre d’esprits bien différents. Le style reflète une tendance jusque là absente de WP, cette absence était plus qu’un omission, pour moi c’était une erreur.

[modifier] Menaces

  1. Bien peu sont capables d’imiter une approche de cette nature. Beaucoup risquent d’être tentés par un plagiat qui brillera autant par l’impertinence que l’inexactitude. La vigilance est de rigueur, ainsi que la diplomatie. Ce style risque de tenter plus de jeunes fous que de vieux sages, et là gare aux catastrophes.
  2. Cette approche corrode l’argument de l’inédit, utilisé avec autant de justesse que de mauvaise foi par des vacanciers ou des mains en or pour permettre le retrait d’informations erronées ou sans pertinence. L’argument est imparable et coupe court aux discussions oiseuses. Je pense à l’article sur le loto, dont la page de discussion ne manque pas de truculence. Il sera plus difficile à utiliser avec des textes de cette nature. La référence utilisée ici n'est pas très WP.
  3. L’écriture à plusieurs mains d’articles de cette nature est délicate, un style neutre et plat est plus facile pour un article aux contributeurs variés.

[modifier] Conclusion

Accepter une contribution de cette nature n’est pas innocent. Elle place la barre haute et demande une vigilance accrue. Personnellement, je suis convaincu que le gain sera supérieur aux effets de bord néfastes. Pour reprendre une expression de l’époque de la bougie : le jeu vaut la chandelle. Jean-Luc W (d) 28 mars 2008 à 08:54 (CET)

Cher Jean-Luc, merci, mais je Tout rouge sous l'avalanche. Pour dire la vérité, j'interviens sur wp parce que l'enseignement me manque ; je ne peux plus en faire pour raisons de santé. Donc j'ai choisi un style proche de mon enseignement oral, qui n'a pas grand chose à voir avec le style de mes écrits pédagogiques ou scientifiques. J'ai décrit précisément les éléments du montage à cause de le contrainte de rester lisible et compréhensible pour les non-voyants. Je garde aussi toujours en tête la diversité des différentes méthodes d'accès cognitif. Je connais des matheux qui pensent sans écrire, et quand c'est prêt, ils mettent tout par écrit d'un seul trait ou presque. Il y a comme ça des gens qui travaillent couchés sur leur lit, dans le calme et l'obscurité. Qui travaillent, hein, pas qui dorment Clin d'œil !!! Je serais plutôt le genre à beaucoup écrire, à être très visuelle et même kinesthésique dans ma manière d'imaginer les maths. Pour moi, la représentation des maths passe par le mouvement corporel, et aussi loin que je me souvienne il en a toujours été ainsi. Je connais aussi des matheux auditifs... ils n'ont pas besoin de dessiner ou d'écrire, ils ont besoin de parler et d'entendre. Bien sûr, Marinette, c'est moi. Il m'a fallu élaborer intellectuellement ma représentation de la petite bonne femme se promenant vers l'est sur les parallèles de la terre-orange pour comprendre la démonstration telle qu'elle était proposée par la source. J'ai d'ailleurs appris de collègue intéressés par les aspects cognitifs du mouvement qu'on peut prouver que si on exécute un mouvement, on allume à peu près les mêmes zones corticales que si on pense à l'exécuter...
A propos de la source : je soupçonne que ça doit se trouver dans un livre de problèmes quelque part. Mais je ne l'ai pas trouvée ailleurs que sur ce "phorum". Il faudrait passer au peigne fin les livres d'exercices et problèmes de licence. Ça va me prendre un peu de temps, mais si je trouve mieux, je mettrai mieux. A noter l'étrangeté de la source : il y a quelqu'un qui s'est pris la tête pour mettre sous forme formelle, sans un seul dessin la démonstration avec orange que j'ai mise dans l'article, et si on va voir la source, le premier problème de l'étudiant qui questionne, c'est qu'il ne comprend pas à quoi tout cela rime! Mais c'est étudié pour qu'il fasse les figures lui-même à partir de la description formelle Triste et cela me semble relever d'une approche sadique des mathématiques.
Il y a en effet au moins deux étapes dans la compréhension des maths (1) comprendre l'énoncé du résultat (2) comprendre pourquoi il est vrai en le prouvant rigoureusement. On peut bien sûr écrire une preuve de (2) sans avoir réussi (1), en restant le nez complètement collé au guidon, mais je trouve cela peu instructif...
Je suis frappée encore maintenant par le sentiment largement répandu que les maths ne sont pas une science pour une au moins des deux raisons suivantes (1) elles seraient tautologiques (2) elles ne seraient pas expérimentales. Mais je suis également frappée par le choix des maths comme choix négatif : pour les étudiants en science, les maths seraient quelque chose de plus rassurant que la physique, parce qu'on peut être sûr de la réponse...
Sur le caractère tautologique des maths, on peut répondre que les maths construisent des machines suffisamment compliquées pour qu'on ne connaisse pas l'intégralité de leur comportement, même si on les a construites. C'est la même chose que ce que fait l'ingénieur : il construit des machines, par exemple mécaniques, mais ce n'est pas pour autant qu'il peut tout prévoir, et depuis qu'on sait construire des machines au comportement déterministe et chaotique (comme le pendule double en grands déplacements), on a des exemples concrets de l'imprévisibilité de la machine matérielle. A fortiori, la machine virtuelle des matheux est, elle aussi, imprévisible.
Sur le caractère expérimental des maths, je ne peux que citer le grand mathématicien Vladimir Arnol'd, qui dit que "les maths, c'est de la physique qui ne coûte pas cher".
Sur le caractère rassurant des maths, je dois dire que je suis toujours effarée quand j'entends ce genre d'appréciation, parce que cela me prouve qu'on enseigne vraiment les maths de travers. C'est un peu comme si on enseignait la musique et le jeu d'un instrument en ne faisant faire que du solfège, des gammes et des exercices de virtuosité et sans jamais donner l'occasion de jouer des morceaux qui parlent à l'âme. Autant pour le solfège ou les exercices de virtuosité, on peut avoir "juste ou faux", autant pour une interprétation, il y a plusieurs solutions possibles, qui ne s'ordonnent pas totalement. Il en est de même pour les maths : il y a quelque chose qui parle à l'âme, et la technique est là pour assurer que la maison tient debout. On ne peut pas habiter dans une maison qui s'effondre, mais une maison solide peut être grande ou petite, belle ou laide, tendrelette ou majestueuse, et ainsi de suite. Et puis on ne fait pas la Tour Montparnasse avec les mêmes techniques que le pavillon "Sam'suffit".
Concrètement, je participe à wp pour m'amuser et transmettre ce plaisir de l'âme que sont pour moi les mathématiques. Comme ça, je me fais du bien à mon âme, et j'espère en faire aussi à l'âme d'autrui. Je vais essayer d'unifier le style, mais j'ai encore des choses à faire avant : passer du théorème de la boule chevelue au théorème de Brouwer, et là aussi j'ai à la fois une démonstration visuelle et une démonstration formelle. Cela me laissera le temps de relire dans quelques jours ce que je viens d'écrire, et donc de corriger les défauts que je verrai ou qu'on me signalera.

[modifier] Déterminant

Normalement, quand on effectue un changement de variables dans une intégrale multiple il apparaît un déterminant, certe, mais EN VALEUR ABSOLUE ! or je ne vois nulle part ni la valeur absolue ni le caractète positif du déterminant.Claudeh5 (d) 28 mars 2008 à 11:43 (CET)

Pas tout à fait vrai : seulement si le changement de variables est un difféomorphisme. Dans ce cas-là, comme le déterminant est une fonction continue de l'espace et qu'il ne s'annule jamais, il reste de signe constant, et donc l'utilisation de la valeur absolue est parfaitement justifiée. Mais si on est dans un cas où le changement de variable n'est pas un difféomorphisme, il faut considérer des intégrales orientées, et ne pas mettre de valeur absolue. On obtient ainsi la généralisation correcte de la formule monodimensionnelle basée sur l'identité (F(g))'(x) = F'(g(x))g'(x), F et g étant des fonctions continûment différentiables.
En effet, pour fixer les idées, supposons que g soit d'abord strictement croissante sur [a,x1], puis strictement décroissante sur [x1,x2] et ensuite strictement croissante sur [x2,b]. On a alors les identité suivantes:
\begin{align} \int_a^{x_1} F'(g(x))|g'(x)|\, \mathrm{d}x&=\int_{g(a)}^{g(x_1)} F'(y)\, \mathrm{d}y,\\ \int_{x_1}^{x_2}F'(g(x)) |g'(x)|\,\mathrm{d}x&=\int_{g(x_2)}^{g(x_1)} F'(y)\,\mathrm{dy},\\ \int_{x_2}^b F'(g(x)) |g'(x)|\,\mathrm{d}x&=\int_{g(x_2)}^b F'(y)\,\mathrm{d}y. \end{align}
J'ai écrit dans les formules ci-dessus uniquement des intégrales non orientées sur des intervalles [c,d] avec c\le d. Mais je peux poser
\int_{d}^c h(x)\,\mathrm{d}x=-\int_c^d h(x)\, \mathrm{d}x,
pour toute fonction intégrable h et on peut démontrer que c'est consistant. En particulier, si on pose I = [a,b] et J = g(I), on peut écrire
\int_J F'(y)\,\mathrm{d}y=\int_{g(a)}^{g(x_1)} F'(y) \,\mathrm{d}y+\int_{g(x_1)}^{g(x_2)}F'(y)\,\mathrm{d}y +\int_{g(x_2)}^b F'(y)\,\mathrm{d}y
et munis de cette décomposition, on vérifie immédiatement l'identité
\int_I F'(g(x)) g'(x)\,\mathrm{d}x =\int_J F'(y)\,\mathrm{d}y.

La différence avec la formule que tu connais, c'est qu'on introduit une orientation sur les ensembles d'intégration : J est fait de trois morceaux [g(a),g(x1)] orienté positivement, [g(x2),g(x1)], orienté négativement et [g(x2),g(b)] orienté positivement.

La généralisation de cette formule au cas des intégrales multiples se fait (plus ou moins bien...) en 2ème année de licence pour l'intégrale de Riemann et en 3ème année de licence pour l'intégrale de Lebesgue, et je suis à peu près sûre que mes collègues matheux ont bien du mal à l'enseigner après avoir fait souffrir les étudiants avaler les différentes théories de l'intégration. Je crains donc que la démonstration ne soit vraiment faite proprement qu'en 1ère année de master, ce qui me paraît bien tardif. En revanche, les physiciens doivent absolument faire entrer cette notion dans la tête de leurs étudiants parce qu'ils ont besoin des formules de Stokes et d'Ostrogradski, sinon, ils ne peuvent pas faire de théorie des champs. Pas d'électromagnétisme, pas de gravitation un peu intéressante, etc... ce qui fait que les étudiants en physique savent cela forcément dès la deuxième année de licence. Je pense qu'ils le savent plus comme une recette assez formelle que comme un vrai théorème de maths. La mise en place d'une démonstration mathématiquement correcte et générale est en fait fameusement technique.
Je vais donc signaler qu'il s'agit d'intégrales orientées. Et je vais aller regarder comment c'est fait sur wp. --Sylvie Martin (d) 28 mars 2008 à 13:33 (CET)
Plutôt que de parler d'intégrales orientées, j'ai rajouté quelques mots qui permettent de trouver le signe du déterminant - il est toujours positif. --Sylvie Martin (d) 28 mars 2008 à 18:09 (CET)
Je ne comprends pas. La remarque faite est exacte dans le cas n=1 mais ne semble pas résoudre le cas n>1.Dans toutes les démonstrations que j'ai vues, la condition est TOUJOURS celle d'un difféomorphisme C1. Je ne connais aucune démonstration où ce n'est pas un difféomorphisme.
  1. Jacod, Théorie de l'intégration : difféomorphisme de classe C1.
  2. Le Gall, Cours d'intégration et probabilités: difféomorphisme de classe C1. Il commence par le cas particulier d'une matrice de changement de variable M supposée inversible et fait la remarque que si la matrice n'est pas inversible, le domaine d'intégration est de mesure nulle.
  3. Lerner, Intégration. Difféomorphisme de classe C1.
  4. Malliavin, Intégration, analyse de Fourier, probabilités, analyse gaussienne: utilise explicitement que Det Jacobien est non nul pour pouvoir utiliser le théorème d'inversion local. Démonstration par récurrence.
  5. Wagschal, Dérivation, intégration: démonstartion par récurrence sur des C1-difféomorphismes.
  6. Favard, Cours d'analyse de l'école polytechnique, T1: "homéomorphisme différentiable" ... "le déterminant ne s'annulant pas dans D".

Claudeh5 (d) 29 mars 2008 à 08:13 (CET)


La démonstration la plus simple se fait en supposant que g est une application continûment différentiable d'un ouvert U de \R^n dans un ouvert V de \R^n. On va décomposer U en trois morceaux:
  • un ouvert U_+=\{x\in U:\det g(x)>0\};
  • un ouvert U_-=\{x\in U:\det g(x)<0\};
  • un fermé relatif U_0=\{x\in U:\det g(x)=0\}.
Si f est une fonction intégrable sur U, on peut montrer que
\int_{g(U_0)}f(y) \mathrm{d}y=0.
Pour ce faire, on approche l'ensemble U0 par une suite de compacts, et en travaillant on arrive à montrer que la mesure de l'image par g est nulle. Je dis qu'il faut travailler parce que U0 peut être d'intérieur non vide. Je n'ai pas tous les détails en tête, donc je n'en dis pas plus. On a également, par la formule classique du changement de variable
\int_{g(U_+)} f(y)\mathrm{d}y=\int_{U_+} f(x) \det Dg(x)\, \mathrm{d}x
et
\int_{g(U_-)} f(y)\mathrm{d}y=\int_{U_-} f(x) |\det Dg(x)|\, \mathrm{d}x.
On peut regrouper toute cette information sous la forme
\int_{g(U_+)-g(U_-)} f(y)\,\mathrm{d} y=\int_U f(x) \det Dg(x)\,\mathrm{d} x.
Ici, j'ai introduit une notation bizarre : g(U + ) − g(U − ), qui veut dire que je considère que le morceau g(U + ) est muni de l'orientation positive et le morceau g(U − ) est muni de l'orientation négative. Si on pense que n vaut 2, cela revient à penser à un g qui prend une feuille de papier et la transforme en un machin toujours à deux dimensions mais avec des plis qui se recouvrent. Donc je vais faire la différence entre les parties paires et impaires des plis, et je vais dire que je retranche la contribution des parties impaires de la contribution des parties paires.
Mathématiquement, ça ne pose strictement aucun problème, et les petits physiciens apprennent cela au berceau, sinon, comme je le disais plus haut, ils ne peuvent pas faire d'électromagnétisme. En revanche, on a renoncé à en parler en maths, parce qu'on peut s'en passer tant qu'on ne fait pas... de physique ou de vraie géométrie différentielle. Aussi parce que cette notion d'ensemble orienté peut paraître mal fondée de la manière dont je viens de la décrire. Elle est cependant tout à fait rigoureuse, et je ne sais pas très bien pourquoi on a laissé tomber ce genre de choses dans l'enseignement standard universitaire. Peut-être parce qu'on manque de temps, sachant que beaucoup de choses qui étaient enseignées autrefois au lycée ne le sont plus. Mais je crois que ce n'est pas la seule raison. Il y a aussi la volonté de se distinguer des physiciens... dommage.
Ces choses sont peut-être enseignées actuellement aux matheux en cours de géométrie différentielle. Il faudrait vérifier. Mais en ce cas, elles sont enseignées à toute vitesse, et je ne suis pas étonnée que quelqu'un ayant eu une formation standard de maths dans les années 80 ne connaisse pas cela.
La construction la plus formalisée et générale se fait au moyen de formes différentielles, et elle se fait comme suit.
Soit gune application continûment différentiable d'un ouvert U de \R^q dans l'ouvert V de \R^n. Alors on peut définir pour chaque forme différentielle λ sur V de degré 1, la rétrotirette (pullback, en anglais) de λ, notée g * λ par la formule suivante, pour tout vecteur u de \R^q
(g^*\lambda)(x)\cdot u=\lambda(g(x)) Dg(x)\cdot u.
Pour éviter les céphalées, il suffit de se souvenir qu'une forme différentielle de degré 1 sur un ouvert de \R^l, c'est simplement un champ de formes linéaires sur l'ouvert, agissant sur des vecteurs à l composantes. Et la formule ci-dessus est fabriquée par analogie avec la formule \mathrm{d}(f\circ g)(x)=(\mathrm{d}f)(g(x)) Dg(x).
Maintenant, on peut généraliser la définition à un produit extérieur de k formes différentielles de degré 1:
g^*(\lambda_1\wedge\dots\wedge\lambda_k)(x)\cdot (u_1,\dots, u_k) =\lambda_1(g(x))\wedge\dots\wedge\lambda_k(g(x)) \cdot (Dg(x)u_1,\dots,Dg(x)u_k).
Une autre manière d'écrire les choses est
g^*(\lambda_1\wedge\dots\wedge\lambda_k)=(\lambda_1\circ g)\wedge\dots\wedge(\lambda_k\circ g) \bigl((Dg)^{\wedge k}\bigr),
qui utilise la puissance extérieure de degré k de l'application linéaire Dg.
Comme toute forme différentielle est une somme finie de produits extérieurs de formes de degré 1, on a donc pour toute forme différentielle de degré k la définition
g^*\lambda=(\lambda\circ g) Dg^{\wedge k}.
En particulier, si q = n, la puissance extérieure n-ième de Dg, c'est le déterminant de Dg, et donc la formule générale devient
g^*\omega=(\omega\circ g)\det Dg.
Comme une forme différentielle ω de degré n sur l'ouvert U s'écrit aussi
\omega=f\mathrm{d}y_1\wedge\dots\wedge \mathrm{d}y_n,
on obtient ainsi la forme finale du résultat:
g^*(f\mathrm{d}y_1\wedge\dots\wedge \mathrm{d}y_n)=(f\circ g) (\det Dg)\mathrm{d}x_1\dots\wedge\mathrm{d}x_n.
Maintenant, il n'y a plus qu'à apliquer ce résultat en intégration. Si f est une fonction intégrable sur U, alors on aura
\int_{g(U)} f(y) \mathrm{d}y_1\wedge\dots\wedge \mathrm{d}y_n=\int_U f(g(x))\det Dg(x) \mathrm{d}x_1\dots\wedge\mathrm{d}x_n.
Les intégrales ci-dessus sont des intégrales orientées. Cela veut dire que tout ensemble intégrable est muni d'une orientation + ou -, ou découpé en parties diversement orientées. Par convention, si A est orienté +, l'intégrale de la forme volume sur A est l'intégrale de Lebesgue habituelle. Si on considère g(A), on prend comme définition la formule ci-dessus:
\int_{g(A)}\mathrm{d}y_1\wedge\dots\wedge \mathrm{d}y_n=\int_A \det Dg(x)\mathrm{d}x_1\dots\wedge\mathrm{d}x_n.
La première intégrale est une intégrale orientée, et la deuxième est aussi orientée, mais elle coïncide avec l'intégrale ordinaire.
Je pense que ce résultat se trouve dans le vieux livre d'Henri Cartan "Formes différentielles", paru vers 1968. Il doit également se trouver dans tout livre honnête et pas trop avancé de géométrie différentielle. --Sylvie Martin (d) 29 mars 2008 à 22:37 (CET)

[modifier] modifications du 30/03/08

Tâches signalées par Nicolas Guérin: j'en ai fait un bon paquet, à savoir les trois premières tâches et la wikification. J'ai peut-être laissé de côté des liens à mettre, je reverrai ultérieurement. Je ne suis pas d'accord sur les deux énoncés mathématiques. Le deuxième n'est pas vrai, parce qu'on a tout autant un théorème du cube chevelu à condition de traiter proprement les arêtes. Pour cela, il suffit de supposer qu'à travers une arête, le champ doit tourner de 90 degrés autour de l'arête. Tiens, d'ailleurs, ça serait bien à mettre dans l'article pour bien expliquer le caractère topologique et pas géométrique du théorème. Le premier n'est pas vrai non plus, parce que si on essaie de faire une base en prenant deux champs tangents continus, il y a sûrement un point où la base devient singulière. En fait, on a besoin de 3 champs de vecteurs au moins pour engendrer les espaces de champs tangents, et ça aussi, c'est un résultat intéressant : un exemple canonique et très important de module de fonctions qui n'a pas de base. Donc je vais aussi écrire cela. --Sylvie Martin (d) 30 mars 2008 à 18:37 (CEST)

J'ai pas saisi, ceux ne sont pas des énoncés mathématiques strictes mais si on parle bien de topologie :
  • concernant le deuxième énoncé, il est bien connu que la courbure globale liée à la sphère et à un plan est différente. En topologie, la sphère ne peut être déformée jusqu'à donner un plan (caractéristique d'Euler-Poincaré différente) comme peut l'être un tore. Note : merci de bien me lire car je parle d'un "plan" et pas d'un "cube"...
  • Pour le premier énoncé, il faut au minimum deux "cartes" pour décrire un globe au sens des notions topologiques de "variété", "carte", "atlas" et "atlas maximum". Une troisième, quatrième, cinquième, etc "carte" peut être bien sur être employée mais ce n'est pas nécessaire.
Guérin Nicolas     30 mars 2008 à 20:24 (CEST)
Avec mes excuses - je devais être fatiguée et j'ai lu de travers. Ceci étant je maintiens que l'énoncé de cartographie n'est pas pertinent. N'importe comment, une carte de géographie n'est qu'un morceau de plan, et on peut tout à fait développer un polyèdre sur un plan. Sur le deuxième énoncé, j'ai vraiment lu de travers (oh la vilaine !), et j'ai pensé description des champs. Bon, oui, c'est topologique qu'il faut plus d'une carte, donc OK. Je maintiens que mon histoire de partie génératrice de l'ensemble des champs de vecteurs qui n'est jamais libre. Re-mea culpa Tout rouge. --Sylvie Martin (d) 30 mars 2008 à 20:33 (CEST)
Exemple de cartes
Fig 1 : Projection de Mercator.
Fig 1 : Projection de Mercator.
Fig 2 : Projection cylindrique équidistante.
Fig 2 : Projection cylindrique équidistante.
Fig 3 : Projection orthographique d'un demi-globe.
Fig 3 : Projection orthographique d'un demi-globe.
Fig 4 : Projection conique au-dessus du pôle sud
Fig 4 : Projection conique au-dessus du pôle sud
Prenons la Terre, on veut faire une cartographie de la Terre, c'est-à-dire que pour chaque point sur la Terre on veut pouvoir y associer un point et un seul sur un atlas (avec un système de coordonnées ou pas). Si je ne compose mon atlas que d'une seule carte, genre avec une projection de Mercator (voir fig. 1) ou la projection cylindrique équidistante (voir fig. 2 en tournant la page de la fig. 1), j'aurais des petits problèmes avec les pôles : dans le premier cas mes pôles seront rejetés à l'infini (pas de point et pas de coordonnées sur la carte) et dans le second ils seront représentés par une ligne (une infinité de points et aussi de coordonnées sur la carte). Maintenant j'utilise deux cartes, une pour chaque demi-sphère par exemple, dans le cas d'une projection orthographique (voir fig. 3) : pour chaque point de la demi-sphère (y compris les pôles) correspond bien un point et un seul sur cette carte. Il suffit de faire le même type de projection sur une seconde carte pour l'autre demi-sphère (en excluant le méridien de suture) et le tour est joué : pour chaque endroit de la sphère est associé un et un seul point sur mon atlas à deux cartes (avec un seul jeu de coordonnées éventuellement comme par exemple x,y,n°carte). Note : on peut faire la même chose en prenant deux cartes utilisant la projection conique (voir fig. 4), la première au dessus du pôle sud jusqu'à l'équateur, la deuxième au dessus du pôle nord jusqu'à l'équateur sans englober ce dernier parallèle, j'ai là aussi parfaitement et complétement cartographié la Terre en utilisant seulement deux cartes. Guérin Nicolas     30 mars 2008 à 21:21 (CEST)
En passant, pour l'énoncé du théorème : "Si n est un entier pair au moins égal à 1", ce ne serait pas mieux de dire "Si n est un entier pair au moins égal à 2"? D'accord je pinaille, mais bon un entier pair égal à 1... Guérin Nicolas     30 mars 2008 à 21:58 (CEST)
Merci beaucoup pour les belles images. Je suis complètement d'accord sur la conclusion, et tu me forces à travailler à la démonstration. Bon, disons que je ferais la chose suivante : le plan n'est pas homéomorphe à une sphère, parce que je sais calculer les groupes d'homologie ayant appris la recette quand j'étais petite. Mais comme ça, sur un pied, il faut que je réfléchisse pour savoir si on peut déduire cette conclusion du théorème de la boule chevelue. Ceci étant, je vais refaire l'article projection stéréographique; j'en ai besoin pour la démonstration du passage du théorème de la boule chevelue au théorème de Brouwer. Une fois l'article remis en forme, je pourrai montrer que la sphère moins un point est homéomorphe au plan, et à partir de là, j'ai un peu plus d'espoir pour montrer que la sphère moins un point n'est pas homéomorphe à la sphère. Cependant ça risque de ne pas me tomber tout cuit dans le bec. Quant aux nombres entiers pairs plus grand que 1... bon, je vais aller nettoyer ça Clin d'œil. Bon, je crois que j'ai fait trop de wp aujourd'huui, et j'ai la comprenette qui flanche. --Sylvie Martin (d) 30 mars 2008 à 22:03 (CEST)
oh là, force pas trop sur le champignon Mort de rire, si cela demande trop de travaille de ta part, ne met pas mon passage, il y a surement mieux à faire et plus important dans les articles de math. Remarque : tu peux quand même bosser si tu veux sur projection stéréographique, l'article étant intéressant à compléter. Guérin Nicolas     30 mars 2008 à 22:50 (CEST)
Tout bien réfléchi, la nuit portant conseil, la nécessité de cartographier la sphère en tant que variété topologique par au moins deux cartes, c'est de la topologie pas difficile. Voici la démonstration. Supposons que la sphère soit homéomorphe à une partie du plan. Comme la sphère est un ensemble compact, son image dans le plan sera aussi compacte, donc fermée bornée, et donc distincte du plan. Notons K ce compact, et remarquons qu'il possède une frontière \partial K, la différence ensembliste entre K et son intérieur. Cette frontière n'est pas vide, car si elle l'était, cela voudrait dire que K est à la fois ouvert et fermé, mais le plan étant connexe, il n'y a pas d'autres ensembles ouverts et fermés dans le plan que le plan lui même et l'ensemble vide. On a déjà vu que K n'est pas identique au plan. Il n'est pas vide non plus, car le seul ensemble homéomophe à l'ensemble vide, c'est l'ensemble vide. Mais la sphère, elle, n'a pas de frontière, car elle est connexe et compacte. Or, par homéomorphisme, la frontière de K devrait être en bijection avec la frontière de la sphère, qui, elle, est vide. Voili voilou... ce type de démonstration a peut-être sa place ailleurs, mais je ne sais pas où. --Sylvie Martin (d) 31 mars 2008 à 13:04 (CEST)
En l'état, cette démonstration est fausse : le plan (sans frontière) est homéomorphe au disque ouvert (qui a une frontière dans le plan).
Restons plutôt dans le cadre de la bête topologie : la sphère privée d'un point est homéomorphe au plan, le plan privé d'un point n'est pas homéomorphe au plan, donc la sphère n'est pas homéomorphe au plan. C'est beau comme un syllogisme et ça c'est vrai. Ambigraphe, le 1 avril 2008 à 09:53 (CEST)
Je reconnais que mon argument est insuffisant. Ton argument peut être précisé comme suit : le plan est homéomorphe à la sphère privée d'un point. Si la sphère privée d'un point était homéomorphe à la sphère, alors la sphère privée de deux points serait homéomorphe à la sphère privée d'un point et donc le plan privé d'un point serait homéomorphe au plan. Donc OK. Mais remarque que la démonstration de ce que le plan privé d'un point n'est pas homéomorphe au plan n'est pas exactement triviale. En connais-tu une démonstration élémentaire? --Sylvie Martin (d) 1 avril 2008 à 13:19 (CEST)

Il n'y a pas besoin de priver la sphère de deux points dans ma démonstration. La sphère a la propriété topologique d'être homéomorphe au plan lorsqu'on lui retire un point. Le plan ne satisfait pas cette propriété. Donc la sphère n'est pas homéomorphe au plan.

En ce qui concerne la seconde prémisse, c'est une conséquence directe du théorème de Jordan, mais pour être élémentaire, évitons de faire appel à la géométrie différentielle ou à l'analyse complexe. Écartons également l'approche combinatoire via le lemme de Sperner et le théorème de Brouwer. En revanche, le relèvement de l'angle (pour un lacet dans le cercle unité) s'obtient par existence et unicité du prolongement local puis solution maximale. À partir de là, il est facile de montrer qu'une homotopie ne peut modifier l'indice du lacet (obtenu sans variable complexe), donc qu'un paramétrage du cercle n'est pas contractile dans le cercle. Or un homéomorphisme entre le plan et le plan privé de l'origine donnerait lieu à une contraction du cercle dans le plan privé de l'origine, puis dans le cercle par normalisation. Cette démonstration par l'absurde est donc achevée. Ambigraphe, le 1 avril 2008 à 21:47 (CEST)

Bonjour,
Les arguments que vous (Ambigraphe et Martin) utilisez me semblent de même nature. Pour démontrer que la sphère n'est pas homéomorphe au plan, Ambigraphe propose de se ramener à prouver que le plan privé d'un point n'est pas homéomorphe au plan. La preuve ci-dessus revient essentiellement à calculer (sans vraiment le dire ou le faire) le groupe fondamental du plan privé d'un point (ou le premier groupe d'homologie à coefficients entiers, car le groupe fondamental est abélien). La première preuve proposée par Martin s'appuyait sur les groupes d'homologie de la sphère (Z+0+Z) et du plan (Z+0+0) pour en déduire qu'ils n'étaient pas isomorphes.
Un argument de compacité est toutefois plus élémentaire, accessible dès le premier cycle. Le plan n'est pas compact. Un simple argument par l'absurde fournit le résultat.
La demande de Martin était toutefois plus précise. Vous vous demandiez pourquoi on ne peut pas décrire la sphère avec une unique carte. Vous avez déjà donné un début de réponse plus haut : l'idée de départ était bonne. Si la sphère pouvait être décrite par une unique carte, la sphère serait homéomorphe à un ouvert du plan. Et un ouvert du plan n'est jamais fermé, sauf s'il est vide ou égal au plan. La sphère serait donc homéomorphe soit à l'ensemble vide, soit au plan, ce qui est une contradiction.
Dernière chose, il y a une confusion très grave entre deux notions : le bord en topologie (adhérence - intérieure) et le bord en géométrie différentielle. En topologie, le bord est une notion relative à l'espace topologique dans la quelle vit la partie étudiée (en particulier, dans tout espace topologique, l'espace entier a toujours un bord vide). En géométrie différentielle, le bord est une notion intrinsèque à la variété. Un homéomorphisme entre deux variétés préserve le bord (contrairement à ce que pourrait laisser croire la première réponse d'Ambigraphe).
Louveteau (d) 7 avril 2008 à 15:16 (CEST)
Bonjour Louveteau, et merci de ton idée de démonstration. Je vais y penser. En fait, je voulais aller un peu plus loin, et penser à la définition la plus naïve d'une carte, c'est à dire n'importe quelle partie du plan, et montrer qu'aucune partie du plan ne peut être homéomorphe à la sphère. Je n'ai pas passé une seconde sur la question depuis une quinzaine... je ne suis pas à la retraite. La preuve d'Ambi est en fait une preuve compliquée, qui est (sans le dire) effectivement un calcul de groupe d'homologie - donc sûrement pas élémentaire. J'ai commencé à réfléchir aux propriétés d'un compact du plan qui serait homéomorphe à la sphère. Il est forcément simplement connexe, et connexe par arcs. Ce n'est pas tout à fait assez pour qu'il ait une bonne frontière, c'est à dire une frontière ressemblant à une courbe, mais ce n'est pas très loin - en tous cas c'est ce qui me semble. En fait, il y a bien conservation de la frontière d'un ensemble, à condition de se placer 'dans' quelque chose : si un ensemble X est homéomorphe à un ensemble Y, et si A\subset X correspond par cet homéomorphisme à B\subset Y, alors les frontières \partial A et \partial B se correspondent par l'homéomorphisme. En effet, l'intérieur de A, qui est le plus grand ouvert inclus dans A correspond à l'intérieur de B, qui est le plus grand ouvert inclus dans B. Il en est de même pour les adhérences. Attention : il est important de prendre les topologies relatives respectivement à X et à Y.
L'erreur que j'ai commise était d'oublier qu'il fallait être "dans" quelque chose, et c'est là que j'ai dérapé. Encore que, en me relisant, je ne suis plus sûre.
C'est ça qu'il y a de bien avec les maths: ça se discute en dehors de toute hiérarchie... et voilà. --Sylvie Martin (d) 7 avril 2008 à 18:40 (CEST)
Louveteau a parfaitement raison. J'ai effectivement construit sans le dire un élément non trivial du groupe fondamental du plan épointé, de façon sinon élémentaire, en tout cas uniquement topologique. Pour justifier que la sphère n'est pas homéomorphe à un ouvert du plan, cette démonstration est inutilement compliquée et l'argument de compacité est effectivement beaucoup plus direct.
Cependant, la question qui m'intéresse ici et que rappelle Sylvie Martin (et à laquelle je n'ai pas encore répondu) est : pourquoi la sphère ne peut être homéomorphe à un compact du plan ? De ce point de vue, la dernière phrase de Louveteau devrait être précisée : un homéomorphisme entre deux variétés à bord induit un homéo entre les bords, certes, mais un compact du plan n'a pas nécessairement de structure naturelle de variété (voire pas de structure de variété du tout). Pensez au flocon de Von Koch ou à la fermeture de l'épigraphe du sinus de l'inverse dans un voisinage de l'origine. Ces exemples montrent que même l'hypothèse d'être l'adhérence de son intérieur est insuffisante.
Le lemme utile semble s'énoncer alors : « tout point de la frontière d'une partie du plan n'admet pas dans cette partie du plan de voisinage homéomorphe au disque ouvert. » Est-ce que ça se montre sans géométrie différentielle ? Ambigraphe, le 15 avril 2008 à 10:39 (CEST)

[modifier] Modifications du 30/03/08 (suite)

Ce que je voulais faire, initialement, c'était de montrer que la sphère n'est homéomorphe à aucune partie du plan. Et ça, c'est plus fort que de montrer qu'il n'y a pas d'homéomorphisme avec un ouvert, ce qui se voit immédiatement, comme l'a fait remarquer Louveteau.

J'en ai écrit sur une de mes pages perso la démonstration complète et élémentaire, qui utilise seulement une dérivation sous le signe somme d'une intégrale d'une fonction continûment différentiable de deux variables. Voir

http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Sylvie_Martin/maths

parce que c'est un peu long pour mettre ça ici. Vous êtes bien sûr les bienvenus pour y jeter un œil.

Et ça m'amène à poser la question suivante : ne devrait-on pas fabriquer une ou des pages de topologie algébrique intéressante et élémentaire? De façon un peu plus systématique? Je pense qu'il y a un trou énorme entre la vraie topologie algébrique, qui demande d'énormes constructions techniques et les résultats qu'on peut démontrer par des moyens élémentaires, disons accessibles à un élève de prépa ou un étudiant de licence. Bien sûr, j'ai employé pour ma preuve des idées de topologie algébrique et d'analyse complexe, mais je n'ai pas mis les mots, et je n'ai pas utilisé de théorèmes savants. Ce que je veux faire en contribuant à wp, c'est quand même démystifier les maths, et je crois qu'il y a à faire Sourire... --Sylvie Martin (d) 15 avril 2008 à 14:15 (CEST)

[modifier] merci à 212.198.184.10

Vos modifications sont intéressantes. Pourquoi ne vous inscrivez-vous pas sur wikipédia? --Sylvie Martin (d) 28 mai 2008 à 18:07 (CEST)