Application contractante

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En mathématiques, une application contractante est une application k-lipschitzienne avec 0\leq k <1. Les applications contractantes sont la matière de base du théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé.

Sommaire

[modifier] Théorème du point fixe pour une application contractante

Théorème du point fixe pour une application contractante — Soient E un espace métrique complet (non vide) et f une application contractante de E dans E. Il existe un point fixe unique x * de f dans E, c'est-à-dire tel que f(x * ) = x * . De plus toute suite d'éléments de E vérifiant la récurrence xn + 1 = f(xn) converge vers x * .

[modifier] Démonstration

Soit (E,d) un espace métrique non vide et soit f:E \rightarrow E une application contractante de rapport k, avec 0\leq k <1.

[modifier] Existence

Soit x_0\in E et soit (x_n)_{n \in \mathbb N} la suite définie par son premier terme (x0) et la récurrence xn + 1 = f(xn) pour tout n \in \mathbb{N}. Il s'agit d'une suite de Cauchy de E. En effet,

\forall m \in \mathbb N^*,\ d(x_{m+1},x_m)=d(f(x_m),f(x_{m-1}))\le k d(x_m,x_{m-1});

et par récurrence

d(x_{m+1},x_m) \le k^m d(x_1,x_0).

On en déduit par application réitérée de l'inégalité triangulaire :

\begin{array}{ll} \forall n \in \mathbb N,\ \forall p \in \mathbb N^*,\ d(x_{n+p},x_n) & \le d(x_{n+1},x_n)+d(x_{n+2},x_{n+1})+\ldots+d(x_{n+p},x_{n+p-1})\\ & \le (k^n+k^{n+1}+\ldots+k^{n+p-1}) d(x_1,x_0)\\& \le \displaystyle k^n\frac {1-k^p}{1-k} d(x_1,x_0) \quad (*).\end{array}

Ce dernier membre tend vers zéro quand n tend vers l'infini, donc on a bien une suite de Cauchy.

Comme E est complet, cette suite de Cauchy converge vers une limite x * . De plus de xn + 1 = f(xn), on déduit en passant à la limite et en utilisant la continuité de f (car c'est une application lipschitzienne) que f(x * ) = x * , ce qui montre l'existence.

[modifier] Unicité

Soit x * et x * * deux points fixes de f. On a alors

0\leq d(x^*,x^{**}) = d(f(x^*),f(x^{**}))\leq k d(x^*,x^{**}).

Et puisque 0\leq k <1, on a alors 0\leq (1-k)d(x^*,x^{**}) \leq 0, d'où d(x * ,x * * ) = 0, puis x * = x * * , ce qui montre l'unicité.

[modifier] Approximations successives

Ce résultat donne un algorithme de calcul du point fixe (c'est la méthode des approximations successives) contrairement à d'autres théorèmes de point fixe qui nous assurent seulement de l'existence de points fixes sans indiquer comment les déterminer. De plus en passant à la limite pour p dans l'inégalité (*) et en utilisant la continuité de la distance d, on obtient (sans connaître exactement x * ) un majorant (souvent "pessimiste") de l'erreur:

d(x^*,x_n) \leq \frac {k^n}{1-k} d(x_1,x_0).

[modifier] Applications classiques