P-groupe

G désigne ici un p-groupe et n est un entier tel que l'ordre de G est égal à pⁿ.

• Tout sous-groupe et quotient d'un p-groupe est un p-groupe.

C'est une conséquence du théorème de Lagrange. Soit H un sous-groupe de G, l'ordre de H divise celui de G et donc est une puissance de p. L'ordre du quotient G/H est égal au rapport de celui de G et de celui de H, ce qui permet de conclure sur le fait que son ordre est une puissance de p.

• Tout élément d'un p-groupe est d'ordre une puissance de p.

Par définition, l'ordre d'un élément de G est égal à l'ordre du sous-groupe qu'il engendre. Cette proposition se déduit donc directement de la précédente.

• Tout p-groupe non-abélien possède un centre non trivial.

Les automorphismes intérieurs de G constituent un groupe Aut(G) opérant sur G. L'application canonique de G dans Aut(G): est un morphisme surjectif dont le noyau est le centre Z(G) du groupe. Il résulte immédiatement (théorème de Lagrange) que Z(G) et Aut(G) sont des p-groupes.

On en déduit que le cardinal de chaque orbite (c.a.d. ici chaque classe de conjugaison) est également une puissance de p: cela résulte de la formule des classes (Cette formule nous dit que ce cardinal est égal à celui de G divisé par celui du stabilisateur d'un élément quelconque de la classe, ce stabilisateur étant également un p-groupe puisque c'est un sous-groupe de Aut(G) ). Mais le centre Z(G) est constitué de la réunion des classes de conjugaison (orbites) à un seul élément. Le cardinal de Z(G) est donc égal à celui de G diminué de la somme des cardinaux des autres classes (non réduites à un élément). Il existe bien d'autres classes de ce type puisque G n'est pas commutatif et que leurs cardinaux sont des puissances non nulles de p. Il en résulte que le cardinal de Z(G) est divisible par p et ne peut donc être égal à 1, ce qui achève la démonstration.

• Tout p-groupe d'ordre p² est abélien.

Soit G un groupe d'ordre p², s'il existe un élément d'ordre p² alors le groupe est cyclique et donc abélien.

On suppose maintenant que G ne contient aucun élément d'ordre p², tous ses éléments, hormis l'élément neutre, sont d'ordre p car l'ordre d'un élément divise celui du groupe. Soit h un élément non nul et H le sous-groupe engendré par h. Soit k un élément de G qui n'est pas élément de H. Il en existe car l'ordre de H est p et celui de G p². On remarque qu'il possède une intersection réduite à l'élément neutre. Considérons l'application φ de H x K dans G définie par :

Comme l'intersection de H et de K est réduite à l'élément neutre, le noyau de φ est réduit à l'élément neutre, φ est injective, comme les ordres du groupe de départ et d'arrivé sont égaux, l'application est surjective. φ est un morphisme bijectif, donc G est isomorphe au produit de deux groupes cycliques et est abélien.

• Tout p-groupe est nilpotent donc résoluble.

Tout groupe nilpotent est résoluble, il suffit donc de montrer que G est nilpotent. Démontrons le par récurrence sur n.

Si n est égal à un, le groupe est cyclique donc abélien et nilpotent.

Supposons la propriété vraie pour toute puissance inférieure ou égale à n - 1. Soit Z le centre du groupe, il est distingué et non trivial, donc G/Z est un p-groupe d'ordre une puissance de p inférieure ou égale à n - 1 et est nilpotent. Le fait que G/Z soit nilpotent montre que G l'est.