Groupe nilpotent

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En théorie des groupes, un groupe est dit nilpotent lorsqu'il possède une certaine propriété : intuitivement, on peut penser qu'on peut rendre le groupe abélien par l'utilisation répétée du commutateur [x,y] = xyx − 1y − 1 . Les groupes nilpotents apparaissent naturellement en théorie de Galois ou pour la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires.

Sommaire

[modifier] Définition

Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par le commutateur de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.

On définit alors par récurrence une suite de sous-groupes de G, notés Cn(G), par

  • C1(G) = G
  • Cn + 1(G) = [G,Cn(G)].

On dit que G est nilpotent s'il existe un entier n tel que Cn(G) = {e}. En outre, si G est un groupe nilpotent, sa classe de nilpotence est le plus petit entier n tel que Cn + 1(G) = {e}.

[modifier] Exemples

  • Tout groupe abélien est nilpotent de classe 1.
  • Le sous-groupe U_n(\mathbb K) de GL_n(\mathbb K) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale est nilpotent de classe n − 1.

[modifier] Propriétés

  • Un sous-groupe d'un groupe nilpotent est nilpotent. L'image d'un groupe nilpotent par un morphisme de groupe est un groupe nilpotent.
  • Soit Z(G) le centre de G. Si G n'est pas le groupe trivial, alors Z(G) n'est pas non plus trivial.
  • Si G/Z(G) est nilpotent, alors G est nilpotent.
  • Si H est un sous-groupe propre de G nilpotent, alors H est strictement inclus dans son normalisateur.

[modifier] Groupe linéaires nilpotents

On a déjà vu que U_n(\mathbb K) est un groupe nilpotent. Il possède la propriété intéressante d'être formé d'éléments unipotents, c'est-à-dire de la forme In + N, où N est une matrice nilpotente. Des théorèmes liés à la réduction des endomorphismes et aux représentations des groupes permettent de montrer la réciproque. Ceci peut être vu comme un analogue du théorème d'Engel sur les algèbres de Lie.

Soyons plus précis. On montre tout d'abord que si G\subset GL_n(\mathbb K) est un sous-groupe formé uniquement d'éléments unipotents, alors tous les éléments de G sont simultanément trigonalisables. Autrement dit, on obtient que G est conjugué à un sous-groupe de U_n(\mathbb K). En particulier, G est nilpotent.