Centre d'un groupe

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Soit (G, * ) un groupe, noté multiplicativement, de neutre e.

Sommaire

[modifier] Définition

On appelle centre du groupe G l'ensemble des éléments qui commutent avec tous les autres:

Z_G = \left\{ z \in G / \forall g \in G, g z = z g \right\}

ZG est un sous-groupe de G.

[modifier] Propriétés

On montre que ZG est un sous-groupe distingué, abélien.

[modifier] Exemple

Le centre d'un groupe abélien G est le groupe G entier, c'est-à-dire:

Z_G = G \,

[modifier] Application

On considère l'automorphisme intérieur :

\phi : G \rightarrow Aut(G), \, g \mapsto \phi_g \,

où \phi_g \, est l'automorphisme défini par:

\phi _g : G \rightarrow G, h \mapsto g h g^{-1} \,

On a alors:

\ker (\phi)=Z_G \,
\mbox{Im} \, G= \mbox{Inn}(G)

Le sous-groupe Inn(G) est appelé groupe des automorphismes intérieurs de G.

On peut en déduire, d'après les théorèmes d'isomorphisme :

G/Z(G) \cong \mbox{Inn}(G) \,.

[modifier] Voir aussi

Centre (algèbre)