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Note de Poincaré à l'Académie des sciences, en 1905
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[BD82] N.D. Birrel & P.C.W. Davies ; Quantum Fields in Curved Spaces, Cambridge University Press (1982), ISBN 0-521-27858-9 Téléphonie mobile : l'UFC dénonce un "marché verrouillé"
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Enquête de Rue89 sur B Arnault
Les média en Europe d'après Rue89

Le gpe de Carrol par JM Levi-Leblond
Quantique tome II par JM Levy-Leblond etc...

Sommaire

1 TL
2 Causalité (physique)
3 La chute des corps expliquée à Mr Lambda
4 Principe de moindre action
- 4.1 Démonstration de la densité lag du champ
5 Esp de Minkowski
- 5.1 Espace affine

[modifier] TL

Transformation de Lorentz
Les transformations de Lorentz sont des transformations linéaires des coordonnées d'un point dans l'espace-temps de Minkowski, à quatre dimensions (trois d'espace et une de temps) et relativiste. On peut noter que la terminologie subit quelques variations : suivant que la théorie dans laquelle on travaille a trait ou non à la physique quantique, les termes « transformations de Lorentz » désignent des transformations qui peuvent être différentes.

Dans le cadre de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz correspondent à la loi de changement de référentiel galiléen, sans translation dans l'espace ni dans le temps, sous laquelle les équations de la physique doivent être préservées, ainsi que la vitesse de la lumière, qui est la même dans tout référentiel galiléen. C'est en particulier pour faire en sorte que les équations de Maxwell s'écrivent à l'identique dans tout référentiel galiléen que Hendrik Antoon Lorentz a introduit mathématiquement cette loi avant qu' Albert Einstein n'en réalise toute la portée physique. L'ensemble de ces transformations des coordonnées, aussi appelées transformations de Lorentz propres et orthochrones, est composé des transformations spécifiques à la relativité restreinte et des rotations dans l'espace à trois dimensions.

Dans le cadre de la physique quantique relativiste, comme en Théorie quantique des champs, ce sont les transformations linéaires de l'espace-temps qui laissent les lois invariantes (en l'absence de charge électrique), ce qui englobe les précédentes et en amène d'autres (la symétrie T et la parité) pour former le groupe de Lorentz.

En physique la symétrie T et la parité sont interprétées comme des changements de convention d'orientation des axes et ne sont pas utiles en relativité restreinte.

Dans chacun des deux cas l'ensemble des transformations désignées forme un sous-groupe du groupe de Poincaré.

[modifier] Les différentes méthodes pour trouver les transformations

Pour la relativité restreinte, Einstein a initié une méthode^[1] :

À partir du principe de relativité et de l'invariance de la vitesse de la lumière par changement de référentiel, de l'homogénéité et de l'isotropie supposées de l'espace, et à l'aide d'une représentation géométrique d'une situation idéale où deux référentiels inertiels permettent de voir, mesurer les longueurs, et chronométrer le temps d'un référentiel à l'autre, on démontre les différentes formules par un système d'équations linéaires dont il faut trouver les coefficients. Les transformations non physiques sont parfois écartées sans détail par le choix de la solution positive dans une équation du second degré, choix dû à l'hypothèse physique de l'orientation des repères par une règle telle que celle de la main droite, illustrée par la représentation géométrique accompagnant le raisonnement^[2].

En physique quantique relativiste, comme en Théorie quantique des champs, les transformations utilisées sont définies comme les symétries de l'espace de Minkowski qui laissent inchangées les équations (en l'absence de charge électrique). Cela revient à déterminer les transformations linéaires laissant inchangé l'intervalle d'espace-temps : c'est une définition mathématique pour laquelle les changements de référentiel pour des observateurs ne sont que certaines de ces transformations et qui permet de les trouver toutes.
Cette méthode est aussi utilisée dans certains manuels de relativité restreinte, après avoir démontré que l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel découle directement des deux axiomes de la relativité restreinte, et en éliminant les transformations qui ne respectent pas la convention d'orientation pour les repères tridimensionnels (règle de la main droite, en général) et d'orientation de l'axe du temps vers le futur ; élimination faite de diverses manières, parfois marquées du sceau de l'évidence^[3], et parfois plus justifiées^[4].

[modifier] La méthode géométrique

Représentation habituelle de deux référentiels inertiels

Soient deux référentiels $\mathbb R$ et $\mathbb R'$ en translation rectiligne l'un par rapport à l'autre sur des axes parallèles, avec une vitesse relative v selon l'axe Ox. Soient $(x,t)\quad$ les coordonnées spatio-temporelles d'un événement dans le référentiel $\mathbb R$ , et $(x',t')\quad$ ses coordonnées dans le référentiel $\mathbb R'\quad$ . (Pour simplifier les notations, on ne tiendra pas compte dans ce paragraphe des deux autres composantes spatiales y et z).

On suppose que la transformation s'effectue au moyen d'un opérateur linéaire ^[5] :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & q\\r & s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}$

Il y a quatre inconnues, il faut donc quatre équations d'où :

1) Dans le référentiel $\mathbb R$ , le référentiel $\mathbb R'$ se déplace à la vitesse $\ v$ , et en plaçant l'origine du temps au moment où les deux origines des référentiels sont confondus, on a $x = vt \quad$ si et seulement si $x' = 0\quad$ :

$x' = px + qt \quad$ donc $0 = pvt + qt \quad$

ce qui donne comme première équation $0 = pv + q \quad (1)$

2) Réciproquement,dans le référentiel $\mathbb R'$ , le référentiel $\mathbb R$ se déplace à la vitesse -v, de sorte que $x' = -vt'\quad$ ^[6] si et seulement si $x=0\quad$ :

$x' = qt\quad$ et $t' = st \quad$

soit: $-vt' = {qt'\over s} \quad$

donnant une deuxième équation: ${q \over s} = -v$ ou bien $q + sv = 0 \quad (2)$

3) Pour que la vitesse de la lumière c soit la même dans les deux repères, il faut que $x = ct\quad$ si et seulement si $x' = ct'\quad$ :

$\left\{\begin{matrix}x' = pct + qt \\ t'= rct + st \end{matrix}\right.$ soit: $pct + qt = rc^2t + sct \quad$

ce qui donne: $pc+q = c(rc+s) \quad (3)$

De ces trois équations, on en déduit que :

$\left\{\begin{matrix}q = -pv \\ s = p \\ r = - pv/c^2\end{matrix}\right.$

de sorte que :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}p & -pv\\-pv/c^2 & p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix} = p.\begin{pmatrix}1 & -v\\-v/c^2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix} \quad (4)$

4) Si on inverse la matrice de transformation, on trouve réciproquement que :

$\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix} = {1 \over p(1 - v^2/c^2)} \begin{pmatrix}1 & v\\v/c^2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} \quad (5)$

Mais cette dernière transformation (5) doit également se déduire de la transformation (4) en échangeant les rôles des deux référentiels et donc en changeant le signe de la vitesse v. En utilisant l'hypothèse de l'isotropie de l'espace, la quantité p ne dépend que du module de v et donc que p est le même pour v et -v, on doit donc avoir :

${1 \over p(1 - v^2/c^2)} \begin{pmatrix}1 & v\\v/c^2 & 1\end{pmatrix} = p.\begin{pmatrix}1 & v\\v/c^2 & 1\end{pmatrix}$ ce qui impose que $p = {\pm 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}}$ .

Les transformations obtenues sont donc :

$\begin{pmatrix}x'\\t'\end{pmatrix} = {\pm 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \begin{pmatrix}1 & -v\\-v/c^2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\t\end{pmatrix}$

en faisant le changement de variable $t \mapsto ct$ , on les écrira sous la forme :

$\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix} = {\pm 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \begin{pmatrix}1 & -v/c\\-v/c & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}$

La présence de $\pm$ laisse deux possibilités, toutes deux mathématiquement cohérentes avec les principes utilisés jusque là.

5) Un choix peut être fait entre ces deux possiblités.

On remarque que le signe $-$ implique un changement d'orientation entre les axes $(o x)$ et $(o x')$ , ce qui n'est pas conforme à l'hypothèse de translation rectiligne faite sur eux. Donc ce cas doit être écarté. Le signe $+$ par contre est compatible avec cette hypothèse.
Par conséquent, la transformation cherchée est :

$\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix} = { 1 \over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \begin{pmatrix}1 & -v/c\\-v/c & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}$

[modifier] La méthode partant de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps

Dans ce paragraphe, l'écriture matricielle est privilégiée sur l'écriture tensorielle.

Identifier l'espace physique à un espace mathématique à quatre dimensions doté de la "distance" définie par l'intervalle d'espace-temps (on dit aussi pseudo-norme) amène à identifier les repères de l'espace affine à quatre dimensions et les référentiels inertiels physiques, et pour trouver les changements de référentiels laissant invariant l'intervalle d'espace-temps (en physique), on doit chercher tous les changements de repère ayant la propriété de laisser invariante la pseudo-norme (en mathématique).

La pseudo-norme de cet espace-temps est donc : $d s 2 = c 2 d t 2 - d x 2 - d y 2 - d z 2$ .

Ce que l'on peut écrire $d s 2 = η αβ d x α d x β = d x α d x α$ avec la convention d'Einstein pour l'écriture tensorielle, et en prenant $(η 00;η 11;η 22;η 33) = (1; - 1; - 1; - 1)$ et $η αβ = 0$ pour $\scriptstyle \alpha \ne \beta$ .

Dans toute la suite, les variables primées correspondent aux coordonnées dans le référentiel $\mathbb{R'}$ , de plus les répétitions de lettres grecques voudront dire sommation de 0 à 3, et les répétitions de lettres latines de 1 à 3.

$\left\{\begin{matrix} \eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}=\sum_{\alpha=0}^{3}\sum_{\beta=0}^{3}\eta_{\alpha\beta}x^{\alpha}x^{\beta}\\ \delta_{ij}x^{i}x^{j}=\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\eta_{ij}x^{i}x^{j} \end{matrix}\right.$

Les transformations permettant de passer des coordonnées dans $\mathbb{R'}$ à celles dans $\mathbb{R}$ s'écrivent sous la forme matricielle : $\left( x'^{\mu} \right)_{\mu = 0;1;2;3} \rightarrow \left( x^\mu \right)_{\mu = 0;1;2;3} = \left( L_{\nu}^{\mu}x'^{\nu} \right)_{\mu = 0;1;2;3}$

L'hypothèse de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par les transformations de Lorentz s'écrit :

$ds^2 = \eta_{\mu\nu}x'^{\mu}x'^{\nu}= \eta_{\lambda\rho}x^{\lambda}x^{\rho} =\eta_{\lambda\rho}L_{\mu}^{\lambda}x'^{\mu}L_{\nu}^{\rho}x'^{\nu}$

Égalités valables quelles que soient les valeurs des $\ x'^{\mu}$ , donc on doit avoir :

$\eta_{\mu\nu}=\eta_{\lambda\rho}L_{\mu}^{\lambda}L_{\nu}^{\rho}$

Ce qui caractérise complètement les transformations de Lorentz. Étant donné que les matrices sont constituées de 16 coefficients, et que l'égalité ci-dessus constitue 10 équations indépendantes, les transformations de Lorentz sont donc déterminées par 6 paramètres indépendants.

En prenant le déterminant, on déduit que $\ (det L)^2=1$ donc $\ det L=1$ ou $\ det L=-1$

Terminologie : les transformations vérifiant $\ det L=1$ sont appélées les transformations propres, elles forment un groupe appelé le groupe des Transformations Spéciales de Lorentz. Ce groupe a deux composantes connexes. Les autres transformations sont qualifiées d'impropres et ne forment pas un groupe.

On sait qu'une rotation de l'espace laisse inchangée la quantité

d x 2 + d y 2 + d z 2

, il en est de même de l'intervalle d'espace-temps. Ainsi les transformations qui agissent comme les rotations pour l'espace, et laissent le temps inchangé, sont des éléments du groupe de Lorentz. De plus elles sont de déterminant égal à 1.

Du fait qu'il n'y a que deux orientations possibles pour un trièdre de l'espace, il est toujours possible, par une rotation dans l'espace à trois dimensions, de disposer deux référentiels spatiaux

(o x, o y, o z)

(o x', o y', o z')

de telle sorte que les axes

o y

o y'

soient alignés et de même sens, ainsi que les axes

o z

o z'

, alors que les axes

o x

o x'

ne sont qu'alignés et pas obligatoirement de même sens.

On peut donc se limiter à la détermination des transformations de Lorentz dans un espace à deux dimensions.

Ainsi :

$\left\{\begin{matrix} cdt = L^0_0.cdt' + L^0_1.dx' \\ dx = L^1_1.dx' + L^1_0.cdt' \\ dy = L^2_2.dy' \\ dz = L^3_3.dz' \\ \end{matrix}\right.$

L'invariance s'écrit alors : $\ ds^2 = c^2dt^2 - dx^2 -dy^2 -dz^2 = c^2dt'^2 - dx'^2 -dy'^2 -dz'^2$

Donc : $c^2dt'^2 - dx'^2 -dy'^2 -dz'^2 = \left( L^0_0.cdt' + L^0_1.dx' \right)^2 - \left( L^1_1.dx' + L^1_0.cdt' \right)^2 - \left( L^2_2.dy' \right)^2 - \left( L^3_3.dz' \right)^2$

En développant les carrés, et sachant que les éléments infinitésimaux sont quelconques, on obtient :

$\left\{\begin{matrix} \left( L_2^2 \right)^2 = \left( L_3^3 \right)^2 = 1 \\ \left( L_0^{0} \right)^2 - \left( L_0^{1} \right)^2 = 1 \\ \left( L_{1}^{0} \right)^2 - \left( L_1^{1} \right)^2 = -1 \\ L_{0}^{0}.L_{1}^{0} - L_{1}^{1}.L_{0}^{1} =0 \\ \end{matrix}\right.$

On en déduit, entre autres du fait des orientations des axes, que le signe de sinh(a) dépend de celui de a, alors que cosh(a) est toujours positif, et avec $\epsilon_i = \pm 1$ :

$\left\{\begin{matrix} \ L_2^2 = L_3^3 = 1 \\ \ L_0^{0} = \epsilon _1. cosh \left( \theta \right) \, et \, L_0^{1} = sinh \left( \theta \right)\\ \ L_1^{1} = \epsilon _2. cosh \left( \phi \right) \, et \, L_{1}^{0} = sinh \left( \phi \right)\\ \epsilon _1.tanh \left( \theta \right) = \epsilon _2.tanh \left( \phi \right) \,\Rightarrow \, \epsilon _1.\theta = \epsilon _2.\phi \\ \end{matrix}\right.$

Comme $dx = L^1_1.dx' + L^1_0.cdt' \, ,$ et $dx= L^1_1.dx' + L^1_0.cdt' \, ,$ le cas où le corps au repos dans le repère $\mathbb{R'}$ , donc $d x' = 0$ , donne $\beta = \frac{dx}{cdt}= \frac{L_{0}^{1}}{L_{1}^{1}} = \epsilon _1.tanh \left( \theta \right) = tanh \left( \epsilon _1.\theta \right)\, .$

Dans le cas où le corps au repos dans le repère $\mathbb{R'}$ , on a $d x' k = 0$ , d'où :

$\beta^i = \frac{dx^i}{dx^0}=\frac{L_{0}^{i}}{L_{0}^{0}}\, ,$ et $\, L_{0}^{i}=\beta^{i}L_{0}^{0}$

En utilisant l'égalité $\eta_{\mu\nu}=\eta_{\lambda\rho}L_{\mu}^{\lambda}L_{\nu}^{\rho} \, ,$ on obtient $1=L_{0}^{0}L_{0}^{0}\eta_{00}+L_{0}^{i}L_{0}^{j}\eta_{ij}=(L_{0}^{0})^2(1+\eta_{ij}\beta^{i}\beta^{j})\, ,$ d'où : $L_{0}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\, ,$ avec $\scriptstyle \beta^2 = -\eta_{ij}\beta^{i}\beta^{j}=\left( \beta^1 \right)^2+\left( \beta^2 \right)^2+\left( \beta^3 \right)^2$

soit :

$\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} L_{0}^{i}=\beta^{i}L_{0}^{0}\\ L_{0}^{i}=L_0^{0}\beta'^{i} \end{matrix}\right.&(1)\end{matrix}$

Ensuite il y a ces relations à démontrer :

$\left\{\begin{matrix} L_{0'}^{i}=-L_{i}^{0'}&L_{i'}^{0}=-L_{0}^{i'}&L_{i'}^{k}=-L_{k}^{i'}&(2)\\ L_{i}^{0'}=L_0^{0'}\beta_{i}&L_{0}^{i'}=L_{0'}^{0}\beta_{i'}&&(3)\\ L_{0'}^{0}\beta^i=-L_{k'}^{i}\beta^{k'}&L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}&&(4)\\ L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&L_{0}^{0'}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta'^2}}&&(5)\\ detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}&detL_{k}^{i'}=L_{0}^{0'}&&(6)\\ \beta^2=\beta'^2 \leftrightarrow L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}=\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}&&&(7) \end{matrix}\right.$

Pour les expressions (2), il suffit d'utiliser la relation : $L_{\mu'}^{\nu}=\eta^{\alpha\nu}\eta_{\beta'\mu'}L_{\alpha}^{\beta'}$ avec $ν = i$ , $μ = 0$ et $μ' = ν' = 0'$ soit :

$L_{0'}^{i}=\eta^{\alpha i}\eta_{\beta' 0'}L_{\alpha}^{\beta'}=\eta^{ii}\eta_{0'0'}L_{i}^{0'}=-L_{i}^{0'}$

Pour les expressions (3) :

$L_{i}^{0'}=-L_{0'}^{i}=-\beta^{i}L_{0}^{0'}=L_{0'}^{0}\beta_{i}$

Pour les expressions (4), nous partons de $L_{\rho'}^{\mu}L_{\mu}^{\sigma'}=\delta_{\rho'}^{\sigma'}$ , avec $ρ' = 0'$ et $σ' = i'$

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}+L_{0'}^{k}L_{k}^{i'}=\delta_{0'}^{i'}=0$

$L_{0'}^{0}L_{0}^{i'}-L_{0'}^{0}\beta_{k}L_{k}^{i'}=0$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=\beta_{k}L_{k}^{i'}=-L_{k}^{i'}\beta^{k}$

$L_{0}^{0'}\beta^{i'}=-L_{i'}^{k}\beta^{k}$

Pour les expressions (5) les relations de transformations du tenseur métrique donnent :

$\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\rho}L_{\nu'}^{\sigma}\eta_{\rho\sigma}$ , en prenant

μ' = ν' = 0'

$1=L_{0'}^{0}L_{0'}^{0}\eta_{00}+L_{0'}^{i}L_{0'}^{j}\eta_{ij}=(L_{0'}^{0})^2(1+\eta_{ij}\beta^{i}\beta^{j})$

$L_{0'}^{0}=\pm\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$

Pour les expressions (6) : $L=\left(\begin{matrix} L_{0'}^{0}&L_{k'}^{0}\\L_{0'}^{i}&L_{k'}^{i} \end{matrix}\right)$ avec $L_{0'}^{i}=L_{0'}^{0}\beta^{i}$ et $L_{k'}^{0}=L_{k'}^{i}\beta_{i}$ en remarquant : $\eta_{\mu'\nu'}=L_{\mu'}^{\lambda}L_{\nu'}^{\rho}\eta_{\lambda\rho}$ pour $μ' = i'$ et $ν' = j'$ on obtient :

$\eta_{j'k'}=L_{j'}^{0}L_{k'}^{0}\eta_{00}+L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\eta_{mi}$

or : $L_{j'}^{0}=L_{0'}^{0}\beta_{j'}=-L_{0}^{0'}\beta^{j'}=L_{m}^{j'}\beta^{m}=-L_{j'}^{m}\beta_{m}$

d'où :

$-\eta_{j'k'}=L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\delta_{mi}-L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}\beta_{m}\beta_{i} = L_{j'}^{m}L_{k'}^{i}(\delta_{mi}-\beta_{m}\beta_{i})$

On prend le déterminant :

$1=(1-\beta^2){\cdot}(detL_{k'}^{i})^2$

$detL_{k'}^{i}=L_{0'}^{0}$

Pour les expressions (7) : Nous considérons le groupe propre orthochrone de Lorentz, donc $L_{0'}^{0}>0$ de plus $L' = L - 1$ (matrices orthogonales), on a donc : $L_{0'}^{0}=L_{0}^{0'}$ , on a donc $β 2 = β' 2$

↑ Que l'on peut trouver dans La théorie de la relativité, par Albert Einstein, Gauthier-Villard éditeur, 1921, traduit par Mlle J. Rouvrière.
↑ Un exemple récent est dans le chapitre 5 du livre Introduction à la relativité par James H.Smith (Masson éditeur, traduit par Philippe Brenier, préfacé par Jean-Marc Levy-Leblond, réédité en 1997, ISBN 2-225-82985-3).
↑ Un exemple est dans le §19 du livre Électromagnétisme et gravitation relativistes de Jean-Claude Boudenot (ellipses éditeur, 1989, ISBN 2-7298-8936-1); un autre est dans le Tome 2, §4, de Lev Landau et Evguéni Lifchitz, Physique théorique, éd. MIR, Moscou [détail des éditions].
↑ On peut citer (en)Geometrical physics in Minkowski spacetime par E.G. Peter Rowe, Springer-Verlag éditeur ISBN 1852333669 , 2001; (en)The geometry of Minkowski Spacetime par Gregory L. Naber, Springer-Verlag ISBN 3540978488, 1992, où au chapitre 1, §1.3, la conservation des orientations spatiale et temporelle est présentée comme la raison de cette sélection ; ainsi que le livre de Phillipe Tourrenc, Relativité et gravitation (Armand Colin éditeur, ISBN 2-200-21209-7), aux pages 23 à 25, où l'auteur justifie, par l'utilisation du Principe de correspondance, le choix des transformations de Lorentz pour la relativité restreinte parmi toutes les transformations déduites de l'hypothèse de l'invariance de l'intervalle d'espace-temps.
↑ On suppose donc que l'espace-temps physique est un espace affine où les référentiels sont identifiés aux repères de cet espace affine, de plus on néglige les translations constantes entre les repères qui ne se manifestent que par des additions de nombres constants aux coordonnées.
↑ Un détail d'orientation : dans le "plan" mathématique (o,x,t), si le référentiel (o,x',t') a son orientation inversée par rapport à celui de (o,x,t), on doit écrire $x' = vt'\quad$ . En toute généralité on doit donc écrire $x' = - \epsilon.vt'\quad$ , où $\epsilon = \pm 1$ indique l'orientation relative des deux référentiels et permet d'enrichir la discussion en fin de paragraphe sur les choix entre les différentes transformations de Lorentz compatibles avec les mathématiques de la relativité restreinte.

On peut aussi appliquer le principe de correspondance : en supposant que $\textstyle{{v \over c} \longrightarrow + \infty}$ , on doit retrouver le changement de référentiel de Galilée dont la formule sous forme matricielle est

$\begin{pmatrix}x'\\ct'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ct\end{pmatrix}$

Après quelques calculs, on en déduit que la

La méthode d'Einstein permet de trouver les transformations, qui permettent de montrer l'invariance de l'intervalle d'espace-temps par changement de référentiel.
Cette invariance peut s'obtenir directement à partir des deux axiomes (sans passer par les transformations), et .

Une particularité de l'intervalle d'espace-temps est d'être invariant par l'inversion du temps, ce qui permet d'affirmer que la théorie mathématique de la relativité restreinte est d'un point de vue formel compatible avec cette inversion, c'est-à-dire avec le retour dans le passé. Mais l'inversion du temps pose des problèmes physiques : en prenant à défaut le principe de causalité, elle empêche la construction de la théorie à la manière dont l'a faite Einstein et vide la théorie mathématique de toute interprétation physique. Ainsi, cette inversion du temps n'est-elle vue que comme un élément mathématique dénué de sens physique (d'ailleurs, nul voyage dans le temps n'est sérieusement à l'ordre du jour).

Les transformations géométriques de l'espace-temps à quatre dimension respectant l'invariance de l'intervalle d'espace-temps forment un groupe appelé « groupe de Poincaré ». Dans ce groupe, les seules transformations considérées comme physiquement significatives sont celles qui sont orthochrones (qui respectent l'ordre du temps).

On notera toutefois qu'en physique quantique, la symétrie T est utilisée dans l'arsenal mathématique de l'étude des particules, notamment dans l'étude des antiparticules, plus en terme de symétrie mathématique des équations que dans un sens de physique expérimentale. Nous constatons, et cela est gage de cohérence logique, que l'on ne peut pas renverser le cours des événements. On ne peut pas inverser un effet et une cause. On ne peut pas notamment remonter le fil du temps et agir sur le passé (voir les détails).^{[réf. nécessaire]}

[modifier] Causalité (physique)

Il y a trois causalités : la causalité entre des évènements (« chaque évènement a une cause »), la causalité entre les évènements et l'état et le déroulement du monde (« dans les même conditions, la même cause est suivie du même effet », mais aussi la cohérence entre la théorie de la causalité entre évènements et la théorie du monde), et la causalité de la logique du raisonnement.

[modifier] En MQ

Contrairement aux cas de la physique classique et de la physique relativiste, le principe de causalité n'a pas été utilisé pour construire la mécanique quantique : il s'agissait plutôt d'unifier la mécanique ponctuelle et la physique ondulatoire en attribuant une onde (de de Broglie) à chaque corps matériel. Cette onde, est gérée par l'équation de Schrödinger, en gardant ses propriétés d'onde (notamment son aspect non-local) et en ayant aussi des propriétés de corps matériel (notamment le fait d'être un tout indissociable). Ces particularités amenent des difficultés de cohérence entre cette branche de la physique et le principe de causalité, difficultés persistantes aujourd'hui encore.

Contrairement aux cas de la physique classique et de la physique relativiste, le principe de causalité n'a pas été utilisé pour construire la mécanique quantique. Cette branche de la physique se fonde sur la notion d'état quantique, dont l'évolution est gouvernée par l'équation de Schrödinger. Un état quantique possède la particularité de pouvoir rassembler un certain nombre d'entités physiques (par exemple des particules) dans un même état indissociable par le phénomène d'intrication quantique, et cela instantanément et quelle que soient les localisations de ces entités physiques. Cet aspect non-local de l'intrication pose problème par rapport au principe de causalité tel qu'il est exprimé en relativité restreinte.

D'autre part, la détermination d'une valeur d'un paramètre physique (comme la position ou la vitesse) en partant de l'état quantique est soumise à un indéterminisme fondamental, posant problème par rapport à la vision classique de la causalité.

Ces particularités amènent par conséquent des difficultés de cohérence entre cette branche de la physique et le principe de causalité, difficultés persistantes aujourd'hui encore.

[modifier] La causalité dans la physique du monde antique hellénique

[modifier] Avant Aristote

[modifier] Chez les Présocratiques

Entre -600 et -450 environ, les physiques et les philosophies étaient d'inspiration ionienne et plus particulièrement milésienne. Ces conceptions du monde, très diverses, avaient en commun - en général - le soucis d'une certaine cohérence : l'ordre et la diversité du monde étaient en lien étroit avec le déroulement des évènements observés au quotidien, l'un étant expliqué par les règles de l'autre, ou tout au moins ayant des règles communes. Ce qui n'empèche pas, souvent, ces constructions intellectuelles de cohabiter, sans lien apparent et chez un même auteur, avec des préceptes et des pratiques religieux.^[1]
A noter aussi chez nombre d'entre eux l'idée que de l'infini de la matière (ou de l'eau, ou de l'air, ou...) naissent et finissent plus ou moins simultanément une pluralité des mondes.

Les Milésiens, navigateurs, avaient élaborés une vision du monde, de la terre et des astres par analogie avec l'observation de la géographie, de la mer, des nuages, orages et tempètes. Thalès prit l'eau comme substance primitive de la création du monde, Anaximandre prit l' Infini (dont le sens n'est pas clair) et Anaximène prit l'air infini (sans limite), ces deux derniers expliquant que dans cet infinité, éternel et sans vieillesse, naissent et meurent des mondes simultanés, par un mouvement lui-même éternel.^[2]
Pythagore, ou plutôt son école, développa des thèses religieuses aux termes contradictoires, dont une centrée sur l'idée que toutes les choses sont des nombres, et d'autres faisant appel à une géométrie du monde. Mais comme pour tous les auteurs de son époque, les textes aujourd'hui disponibles sont de seconde main et sont fragmentaires.^[3]
Héraclite d'Éphèse déclarait que l'unité des choses est la vérité par excellence, que le vulgaire ne la remarque pas, et que cette unité est une force incessament active, un feu « toujours vivant » (qui ne s'éteint pas). Prétendant partir de l'expérience, il insiste sur le fait que le permanent et le changeant ne s'excluent pas l'un l'autre, et l'on peut dire qu'il a eu l'intuition qu'il faut découvrir le permanent dans le changement, ses règles. Hippocrate reprend ses idées dans sa doctrine médicale. ^[4]
Au Vème siècle avant JC, inspiré par les pythagoriciens, Empédocle d'Agrigente présente une thèse : il n'y a pas de naissance ni de transformation véritable, mais seulement des combinaisons des quatre éléments, dont aucun n'est le premier ni réductible aux autres. Tout changement a lieu soit par combinaison, soit par dissociation, ainsi pour Empédocle, il y a deux puissances actives : l'Amitié et la Haine. Empédocle montra que l'air existe par une expérience où l'air s'oppose à la montée de l'eau, et multiplie les explications sur l'état et le fonctionnement du monde par les combinaisons des quatre éléments.^[5]
Au Vème siècle avant JC, lui aussi inspiré par les thèses pythagoriciennes, Démocrite présente des idées novatrices : il n'y a pas de naissance ni de transformation véritable, mais seulement des combinaisons d'un nombre immense de très petits corpuscules, chacun éternel, aux propriétés permanentes et aux formes diverses. Tout changement a lieu soit par combinaison, soit par dissociation, comme pour Empédocle, mais de manière purement mécanique (par le fait notamment d'un mouvement tourbillonnaire non expliqué et sans expliciter plus cette mécanique), sans faire appel à des puissances qualitatives ni des causes motrices extérieures. Ainsi Démocrite élabore des explications sur l'état et le fonctionnement des êtres, des sens, de l'âme, du monde et même des Dieux par les combinaisons de ces atomes, sceptique alors envers les sens (« connaissance bâtarde »), il affirme que de la raison vient la « connaissance légitime » et qu'« en réalité, nous ne savons rien, car la vérité est au fond du puits. » ^[6]

[modifier] Chez Socrate et Platon

Socrate lui-même ne semble pas s'être beaucoup préoccupé de physique^[7], mais Platon l'utilise comme personnage principal dans ses dialogues, notamment dans ceux où il parle de la physique (Parménide et Timée) ou de la causalité physique (Phédon).

Platon il est béton et me casse les arpions

[modifier] Chez Aristote

Les thèses d'Aristote en physique rejetent tout l'esprit des physiciens antérieurs (les milésiens, les pythagoriciens, Démocrite,...) et ont longtemps influencé la philosophie et la science occidentales.

S'appuyant sur ses observations, il présente une physique qualitative où sa théorie des causes identifie les raisons pour lesquelles les évènements se produisent, traitant simultanément ce qui relèverait aujourd'hui de la physique, de la médecine, de la sculture, du commerce, de l'âme, etc... Les causes de tout mouvement sont dans l' essence des êtres naturels en mouvement; au point que le mot mouvement évoque, pour lui, le changement d'état de l'être conserné. Ainsi, les notions de mouvement, d'infini, de lieu et de temps ne sont pas conçues comme séparées de la substance des corps, et tout mouvement (dans le sens évoqué plus haut) est l'accomplissement d'un passage d'un état initial à un état final (qui se manifeste par le repos) : l'état final était présent en puissance dans l'état initial, et sa réalisation est la cause finale du mouvement.^[8]

Analysant ainsi le monde, il distingue quatre causes : matérielle, formelle, motrice, finale.

Article détaillé : Les 4 causes.

Par exemples :

Une pierre est tombée.

La pierre était en haut : son état de pierre (cause matiérelle) en fait un corps pesant, c'est dire un corps dont l'état propre est d'être en bas, et non pas en haut.

La pierre est tombée : elle est allé rejoindre son lieu propre (état : être en bas). Sa chute est dûe à cet objectif (cause finale).

Une cause motrice n'intervient que pour sortir un être de son état propre, cela correspond à la phrase d'Aristote : « Tout ce qui est mû est mû par autre chose; ce moteur , à son tour, ou bien est mû, ou bien ne l'est pas; s'il ne l'est pas , nous avons ce que nous cherchions, un premier moteur immobile, et c'est ce que nous appelons dieu [...]. »^[9]

La cause formelle peut s'entendre comme suit : à cause de la définition de l'être considéré, ou de l'idée de l'objectif dans l'esprit de la personne agissante. Un médecin soigne une personne à cause de son idée de la santé.

[modifier] Après Aristote

Bien que discutée et contestée au sein même du Lycée, la physique aritotélicienne restera comme un modèle de cohérence. Entre le IIème siècle avant JC et l'effondrement de l'Empire romain, il n'y a pas eu de théorie physique nouvelle remarquable dans l'ensemble europe-méditérannée, et les questionnements philosophiques se détourneront même de ce sujet.

[modifier] Chez les anciens stoïciens (IIIème siècle avant JC)

Dans leur physique, deux principes prévalent : il y a un agent, raison ou dieu, matière sans qualité qui agit toujours sans jamais pâtir, et une matière qui pâtie toujours sans jamais agir. L'un est l'unique cause, l'autre reçoit l'action de la cause, sans résistance.
La « raison » gouverne chaque changement, mouvement, à chaque instant. Cette raison, matérielle car agissante sur la matière, pénètre la matière comme l'encent s'étend à travers l'air : c'est un souffle matériel animant la matière. Cette manière de décrire la physique est aujourd'hui parfois rapprochée du spiritualisme.
La cosmologie décrit le monde comme étant né d'un feu primitif, semblable à la lumière du ciel, créant les quatre éléments, en tirant les individualités des corps (plus une étincelle du ciel pour l'âme de l'homme) qui sont maintenues comme telles par une tension, de la raison, circulant dans l'être. Chaque partie du monde étant contenu par une âme unique, il y a une sympathie entre toutes les parties du monde, permettant que se transmettent les actions, même à distance. Cette circulation universelle justifiant, entre autres, les idées de l'astrologie.
Le monde est réalisé, dans chacun de ses évènements, par une cause agissant suivant la loi de la nécessité et il est impossible qu'aucun évènement arrive autrement qu'il arrive : cette théorie du destin est l'expression du rationnalisme intégral des Stoïciens. Mais il n'y a pas place pour le déterminisme moderne dans cette description : le destin, « raison selon laquelle les évènements passés sont arrivés, les présents arrivent et les futurs arriveront », est un destin individuel, ce n'est pas une loi généralisée à des phénomènes qui seraient semblables. Le destin n'est pas un enchaînement de causes et effets, mais plutôt l'effet d'un cause unique étendue dans le monde.^[10]

[modifier] Chez les épicuriens (IIIème siècle avant JC)

Épicure attachait peu d'importance aux détails de ses explications : « Nous avons besoin d'un coup d'œil d'ensemble, mais non pas autant de vues particulières; il faut retenir en sa mémoire ce qui donne une vue d'ensemble des choses; cela permettra de découvrir le détail, pour peu que l'on saisisse bien et que l'on ait bien en mémoire les ensembles ». Disant que ceux qui ont étudié tous les détails de l'astronomie qu'ils « gardent la même crainte de toutes les choses célestes, parce qu'ils ignorent quelles sont leur nature et leurs causes principales », et qu'il n'est nul besoin de trouver la cause réelle, mais qu'il suffit d'en trouver une possible, ou plusieurs sans qu'il soit nécessaire de choisir entre elles. En physique, un principe important est qu'il « vaudrait encore mieux encore accepter les fables relatives aux dieux que le destin des physiciens [stoïciens] ». De tout cela découlent des contradictions dans la physique d'Épicure.^[11]
Une physique proche de celle de Démocrite est mise en avant pour contrecarrer la physique stoïcienne et la démiurgie de Platon qui ne tiendraient que sur des croyances morales et métaphysiques. De l'axiome ionien de la conservation du tout, constitué d'une infinité d'atomes dans l'infinie grandeur du vide, il expose une explication de l'état du monde : « Les nombreux éléments, depuis un temps infini, sous l'impulsion des chocs qu'ils reçoivent et de leur propre poids, s'assemblent de mille manières et essayent toutes les combinaisons qu'ils peuvent former entre eux, si bien que, par l'épreuve qu'ils font de tous les genres d'unions et de mouvements, ils en arrivent à se grouper soudainement en des ensembles qui forment l'origine des grandes masses, la terre, la mer, le ciel et les êtres vivants ». Les détails de cette mécanique des atomes souffrirons d'invraissemblances que ne manquerons pas de souligner les contradicteurs, mais la physique elle-même n'était nullement un but pour Épicure : « Si la crainte des météores et la peur que la mort ne soit quelque chose pour nous, ainsi que l'ignorance des limites des douleurs et des désirs, ne venaient gêner notre vie, nous n'aurions nullement besoin de la physique. » ^[12]

[modifier] En Orient, et en Occident avant le XIIIème siècle

[modifier] En Orient

[modifier] En Occident avant le XIIIème siècle

À partir de l'effondrement de l'Empire romain, l'Église Catholique devient de fait le seul propagateur de connaissances en Occident. Une grande partie des œuvres d'Aristote est connue et traduite en latin, mis à part, notamment, sa Physique. Mais si le christianisme absorbe la culture helleniste, en particulier Pline l'Ancien, Platon, puis Aristote, c'est pour la rendre utilisable par la religion.
La pensée occidentale ne développe pas, jusqu'au XIIIème siècle, de théorie physique marquante. Les réflexions tournent principalement autour de considérations purement religieuses, éthiques, voire de problématiques liées à la coexistence entre foi et raison, nourries par les analyses aristotéliciennes.
Par exemple, pour Rhaban Maur (776-856), abbé du monastère de Fulba en 822, la méthode de la science est de découvrir ce que Dieu a institué dans la nature, comme le commentaire découvre ce qu'Il a institué dans le Livre, ce qui n'exclue pas le travail scientifique, tel l'astronomie reposant sur l'observation.^[13] La dialectique était la pratique autorisée par l'église, mais n'arrivait pas à se passer des livres et de la philosophie profane (en particulier d'Aristote), dont l'usage assidu pouvait être considéré comme dangereux, voire diabolisé. À la fin du XIIème siècle, l'idéal semble être non pas de découvrir la nature des choses, mais de trouver une méthode générale d'invention des arguments, notamment par la lecture d'Aristote.^[14]
Biensûr, les techniques et ingénieuries se développaient, mais en étant peu intellectualisées, et donc sans réèl effet sur une théorie quelconque de la physique.

[modifier] Le XIIIème et le XIVème siècle

Au XIIème siècle, du fait des croisades, l'Occident a accès au Physique d'Aristote à travers les traductions en arabe. Les autres textes inconnus aussi sont retrouvés et traduits en latin. Une fois dépassée la difficulté des traductions mot-à-mot rendant incompréhensible le texte, l'œuvre d'Aristote se présenta telle qu'elle était : une doctrine philosophique cohérente avec elle-même, mais pas avec la théologie chrétienne. Ainsi, au début du XIIIème siècle, est-il, dans l'ordre : interdit, par le Concile de Paris en 1211, d'enseigner la physique d'Aristote (ce ne sera pas suivit); demandé par le Pape Grégoire IX de publier les textes d'Aristote expurgés de toute affirmation contraire au dogme (ce sera irréalisable); et enfin, au milieu du siècle, condamnable de tirer des textes des conclusions contraires à l'orthodoxie. Ce dernier point se concrétisera par une christianisation de la lecture et parfois du texte d'Aristote.^[15]

Pseudo-Denys l'Aréopagite

Thomas d'Aquin (1225-1274), héritier d'autres penseurs, dont Albert le Grand, chercha ainsi le Dieu chrétien dans le « premier moteur immobile » d'Aristote, en se débattant avec le dieu seulement moteur du monde éternel selon Aristote face au Dieu chrétien éternel et créateur d'un monde appelé à finir, et ainsi que la multitude des moteurs immobiles d'Aristote qui sont interprétés plus ou moins comme étant des anges, et autres difficultés. Le cœur du problème étant que le monde aristotélicien est composé d'êtres ayant chacun en soi le principe de ses mouvements, alors que le monde chrétien est fait d'êtres incomplets, hiérarchisés et déterminés par Dieu. L'ensemble de la doctrine de Thomas d'Aquin porte le nom de thomisme.^[16] Dans cette doctrine, le problème principal de la causalité est de déterminer la nature de la cause, c'est à dire son classement en « catégorie » de manière semblable au classement aristotélicien.^[17] Bien que fortement discutée au sein de l'Église, voire un moment interdit, le thomisme y devient une référence pour apprécier les doctrines philosophiques.

[modifier] L'école d'Oxford

Robert Grosseteste (1175-1253) professeur aux écoles d'Oxford et évèque de Lincoln, étudia les traités physiques arabes (Al Petragius, Averroès, Avicenne, Ibn al-Haytham,...) à la suite de ses maîtres d'Oxford, dont Alfred de Sareshel qui était allé en Espagne apprendre l'arabe et y puiser des connaissances nouvelles. Outre une conception originale du monde qu'il élabore en donnant à la lumière une place centrale comme le feu dans la cosmologie stoïcienne, il développe une étude géométrique de la lumière et de l'optique, finissant par affirmer que la nature est ordonnée rigoureusement, que cet ordre est rigoureusement concevable par l'esprit, allant jusqu'à dire qu'en matière de choses naturelles, indifférentes au Salut de l'âme, les théologiens ont pu se tromper.^[18]

Roger Bacon (1214 - 1294), élève de Robert Grosseteste, était surnommé doctor mirabilis (docteur admirable) en raison de sa science prodigieuse, il continua de développer la géométrisation de l'étude de la lumière, et se pencha sur des problèmes de techniques d'ingénieurs. Il prona l'expérience comme seule méthode possible pour la science, mais il ne donna jamais aucune méthode précise ni pour faire des expériences ni pour en tirer des lois : pour lui l'expérience était la science secrète et traditionnelle des experts qui connaissent les forces occultes inconnues du reste des hommes. Ainsi fait-il crédit de vérité à l'alchimiste qui crée l'élixir de vie, à l'astrologue qui connaît le destin par les astres, à Pline l'Ancien qui raconte que le sang de bouc attaque le diamant, etc... Ses thèses traïssent l'impatience de certains face à la rigidité de la « philosophie des parisiens » (il est contemporain de Thomas d'Aquin), ayant le sentiment que la réalité est ailleurs.^[19]

[modifier] Les nominalistes

Roscelin de Compiègne (1050 - 1120), à la suite de Boèce, distingue les mots dans les textes des choses dans la réalité sensible. Il affirma que toutes les distinctions qu'apporte la dialectique entre genre et espèce, substance et qualité, ne sont que verbales, et que les seules distinctions qui sont fondées sont celles qui sont illustrées par des choses individuelles. Abélard dit que même la division, par l'esprit, d'un corps en parties corporelles parait arbitraire à Roscelin. Sur l'ordre du concile de Soissons en 1092, il dût abjurer son opinion sur la trinité : tirant les conclusions de ses idées, il en serait arrivé à faire trois entités distinctes de la trinité chrétienne.^[20]

Guillaume d'Ockham (v.1285 - 1349), appelé le vénérable initiateur (venerabilis inceptor) du nominalisme, poursuivant les réflexions philosophiques de Roscelin de Compiègne et Abélard, il attribue la connaissance à l'expérience sensible intérieure (l'intime : émotions, volonté,...) ou extérieure (le sensible), et doute alors de toute idée qui n'est pas ainsi concrétisée. L'affirmation Aristotélicienne que « Tout ce qui est mû est mû par autre chose » et la remontée de cause en cause jusqu'à une cause première sont alors probables, mais pas prouvées. Il en ai alors de même de Dieu, son unité, son infinité, la trinité qui ne peuvent être connus.^[21] Ses théories fûrent interdites, ponctuellement, à la Faculté des Arts de l'Université de Paris au cours des cent années suivantes, malgrès cela elles s'y diffusèrent.

Nicolas d'Autrecourt, (Autrecourt 1299 - Metz 1369), dont la doctrine ne nous est parvenue qu'à travers ses contradicteurs, reprit les arguments de Roscelin de Compiègne, disant que « de ce qu'une chose est connue comme existence, il ne peut être inféré [déduit] avec évidence qu'une autre chose existe » et qu'il n'est « certain avec évidence que des objets de [ses] sens et que de [ses] actes » , il nie l'évidence de la causalité aristotélicienne, de l'unité du monde et de Dieu, faisant du devenir une succession de moments sans liaison. Se penchant sur les facultés de l'âme, il en arrive à affirmer que l'acte de volonté ne permet pas de conclure à l'existence de la volonté. En 1347, il devra abjurer publiquement ses thèses devant l'Université de Paris rassemblée.^[22]

[modifier] L'impetus de Jean Buridan

La doctrine d'Aristote philosophiquement ébranlée, Jean Buridan (1300-1358), élève de Guillaume d'Ockham, se permit de chercher à en améliorer la dynamique par l'introduction de l'impetus (l'élan) qui devait expliquer qu'un objet lancé poursuit son mouvement dans les airs sans qu'aucune cause efficiente ne le propulse à chaque instant. Une idée proche, moins développée, se trouvait déjà clairement chez Jean Philopon, commentateur byzantin du Vème siècle, et Guillaume d'Ockham avait aussi émis l'hypothèse, imprécise, qu'il se transmet quelque chose du corps « agent » au corps « patient ».

Pour Jean Buridan, l'impetus d'un projectile est d'autant plus grand que sa vitesse est grande, et s'il n'y avait pas la résistance de l'air et la pesanteur, le mouvement durerait indéfiniment dans un mouvement circulaire et uniforme semblable à celui des objets célestes, animés ainsi initialement par Dieu. Ce n'est que progressivement que l'impetus ne se révéla révolutionnaire vis-à-vis de la dynamique d'Aristote.^[23] Il expose une théorie où l'impetus se transmet du moteur au mobile, disant que plus un corps contient de matière plus il peut recevoir de l'impetus, et qu'une plume ne peut recevoir « un impetus si faible que cet impetus se trouve détruit aussitôt par la résistance de l'air » quand on la lance. Appliquant l'impetus au cas de la chute libre d'une pierre, il explique que l'impetus, en croissant du fait de la « gravité naturelle de la pierre », est cause et effet de la chute, et aurait été proche de montrer qu'il y a accroissement constant de la vitesse, si...la notion de vitesse avait existé.^[24]

Albert de Saxe énonce alors l'hypothèse que « la terre se meut et le ciel est au repos », car l'impetus de jean Buridan ne fait plus de la Terre le lieu naturel de l'immobilité, et essaie de mathématiser le lien entre temps de chute et distance parcourue.
Nicolas Oresme (1325-1382) soutient la même idée de la mobilité de la Terre en reprenant la comparaison repos-perfection et mouvement-imperfection, il devance René Descartes par l'invention des coordonnées et Galilée en trouvant la formule de l'espace parcouru par un corps en chute libre.^[25] Mais, ne disposant pas de la méthode expérimentale ni de mathématiques algébriquement performantes, il enlise la notion d'impetus. Ainsi, l'impetus serait croissant durant la montée de l'objet, et serait décroissant durant sa descente, et Oresme utilise des analogies avec la chaleur. À sa suite, l'impetus sera comparé à l'action des sacrements sur le croyant : ce type de comparaison illustre la difficulté de comprendre la transmission du mouvement à l'aide d'une notion qualitative et non pas quantitative, par l'observation et non pas l'expérimentation. ^[26]

Au total, et jusqu'à la fin du XVIème siècle, l'impetus sera resté dans le cadre de la causalité aristotélicienne : le mouvement violent restera dû à une cause efficiente motrice transportée sous la forme de l'impetus. Alexandre Koyré le qualifira de « notion médiévale confuse ».^[27]

[modifier] Le XVème et le XVIème siècle

Cette période est celle de la Renaissance qui voit l'accroissement des techniques : non seulement la généralisation de l'utilisation de la boussole, de la poudre à canon et la naissance de l'imprimerie, mais aussi des inventions industrielles ou mécaniques dont plusieurs sont dues à des artisants italiens.
De manière générale, l'idée de Guillaume d'Ockham suivant laquelle rien dans la nature ni notre rationnalité ne peut nous amener à Dieu, le domaine de la foi étant incommunicable sauf du fait du don de Dieu, semble partagée par le plus grand nombre des philosophes et même de nombreux religieux.^[28]
En physique, les œuvres d'Archimède sont montrées en exemples : il a su allier mathématiques et étude des corps. L'impetus reste une valeur sûre transmise par Nicolas de Cues, ainsi que Leonardo da Vinci, qui, par ailleurs, ne manquait pas de fustiger les alchimiste et les astrologues en les traitant de fous ou de charlatans.
En mathématiques, plus de deux siècles de maturations de l'héritage arabo-andalous amènent à des tentatives d'écritures algébriques efficaces, et l'émergeance des techniques (et des textes d'Archimède) fait qu'on a plus de considération envers cette science, même si elle n'a que d'humbles sujets d'études.
Nicolas de Cues (1401-1464) est une figure emblématique de ce temps. Vers 1443, il notait : « Nous voyons partout, les esprits des hommes les plus adonnés à l'étude des arts libéraux et mécaniques retourner à l'Antiquité, et avec une extrème avidité, comme si l'on s'attendait à voir s'accomplir bientôt le cercle entier d'une révolution. » Nicolas de Cues, inspiré par Platon, propose un dépassement des oppositions sur lesquelles repose la physique aristotélicienne : la coïncidence des opposés est le principe de la connaissance intellectuelle des choses, tandis que le principe de contradiction est celui de la connaissance rationnelle. Ainsi le repos se voit coïncider avec le mouvement : « le mouvement n'est qu'un repos ordonné en série ». Il élabore un système de physique philosophique proche de de celui de Plotin, restant ainsi dans le cadre d'une physique qualitative.^[29]

[modifier] Le XVIIème siècle

[modifier] Notes

↑ Émile Bréhier tome I, p37-71
↑ Émile Bréhier tome I, p39-42
↑ Émile Bréhier tome I, p44-48
↑ Émile Bréhier tome I, p48-53
↑ Émile Bréhier tome I, p59-62
↑ Émile Bréhier tome I, p68-71
↑ Émile Bréhier tome I, p79-85
↑ Émile Bréhier, tome I, p179-190
↑ Phrase issue de la Physique d'Aristote, et soulignée par Émile Bréhier tome I, p593
↑ Émile Bréhier, tome I, p273-279
↑ Émile Bréhier, tome I, p302-314
↑ Émile Bréhier, tome I, p302-314
↑ Émile Bréhier, tome I, p475-476
↑ Émile Bréhier, tome I, p430-537
↑ É.Bréhier, tome I, p565-570
↑ É.Bréhier, tome I, p582-607
↑ Dictionnaire d'his et philo des sciences. Article causalité classique rédigé par Mme Christianne Vilain
↑ Émile Bréhier, tome I, p613-616
↑ Émile Bréhier, tome I, p616-620
↑ Émile Bréhier, tome I, p501-502
↑ Émile Bréhier, tome I, p640-642
↑ Émile Bréhier, tome I, p643-644
↑ Émile Bréhier, tome I, p644-646
↑ Dictionnaire d'hist et philo des sciences. Article Impetus rédigé par Mme Christianne Vilain
↑ Émile Bréhier, tome I, p646-647
↑ Dictionnaire d'hist et philo des sciences. Article Impetus rédigé par Mme Christianne Vilain
↑ Dictionnaire d'hist et philo des sciences. Article Impetus rédigé par Mme Christianne Vilain
↑ É.Bréhier, tome I, p659-664
↑ É.Bréhier, tome I, p664-666

[modifier] La chute des corps expliquée à Mr Lambda

Penser, comme Aristote, que ce qui est le plus lourd doit tomber le plus vite est faire une confusion entre la quantité et la qualité:

1. Quantité: Prenons en main un corps attiré par la terre, et décomposons le, par une vue de l'esprit, en une myriade de micro "briques de matière". Chaque "brique de matière" étant attiré par la terre exerce une force, nommée "poids", sur la main et le grand nombre de "briques" exerçant ce poids donne le poids global.

2. Qualité: Lâchons ce corps, il tombe. Chaque "micro brique" tombe parce qu'elle est attirée par la terre, seulement à cause de cela et sans tenir compte de le présence éventuelle d'autres "briques" alentour, et acquière une certaine vitesse. Donc quel que soit le nombre de "micro-briques", toutes tombent simultanément, à la même vitesse : c'est la vitesse du corps entier, qui ne dépend donc pas du nombre de "briques" (donc ne dépend pas de son poids). On peut imaginer qu'il y en ai de plus rapides que d'autres, alors les rapides seraient ralenties par les lentes et les lentes seraient tirées par les rapides: la vitesse globale serait une moyenne.

La Relativité Générale nous a apprit que seul le paramètre énergie des corps rentre en compte dans la gravitation. La vitesse de chute est donc la même pour toutes les "micro-briques" car du point de vue de la gravitation, leur seule différence ne peut être que la quantité d'énergie, et ce n'est pas la quantité qui détermine la vitesse de chute d'un corps vers la terre.

Explications un peu détaillées :

·Le tenseur de courbure n'est influencé que par le tenseur énergie totale du corps; je n'ai pas pris la place pour expliquer que la quantité d'nrj de la terre détermine la gravitation car je ne parlais que de celle du corps en chute (ne pas faire trop long, et puis Mr Lambda pense surtout au poids de l'objet en chute quand il pense comme Aristote que...) et on sait que la quantité d'nrj de l'objet n'intervient pas dans sa chute dans un champ de gravitation uniforme, et que chaque "micro-brique" suit sa géodésique (son champ de gravitation et celui du corps entier étant négligé par rapport au champs localement uniforme de la terre).

·Chaque corps n'existe que par son (tenseur) nrj (avec composante électro et étendue spaciale) en RG, et j'ai utilisé cette réduction à l'nrj dans la RG pour finir d'expliquer qu'il n'y a pas de qualité qui puisse distinguer les "micro-briques" les unes des autres pour la gravitation. Quand à la quantité d'nrj, elle se répartit uniformement (aller, on néglige la rotation de l'objet sur lui-même et autres petits trucs!) sur des "micro-micro-briques" s'il le faut, même l'nrj cinétique se réparit au passage. Donc sans parler de géodésique, on peut faire comprendre l'indépendence de la chute par rapport au poids et à la nature de l'objet.

[modifier] Principe de moindre action

Quelques détails mathématiques justifiant ce résumé

Dans le cas où le système est à énergie constante ( $E = T + V$ est une constante du mouvement), on obtient : l'action à minimiser est $S = \int_{t_0}^{t_1}2T dt$
Si le chemin suivit par la particule n'est pas celui de vitesse maximale (ie:énergie cinétique maximale), alors un chemin détourné, utilisant une vitesse supérieure, peut aboutir au même endroit, en moins de temps et donner une action inférieure.

Une équation tensorielle (c'est-à-dire : où seuls des tenseurs interviennent) qui est vraie en un point donné de l'espace et pour un référentiel particulier est vraie pour tous les référentiels en ce point de l'espace.

$\frac{dV_k}{dt_0} = - \Gamma_k^{ij}V_i V_j$

$V_j = \frac{dx_j}{dt_0}$

$dV_k = - \Gamma_k^{ij} V_i dx_j$

$\Gamma_k^{ij} = \Gamma_k^{ji}$

$\ A^kV_k = cte$

⇒ $\ \delta A^k.V_k + A^k.\delta V_k = 0$

⇒ $( \delta A^i - \Gamma_k^{ij} A^k dx_j ).V_i =0$

⇒ $\delta A^i - \Gamma_k^{ij} A^k dx_j =0$

car $\ V_i$ est quelconque.

Une autre base est utilisée pour faire apparaitre des termes gravitationnels. Au point où l'on travaille, on définit $\vec{v}^{~i} = \vec{e}^{~i}$ , que l'on fait varier suivant les équations des géodésiques vers les points infiniment proches : $d\vec v^{~k} = - \Gamma^k_{ij} \vec v^{~i} dx^j$ ou $\partial_j \vec v^{~k} = - \Gamma^k_{ij} \vec v^{~i}$ . On dit que l'on déplace les vecteurs de la base « parallélement à eux-même » ou « par translation ».

Aussi, on dit que l'on déplace le vecteur $\vec{A}(x) = A_i\vec v^{~i}(x)$ du point M(x) par translation vers le point infiniment voisin M'(x') quand $\vec{A}(x') = A_i\vec v^{~i}(x')$ : les coordonnées $\ A_i$ dans les bases $\vec v^{~i}(x)$ et $\vec v^{~i}(x')$ sont les mêmes.
Mais il y a pourtant un changement : $d\vec{A}(x) = A_i.d\vec v^{~i}(x) = - A_k\Gamma^k_{ij} \vec v^{~i}dx^j$ .
Donc, en cas de translation du vecteur $\vec{A}(x)$ , on a : $(~\partial _j \vec A~)_i = - \Gamma^k_{ij} A_k$ .
Par la présence du symbole de Christoffel, on voit que cette variation est due à la gravitation.

[modifier] Démonstration de la densité lag du champ

Indice pour une seconde démonstration

Il peut paraitre insatisfaisant de supposer d'emblée qu'il faut utiliser les $\ F^{ij}$ alors que le champ électromagnétique est défini initialement seulement par le potentiel électromagnétique $\ A_i$ i=0;1;2;3. Nous chercherons donc ici l'invariant déja désigné à partir du tenseur $(\partial^i A^j)_{i,j=0,...,3}$ à partir de sa forme de matricielle $\partial A = (\partial^i A_j)_{i,j=0,...,3}$ .

De la même manière que dans la démonstration précédente, on utilise le polynôme caractéristique de la matrice $\partial A$ .

Le coefficient

[modifier] Esp de Minkowski

L'espace-temps de Minkowski, du nom de son inventeur, est un espace affine et vectoriel de dimension quatre utilisé pour écrire la relativité restreinte.

[modifier] Espace affine

L'espace-temps affine de Minkowski est un espace affine dimension quatre munit d'un repère tel que :

Les coordonnées d'un point sont notées $(x 0; x 1; x 2; x 3)$ où $x 0 = c . t$ est la coordonnée dite de « temps », et $x 1; x 2; x 3$ sont les coordonnées dites d'« espace »; tous ces nombres ayant la dimension d'une longueur.

La « distance » $Δ s$ entre deux points est définie par $(Δ s) 2 = (Δ x 0) 2 - (Δ x 1) 2 - (Δ x 2) 2 - (Δ x 3) 2$

On remarque qu'avec cette définition de la « distance » on peut avoir $(Δ s) 2$ positif, négatif ou nul, ce qui signifie que $Δ s$ est, respectivement, un nombre réel, imaginaire pur, ou nul. Les points dits « physiquement admissibles » sont ceux pour lesquels la distance à l'origine du repère est réelle, et on prend $Δ s$ positif ou nul, puisque son signe n'est pas déterminé par la définition. C'est-à-dire : $\Delta s = \sqrt{(x_0)^2-(x_1)^2-(x_2)^2-(x_3)^2}$ ≥ 0.