Groupe de quaternions

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Diagramme du cycle de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d'un élément quelconque connecté à l'élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i ² = −1, i ³ = −i et i ⁴ = 1. Le cycle rouge reflète aussi le fait que (−i )² = −1, (−i )³ = i et (−i )⁴ = 1.

En mathématiques et dans théorie des groupes, le groupe des quaternions est un groupe non-abélien d'ordre 8. Il correspond au produit semi-direct du groupe de Klein V₄ et du groupe cyclique C₂.

La représentation du groupe de quaternion irréductible de dimension quatre sur les nombres réels forme un corps gauche, c'est à dire non commutatif. Il est appelé corps des quaternions.

Sommaire

1 Définition
2 Table du groupe
3 Propriétés
- 3.1 Représentation
- 3.2 Nature du groupe
4 Groupe de quaternions généralisé
5 Voir aussi

[modifier] Définition

Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symboleQ ou Q₈ et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants :

$Q = {1, -1, i, -i, j, -j, k, -k}\,$

Ici, 1 est l'élément neutre, $(- 1)^2 = 1\,$ et $( - 1).a = a.(- 1) = - a\,$ pour tout a dans Q. Les règles de multiplication restantes peuvent être obtenues à partir de la relation suivante :

$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,$

[modifier] Table du groupe

La table de multiplication pour Q est donnée par :

	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
1	1	i	j	k	−1	−i	−j	−k
i	i	−1	k	−j	−i	1	−k	j
j	j	−k	−1	i	−j	k	1	−i
k	k	j	−i	−1	−k	−j	i	1
−1	−1	−i	−j	−k	1	i	j	k
−i	−i	1	−k	j	i	−1	k	−j
−j	−j	k	1	−i	j	−k	−1	i
−k	−k	−j	i	1	k	j	−i	−1

Le groupe ainsi obtenu est non commutatif comme on peut le voir sur la relation $ij = - ji\,$ . Cependant Q est un groupe hamiltonien : chaque sous-groupe de Q est un sous-groupe normal, mais le groupe est non-abélien. Chaque groupe hamiltonien contient une copie de Q.

[modifier] Propriétés

[modifier] Représentation

Article détaillé : Représentations du groupe des quaternions.

Considérant un espace vectoriel réel de dimension quatre dont une base est notée {1, i, j, k}, on la munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps appelé les corps des quaternions. Inversement, on peut démarrer avec les quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments ${1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k}\,$ .

La théorème d'Artin-Wedderburn généralise cette approche. Il permet, avec la théorie des représentations d'un groupe fini de construire des algèbres semi-simples contenant un corps gauche, c'est à dire non commutatif.

[modifier] Nature du groupe

Les trois éléments i, j et k sont tous d'ordre 4 dans Q et deux quelconques d'entre eux engendrent le groupe entier. Q admet la présentation

$\langle x,y \mid x^4 = 1, x^2 = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle$

On peut prendre, par exemple, x = i et y = j.

Le centre et le sous-groupe des commutateurs de Q est le sous-groupe {±1}. Le groupe quotient Q/{±1} est isomorphe au groupe de Klein V. Les classes de conjugaison sont au nombre de cinq : {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j} et {k, -k}.

Le groupe des automorphismes intérieurs de Q est isomorphe à Q modulo son centre, et est par conséquent aussi isomorphe au groupe de Klein. Le groupe des automorphismes de Q est isomorphe à S₄, le groupe symétrique sur quatre lettres. Le groupe des automorphismes extérieurs de Q est alors S₄/V qui est isomorphe à S₃. Le groupe des quaternions Q peut être vu comme agissant sur les 8 éléments non nuls de l'espace vectoriel à 2 dimensions sur le corps fini F₃. Pour une image, voir Visualisation de GL(2,p).

[modifier] Groupe de quaternions généralisé

Un groupe est appelé un groupe de quaternions généralisé s'il possède une présentation

$Q_{2^n}=\langle x,y \mid x^{2^{n-1}} = 1, x^{2^{n-2}} = y^2, yxy^{-1} = x^{-1}\rangle$

pour un certain entier n ≥ 3. L'ordre de ce groupe est 2ⁿ. Le groupe de quaternions ordinaire correspond au cas n = 3. Le groupe de quaternions généralisé peut être réalisé comme le sous-groupe des quaternions unités engendré par

$x = e^{2\pi i/2^{n-1}}$

$y = j\,$

Un tel groupe peut être mis en relation avec un groupe diédral d'ordre 2^n-1 par la suite exacte :

$1\to <a>\to Q_{2^n}\to D_{2^{n-1}}\to 1$

Les groupes de quaternions généralisés sont membres d'une famille encore plus large de groupes dicycliques. Les groupes de quaternions généralisés ont la propriété que chaque sous-groupe abélien est cyclique. Il peut être montré qu'un p-groupe fini avec cette propritété (chaque sous-groupe abélien est cyclique) est soit cyclique ou un groupe de quaternions généralisé comme défini ci-dessus.