Action par conjugaison

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En mathématiques, dans la théorie des groupes, une action par conjugaison est un cas particulier d' action de groupe. L'ensemble $X$ sur lequel agit le groupe $G$ est ici le groupe $G$ lui-même.

Dans cet article :

$(G, * )$ désigne un groupe, noté multiplicativement, de neutre $e$ .

La loi $*$ du groupe est le plus souvent sous-entendue.

[modifier] Définitions

Soit g un élément de G, l'application de G dans G, qui à s associe gsg^-1 est appelée automorphisme intérieur associé à g.

Cette application est bien bijective car elle est composée de deux bijections, une translation à droite et une translation à gauche, on vérifie le fait qu'elle est bien un morphisme :

$\forall x,y \in G \quad aut_g(x).aut_g(y)=gxg^{-1}\; gyg^{-1}=gxyg^{-1}=aut_g(xy)\;$

On définit une nouvelle loi interne par :

${loi }\, \cdot \left\{ \begin{matrix} G \times G \rightarrow G \\ (g,x) \mapsto g \cdot x=aut_g(x)=gxg^{-1} \end{matrix}\right.$

Cette loi interne de G constitue une action de groupe, appelée action de conjugaison.

Démonstration : on vérifie les deux conditions d'une action de groupe.

$\forall x \in G,\ e \cdot x = e x e^{-1}=x$ car $e$ est le neutre de $G$

$\forall (g,g') \in G\times G,\ \forall x \in E$ :

$g' \cdot (g \cdot x)= g' \cdot (g x g^{-1}) = g' g x g^{-1} g'^{-1}$ $=(g' g) x (g' g)^{-1} = (g' g) \cdot x$

Pour tout g appartenant à G, la classe de g par l'action par conjugaison est appelée classe de conjugaison de g et est notée C_j(g). Tout élément de C_j(g) est appelé conjugué de g.

[modifier] Applications

Les classes de conjugaison sont utilisées pour la démonstration du théorème de Wedderburn stipulant que tout corps fini est commutatif.
Dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, les classes de conjugaison sont à la base de la définition des fonctions centrales d'un groupe fini, elles servent à définir l'espace vectoriel les caractères des représentations. Dans le même contexte, on les retrouve pour l'analyse du centre d'une algèbre d'un groupe.
Les automorphismes intérieurs sont utilisés pour la démonstration des théorèmes de Sylow, du théorème de Frattini et dans de nombreuses démonstrations concernant les groupes.

[modifier] Propriétés

Les classes de conjugaison constituent une partition de G associée à la relation d'équivalence: $x \sim y \ \Leftrightarrow \ \exists g \in G \quad y=g*x*g^{-1}$ .

Un élément g de G laisse invariant tout élément de G si et seulement si g appartient au centre Z(G) de G :

$[\forall x\in Z \quad g*x*g^{-1}=x] \qquad \Leftrightarrow \qquad [\forall x\in Z \quad g*x=x*g]$ .

On peut donc restreindre l'action par conjugaison au groupe quotient G/Z(G). Alors $f g = f g'$ ssi g = g' mod[Z(G)], où $f g$ est l'automorphisme intérieur défini par $\forall x \in G,\ f_g(x) = g*x*g^{-1}$ .

De même z opère identiquement sur x (l'action par conjugaison de z stabilise x) si et seulement si z est élément du centralisateur $Z x$ de x. La formule des classes montre alors que, si C_x désigne la classe de congugaison de x :