Fonction d'erreur

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Construction de la fonction d'erreur réelle.
Construction de la fonction d'erreur réelle.

En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales.

\operatorname{erf}(z) = \frac{2}{ \sqrt{\pi} } \int_0^z e^{- \zeta^2 } d\zeta

Sommaire

[modifier] Intérêt de cette fonction

La probabilité pour qu'une variable normale centrée réduite prenne une valeur dans l'intervalle [-z, z] est

\operatorname{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right);

c'est la distribution normale.

Elle intervient, par exemple dans les solutions de l'équation de la chaleur, quand les conditions aux bords sont données par la fonction de Heaviside.

[modifier] Calcul numérique

L'intégrale ne peut être obtenue à partir d'une formule fermée mais par un développement en série entière intégré termes à termes. Il existe des tables donnant des valeurs des intégrales, comme fonctions de z, mais aujourd'hui, la plupart des logiciels de calcul numérique (tableurs, Scilab) ou de calcul formel (comme Maple ou MuPAD) intègrent une routine de calcul de erf(x) et de sa réciproque, inverf(x), encore plus utile en calcul de probabilités.

Toutefois, les approximations suivantes peuvent être utiles si l'on programme soi-même une application en langage C ou Fortran :

  • En v(0),\quad \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}.e^{-x^2}. \left ( x + \frac{2}{3} .x^3 + \frac{4}{15} .x^5\right ) + o( x^6.e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 6 × 10 − 4 pour x < 0,50)

\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}( x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + .... + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)n!}) (Développement en serie de Taylor)

  • En v(+\infty),\quad \operatorname{erf}(x) = 1 - e^{-x^2}\frac{1}{\sqrt{\pi}}. \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^3} + \frac{3}{4x^5} - \frac{5}{8x^7} \right ) + o( x^{-8}.e^{-x^2} ) (avec une erreur inférieure à 2 × 10 − 4 pour x > 1,75)
  • Pour x>0,\quad \sqrt{ 1-e^{-x^2} } \leq \operatorname{erf}(x) \leq \sqrt{1-e^{-4x^2 / \pi}}

(encadrement proposé par J. T. Chu, 1955 ; la borne supérieure approche partout la fonction erf à moins de 7 × 10 − 3 près).

[modifier] Extensions

Il arrive que la fonction plus générale En définie par :

E_n(z) = n! \int_0^z e^{-\zeta^n}d\zeta

soit utilisée et E2 est appelée erreur intégrale.

D'autres fonctions d'erreurs utilisées en analyse, notamment :

  • La fonction d'erreur complémentaire notée erfc et définie par :

\operatorname{erfc}\left( z \right) = 1 - \operatorname{erf}\left( z \right) = \frac{2}{ \sqrt{\pi} }\int_z^{\infty}e^{-\zeta^2}d\zeta

  • La fonction ierfc, intégrale de la fonction d'erreur complémentaire erfc :

\operatorname{ierfc}\left( z \right) = \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}} - z\cdot\operatorname{erfc}\left( z\right)

[modifier] Voir aussi