Sinus cardinal
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sommaire |
[modifier] Définitions
En mathématiques, la fonction sinus cardinal est définie par :
- (définition 1)
où sin désigne la fonction sinus.
Comme souvent en mathématiques, il existe une autre définition couramment utilisée :
- (définition 2)
En particulier, il s'agit de la représentation utilisée avec les logiciels GNU Octave et Matlab.
Quand une confusion pourra être possible, on notera par la suite (resp. ) la première (resp. la seconde) version de la fonction.
[modifier] Propriétés
[modifier] Propriétés élémentaires
La valeur en zéro semble de prime abord non définie, mais le calcul de limite est possible : on reconnaît en
un taux d'accroissement pour la fonction sinus, dont la limite en 0 est la dérivée du sinus en 0, égale à cos(0) = 1.
Les zéros de la fonction sont atteints en (première définition) ou (seconde définition)
x | ||||
0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
4.493409 | 1.430297 | -0.217234 | 0.047190 | -13.261459 |
7.725252 | 2.459024 | 0.128375 | 0.016480 | -17.830421 |
10.904122 | 3.470890 | -0.091325 | 0.008340 | -20.788187 |
14.066194 | 4.477409 | 0.070913 | 0.005029 | -22.985427 |
17.220755 | 5.481537 | -0.057972 | 0.003361 | -24.735664 |
20.371303 | 6.484387 | 0.049030 | 0.002404 | -26.190829 |
23.519452 | 7.486474 | -0.042480 | 0.001805 | -27.436388 |
26.666054 | 8.488069 | 0.037475 | 0.001404 | -28.525278 |
29.811599 | 9.489327 | -0.033525 | 0.001124 | -29.492589 |
32.956389 | 10.490344 | 0.030329 | 0.000920 | -30.362789 |
36.100622 | 11.491185 | -0.027690 | 0.000767 | -31.153625 |
39.244432 | 12.491891 | 0.025473 | 0.000649 | -31.878380 |
42.387914 | 13.492492 | -0.023585 | 0.000556 | -32.547257 |
La valeur où le carré de vaut 0,5 est atteinte pour x = +/- 1.39156 environ (ce qui permet de définir la largeur de la bande passante à -3 dB en puissance, de la fonction)
[modifier] Résultats de calcul infinitésimal
La fonction est développable en série entière sur la droite réelle
De là vient que le sinus cardinal est indéfiniment dérivable sur . Il peut même être étendu en une fonction holomorphe sur tout le plan complexe, en employant la formule précédente pour tout x complexe.
Les primitives de la fonction sinus cardinal ne peuvent être calculées à l'aide des fonctions élémentaires. Il est habituel de définir une fonction spéciale, la fonction sinus intégral comme la primitive du sinus cardinal nulle en 0
On démontre que l'intégrale converge.
On effectue une intégration par parties, en choisissant convenablement la primitive, sur un segment [a,x] ne contenant pas 0
Il est possible de prendre la limite de ces différents termes lorsque a tend vers 0 puisque la fonction se prolonge par continuité en 0. Ainsi
Le premier terme de cette somme a une limite nulle lorsque x tend vers l'infini. Dans le second, la fonction est intégrable sur . Finalement, l'intégrale du sinus cardinal existe sur et vaut
On peut prouver que cette intégrale a pour valeur
- .
Une des méthodes de calcul consiste à employer la transformée de Laplace.
Il existe aussi une deuxième convention pour le sinus intégral :
En revanche la fonctions sinus cardinal n'est pas intégrable sur . On peut d'ailleurs donner l'estimée, pour X tendant vers l'infini
Ainsi est une intégrale semi-convergente : c'est un exemple classique d'intégrale impropre.
[modifier] Transformée de Fourier
La transformée de Fourier du sinus cardinal est la fonction porte:
où la fonction porte est définie de la manière suivante :
- .
La transformée de Fourier de la fonction porte telle que définie ci-dessus est également un sinus cardinal:
- .
[modifier] Utilisation et applications
- Étant donné que la transformée de Fourier de la fonction porte est très couramment utilisée, le sinus cardinal est forcément très utilisé aussi, notamment en physique ondulatoire (car tous les phénomènes de diffraction sont traités par transformée de Fourier) ainsi qu'en Traitement numérique du signal. En particulier, le sinus cardinal est fréquemment rencontré en théorie des antennes, en acoustique, en radar, pour la diffraction par une fente, etc.
- On utilise également souvent le carré du sinus cardinal, car celui-ci donne l'intensité ou la puissance du signal dont l'amplitude est en sinus cardinal. Souvent, on cherchera à réduire l'influence des maxima secondaires du module (qui donne lieu à des lobes secondaires indésirables).
- Étant donné que les valeurs décroissent rapidement, le carré de la fonction sinus cardinal est souvent représenté en échelle logarithmique.