Équation biharmonique

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En analyse, l'équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles d'ordre 4, qui apparaît par exemple dans la théorie de l'élasticité. L'équation biharmonique pour une fonction φ s'écrit :

\nabla^4\varphi= \Delta^2 \varphi = 0

où \nabla est l'opérateur nabla et Δ l'opérateur laplacien. L'opérateur Δ2 est aussi connu sous le nom d'opérateur biharmonique ou bilaplacien.

Dans le cas tridimensionnel, dans un système de coordonnées cartésiennes, l'équation biharmonique s'écrit :

\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^4 } + \frac{\partial^4 \varphi}{ \partial y^4 } + \frac{\partial^4 \varphi}{ \partial z^4 }+ 2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^2\partial y^2}+ 2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial y^2\partial z^2}+ 2\frac{\partial^4 \varphi}{ \partial x^2\partial z^2} = 0.

Dans un espace euclidien de dimension n, la relation suivante est toujours vérifiée :

\nabla^4 \left(\frac{1}{ r}\right)= \frac{3(15-8n+n^2)}{ r^5}

avec r la distance euclidienne :

r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}.

ce qui, pour n = 3, est solution de l'équation biharmonique.

Une fonction qui est solution de l'équation biharmonique est appelée fonction biharmonique. Toute fonction harmonique est biharmonique — la réciproque n'est pas vraie.

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[modifier] Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biharmonic equation ».
  • Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
  • S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
  • J P Den Hartog, Advanced Strength of Materials, Courier Dover Publications, Jul 1, 1987. ISBN 0-486-65407-9.
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