Bernd Fischer

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Bernd Fischer est un mathématicien allemand né en 1936.

Il est principalement connu pour son théorème de caractérisation des groupes de transpositions dont il démontra la véracité en 1970.^[1]

Il obtint son PhD en 1963 à l'université Johann Wolfgang Goethe de Francfort-sur-le-Main sous la direction de Reinhold Baer. Son thème de travail était Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung^[2] (Quasigroupes distributifs d'ordre fini). Son travail reste pour l'heure non publié ce qui justifie le relatif manque d'informations à son sujet.

[modifier] Enoncé du Théorème

Soit $\ G$ un groupe fini de 3-transpositions et $\ D$ une classe de conjugaison de $\ G$ tels que le centre de $\ G$ soit réduit au groupe trivial et que le groupe dérivé de $\ G$ soit simple. Alors l'une des six caractérisations suivantes de $\ G$ est vraie :

$\ G\cong\mathfrak{S}_n$ , groupe symétrique d'indice n et $\ D$ est l'ensemble des transpositions de $\ G$ .
$\ G\cong\mathcal{S}p_n(2)$ , groupe symplectique de dimension n sur un corps de cardinal 2 et $\ D$ est l'ense.mble des transvections de $\ G$ .
$\ G\cong\mathcal{U}_n(2)$ , groupe projectif unitaire de dimension n sur un corps de cardinal 4 et $\ D$ est l'ensemble des transvections de $\ G$ .
$\ G\cong\mathcal{O}_n$ , un groupe orthogonal de dimension n sur un corps de cardinal 2 et $\ D$ est l'ensemble des transvections de $\ G$ .
$\ G\cong\mathcal{PO}_n(3)$ , sous-groupe d'un groupe projectif orthogonal de dimension n sur un corps de cardinal 3 généré par une classe de conjugaison de réflexions $\ D$ .
$\ G$ est, à un isomorphisme près, un groupe de Fischer de type $\ M(22)$ , $\ M(23)$ ou $\ M(24)$ et $\ D$ est définie de manière unique comme une classe d'involutions de $\ G$ .

[modifier] Autres découvertes

Les groupes mentionnés dans la caractérisation 5. furent découverts par Fischer lors de l'élaboration de son théorème. Les deux premiers sont des groupes simples sporadiques tandis que le dernier, bien que non simple (et non sporadique par extension), possède un sous-groupe simple. Ils sont connus sous le nom de groupes de Fischer mais sont également des groupes de Mathieu : on les note $F i 22$ , $F i 23$ et $F i 24$ ou bien $M 22$ , $M 23$ et $M 24$ (Fischer utilisait cette deuxième appellation).

Fischer est également à l'origine de la découverte du groupe Bébé Monstre et avait conjecturé l'existence du groupe Monstre en 1973 avant qu'elle ne soit avérée 9 ans plus tard.