Discuter:Série divergente

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Évaluation de l'article Série divergente
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[modifier] Quelques réactions

Cet article me semble perfectible. Venant ici m'informer de ce qu'est une sommation d'une série divergente, il m'a fallu lire l'article plusieurs fois pour commencer à découvrir la problématique. Les reproches que je ferais sont les suivants.

Merci pour ces commentaires, je vais répondre point par point, mais sur beaucoup de choses, ma réponse pourrait être contenue dans : c'est une traduction depuis en que j'ai faite sur un sujet que je ne connaissais pas, sans consulter les bouquins en réf (voulu emprunter le Ramis, mais il a disparu de la bibliothèque), donc, mes réponses ne seront pas satisfaisantes.
  • Le titre de l'article est-il bien choisi ? Ne devrait-il pas s'appeler plutôt "sommation de série divergente"?
oui, je le pense aussi.
  • L'intro présente la série harmonique comme série divergente mais n'indique pas s'il existe une mode de sommation qui la rende convergente (j'en doute un peu car la limite de cette série est connue, mais j'en connais trop peu sur le sujet pour en être sure)
j'ai honte, mais je ne sais même pas.
  • l'intro présente la cas de la série de Grandi (je connaissais la suite mais pas sous ce nom) et donne sa somme sans que le développement ultérieur n'explique comment elle a été trouvée. On peut le deviner quand on a déchiffré la partie sur la sommation des séries géométriques ou à l'aide des sommes d'Abel mais ce serait plus clair en développant un exemple.
pareil, je ne suis pas du tout convaincu de l'appellation, mais je l'ai gardée. En fait, il y a sur en tout un tas d'articles d'exemples. J'ai traduit 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
  • La partie sur les théorèmes abéliens et théorème taubériens est obscure. On démarre sec sans avoir jamais défini ce qu'est une méthode de sommation. Il m'a fallu relire plusieurs fois pour comprendre le sens de "un tel résultat" dans la phrase "Une méthode de sommation M est dite régulière si les résultats qu'elle fournit sont, pour les séries convergentes, les mêmes que les sommes de ces séries au sens classique. Un tel résultat porte le nom général de théorème abélien" l. Je pense avoir compris que "Une méthode de sommation M est dite régulière si la somme obtenue par cette méthode correspond, pour les séries convergentes, à la somme classique. Les théorèmes démontrant qu'une sommation est régulière s'appellent les théorèmes abéliens" (pourquoi?)
Probablement faudrait-il inverser l'ordre des deux premières sections ? Pour le théorème abélien, à la relecture, je ne comprends pas non plus : l'exemple du théorème d'Abel est certainement pertinent, mais me fait me demander si la notion générale de théorème abélien ne serait pas plutôt une notion de (re)sommation de séries de fonctions, plutôt que simplement de séries numériques.
  • La définition d'une méthode de sommation est glissée dans la chapitre propriété. Cette méthode se nomme A au lieu de M (voir plus haut) Pourquoi?. La série y est notée sigma, alors que plus tard elle est notée s. La sommation semble est une fonction de la suite des sommes partielles. Si c'est le cas, il faudrait expliquer pourquoi dans la sommation d'Abel, il s'agit d'une fonction de la suite associée (a_n) - je sais, c'est facile d'expliquer que la connaissance des sommes partielles induit celle de la suite initiale mais cela va mieux en le disant.
oui, je me rappelle que j'avais un peu changé la formulation de l'espace de départ (entre espace de suites, de sommes partielles, etc.) par rapport à en, pour uniformiser. Manifestement, je n'ai pas tout uniformisé :).
  • le point de vue axiomatique est obscur : il ne semble développer qu'un exemple de raisonnement. Si j'ai bien compris , il s'agit de la démonstration de la propriété suivante, "si une méthode stable et linéaire arrive à sommer une série géométrique de raison différente de 1 alors cette somme vaut toujours c/(1-r) Le système de notation n'est pas explicité : G(r,c) (pourquoi G ?), la notation sigma troublante car utilisée visiblement dans une acception non standart - a-t-on le droit ? Ensuite la démonstration semble utiliser le fait que la suite (c,0,0,0,...) a, dans tout système de sommation, une somme égale à c. Ce résultat est évident pour une sommation régulière mais est-ce la cas pour les autres?
Tout à fait, c'est juste un exemple de raisonnement axiomatique. La notation sigma désigne ici l'image de la série géométrique par la méthode de sommation considérée. La régularité doit être supposée (elle y est en anglais, je ne sais pas où je l'ai fait passer).
  • La partie sur Nôrland means (drôle de nom) a longtemps résisté à ma compréhension jusqu'à ce je me dise qu'elle est probablement fausse. Il semble qu'il faut parler de la série s de sommes partielles s_m et non de la suite s de terme général sm. La notation p^k, prêtant à confusion avec la puissance, serait mieux noté (p_k,n). Le terme de consistante n'est jamais définie (à moins que ce ne soit synonyme de compatible). Pour la sommation de Cesaro,d'ordre k, la formule n'a de sens que pour k > 0 (sinon on utilise Gamma(-1) non défini). Donc on ne peut pas dire, "en particulier C0 est la sommation classique" mais "par convention on appelle C0 la somme classique"
mean, c'est moyenne, oubli de traduction. Pour s, c'est effectivement une série qu'on veut resommer. Pour la notation, ok. Consistance/compatible : je ne sais pas qu'elle est la traduction habituelle dans ce contexte, j'ai dû alterner par ignorance. Pour C0 tu as raison.
  • Restent ensuite deux questions qui excitent ma curiosité et auquel l'article ne répond pas : dans quels cas (à part la physique théorique)utilise-t-on de telles sommations qui donnent des limites à des séries qui avant n'en avaient pas ? Quand les séries ont une limite infinie, cherche-t-on à les sommer ?
Bien sûr, je ne sais pas. Je me jette quand même à l'eau, en essayant de me baser sur des réminiscences conversations de salle à café. En vrac : des méthodes de resommation sont des analogues discrets de certaines transformations intégrales (Mellin ?). Du coup, l'intérêt est le même que pour celles-ci. Notamment, je crois que ça sert en Galois diff. J'ai trouvé ce document, qui semble lisible et intéressant : page de Pham, cliquer sur Borel.ps ou pdf en haut de la page.

J'espère que vous pardonnerez à une néophyte en la matière cette liste de critiques que j'espère constructives mais, connaissant trop peu le sujet, je préfèrerais que quelqu'un le maitrisant davantage procède aux modifications qui, me semble-t-il, pourrait améliorer l'article. HB (d) 4 janvier 2008 à 22:16 (CET)

Merci beaucoup, content d'avoir un retour. J'essaierai de procéder à certaines améliorations, mais comme habituellement, je ne m'engage pas sur un délai bref. Salle (d) 4 janvier 2008 à 22:59 (CET)
  1. application des méthodes de sommation: les séries de Dirichlet. Une excellente introduction est le livre de Hardy et Riesz "The general theory of Dirichlet's series" où vous pourrez voir à l'oeuvre les différentes méthodes de sommation.
  2. série de grandi: on peut l'expliquer facilement en associant à la série numérique(a_n) la série entière somme(a_n x^n)=f(x). Si l'on peut trouver un domaine de convergence de la série entière, on peut associer à la série numérique entière la somme f(1). C'est ce que faisaient les mathématiciens du 18e siècle.
  3. pour grandi, on a sum((-1)^n x^n = 1/(1+x) et donc la somme de la série de grandi est 1/(1+1)= 1/2. Cette somme est aussi obtenue par la moyenne de Césaro. A certaines séries divergentes on peut associer des sommes parfois étonnantes. Complétons le triangle de Pascal par des zéros On obtient un "rectangle" dont chacun sait que la somme est, à la ligne n, 2^n. la relation de récurrence étant maintenant appliquée à reculons, elle permet d'obtenir les sommes 2^-1, 2^-2, ... à des séries cette fois infinies...
  4. Sur un article de ce genre la meilleure référence reste Hardy, divergent series.
  5. parlez en avant de vous lancez dans un articmle dont vous ne maitrisez pas le contenu...Claudeh5 (d) 28 février 2008 à 14:15 (CET)