Laplacien discret

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Soit une fonction réelle f de deux variables réelles {x,y}; on appelle , en analyse numérique, laplacien discret de f la dérivée seconde discrète selon x + celle selon y , soit :

$\Delta_{discret}f = \frac{[f(x+h,y)+f(x-h,y)-2f(x,y)]+[f(x,y+h)+f(x,y-h)-2f(x,y)]}{h^2}$

Cela est souvent utilisé pour résoudre des problèmes de conduction de la chaleur sur des domaines de frontières assez compliquées, pour lesquels il n'y a pas de solution analytique.

L'écriture est ici en dimension d= 2 ; c'est à dire pour un plan , et elle est écrite en cartésienne. Du coup , on comprend qu'en dimension d = n , il y aura 2n+1 valeurs pour écrire le laplacien discret.

Or ce n'est pas très astucieux : par exemple en dimension d= 2 , au lieu d'un carré entourant le point (x,y), on aurait pu prendre un triangle équilatéral , ce qui économise 1 point de calcul. En d=3 , on réfléchit que le tétraèdre régulier est mieux que le cube (ou l'icosaèdre).

D'une manière générale, les mathématiciens en analyse numérique "optimisent" ce qu'on appelle le maillage des points sur lesquels ils doivent opérer les calculs : cela fait gagner ENORMEMENT de temps. Penser simplement à un problème de Météo : on fait tourner actuellement parmi les plus gros ordinateurs pour avoir le temps disons à 24h près : si l'ordinateur mettait 24h à les faire, ce ne serait guère utile .