Dérivée seconde discrète

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l'opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l'approximation de cette dérivée faite en prenant deux points séparés d'une distance non infinitésimale.

[modifier] Définition

Soit une fonction f de la variable réelle x. On pose δx une quantité supposée « petite ». Alors la dérivée seconde discrète de f en un point x est la fonction :

$D^2 f : x \mapsto \frac{f \left( x + \delta x \right) + f \left ( x - \delta x \right) - 2 f\left( x \right)}{\delta x^2}$

Lorsque $\delta x \to 0$ , on retrouve la dérivée usuelle, définie par la valeur limite du rapport ci-dessus.

[modifier] Exemple

Soit la fonction z définie par :

$z : t \mapsto \frac12 \cdot g \cdot t^2 + V_0 \cdot t + Z_0$

Cette fonction correspond à la position d'un point matériel en chute libre, lancé verticalement à une vitesse V₀ d'une hauteur Z₀.

La dérivée seconde exacte de cette fonction est :

$\ddot z \left( t \right) = g$

La dérivée seconde discrète est :

$D^2 z \left( t \right) = \frac{z \left( t + \delta t \right) + z \left ( t - \delta t \right) - 2 f\left( t \right)}{\delta t^2} = g$

Dans ce cas précis, la dérivée seconde discrète donne un résultat exact — dans la plupart des cas en revanche, et en particulier si la fonction n'est pas assez régulière, une erreur peut s'accumuler et donner des résultats aberrants.