Théorème de Green-Tao
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En mathématiques, le théorème de Green-Tao est un théorème qui affirme que la suite des nombres premiers contient des séquences de suites arithmétiques arbitrairement longues. Autrement dit, pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes de nombres premiers. Ce théorème est nommé ainsi en l'honneur des mathématiciens Ben Green et Terence Tao qui l'ont démontré en 2004.
[modifier] Histoire
Ce théorème montre qu'il existe des suites arbitrairement longues de nombres premiers en progression arithmétique. Le mathématicien russe Tchebychev montra - à la fin du XIXe siècle - le postulat de Bertrand d'après lequel il existe toujours un nombre premier entre un entier et son double : par exemple entre 2 et 4, il y a 3 ; entre 8 et 16, il y a 11 ; entre 100 et 200 il y a 101, 103, etc.
Une progression arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux nombres consécutifs de la suite est constante. On appelle cette constante la raison de la suite. Par exemple 3,5,7,9,11,13 est une suite arithmétique de raison 2. La suite 12,19,26,33,40 est une suite de raison 7. Le mathématicien Legendre, à la fin du XVIIIe siècle avait affirmé que toute suite arithmétique infinie, dont le premier terme n'a pas de diviseur commun avec la raison, contient une infinité de nombres premiers.
Par exemple la suite des nombres impairs 3,5,7,9,11 est une suite de raison 2. Comme 2, et le premier terme de la suite 3, n'ont pas de diviseur commun, il y a une infinité de nombres premiers impairs. Cet exemple n'est pas un bon exemple, car à l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs (les nombres pairs sont divisibles par 2 donc les nombres pairs autres que 2 ne sont pas premiers). Un exemple moins élémentaire est le suivant : la suite 1,4,7,10,13,16,19, ... de raison 3 et de premier terme 4 contient une infinité de nombres premiers. Bien entendu il y a 2 autres suites de raison 3 :
3,6,9,12,15,18 qui est constituée de multiples de 3 et ne contient aucun autre nombre premier (sauf 3)
2,5,8,11,14,17 qui d'après l'assertion de Legendre devrait contenir une infinité de nombres premiers.
La démonstration de ce théorème, due au mathématicien allemand, Lejeune-Dirichlet vers 1840 sera à la base d'une nouvelle discipline : la théorie analytique des nombres. Elle utilise des méthodes pour étudier les fonctions d'une variable complexe, afin d'en tirer des conclusions sur les nombres premiers. Il montre même mieux, par exemple que les deux suites de raison 3 citées plus haut (celle commençant par 2 et celle commençant par 1) contiennent en moyenne autant de nombres premiers l'une que l'autre (pourvue que l'on donne un sens convenable au terme « en moyenne »).
La question résolue par Green et Tao est différente, mais liée : peut on trouver des suites arithmétiques finies, mais de longueur arbitrairement grande, constituées uniquement de nombres premiers ? Par exemple 3,5,7 est une suite arithmétique de longueur 3 (et de raison 2) constituée de nombres premiers.
5,11,17,23,29 est une suite de raison 6 et de longueur 5 ; 7,37,67,97,127,157 est une suite de raison 30 et de longueur 6
La plus longue suite connue est constituée de 23 termes. Pourtant, Green et Tao ont montré que l'on peut trouver de telles suites de longueur aussi grande qu'on le souhaite. Mais ils ne disent pas comment.
La technique utilisée a pour nouvelle source d'inspiration la théorie ergodique, une branche des systèmes dynamiques (ou équations différentielles). La première utilisation de cette méthode date sans doute des travaux de Hillel Furstenberg, qui démontra le théorème de Szemerédi. Ce théorème affirme qu'une suite de densité positive possède des suites arithmétiques de longueur arbitraire. Cependant la suite des nombres premiers n'est pas de densité positive. Le tour de force de Green et Tao est justement d'introduire de nouvelles méthodes permettant de contourner cette difficulté.
