Discuter:Somme directe

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Sommaire

[modifier] Erreurs

Cela fait beaucoup d'erreurs en 4 lignes :

  • Confusion entre intersection vide et intersection réduite à 0
  • Confusion entre réunion et somme de sous-espaces (la "définition" donnée ressemble à celle d'une partition)
  • La caractérisation intersection réduite à 0 des sommes directes n'est valable que pour DEUX sous-espaces
  • Enfin, l'ensemble H n'est certainement pas un sous-espace de \mathbb{R}^2. Vivarés 4 novembre 2005 à 23:24 (CET)
Corrigé et complété. HB 6 novembre 2005 à 16:48 (CET)

[modifier] Problème de vocabulaire

  • La somme de deux (ou plusieurs) sous-espaces F, G... de E existe toujours.
  • Elle peut éventuellement être directe : par exemple, si F, G sont deux droites vectorielles distinctes, dans E = R^3.
  • Qu'elle soit directe ou non, il n'y a aucune raison qu'elle soit égale à E, cf. l'exemple précédent, ou le cas d'un endomorphisme (en dimension finie) admettant au moins une valeur propre : la somme de ses sous-espaces propres est toujours directe, mais est égale à E si et seulement s'il est diagonalisable.
  • Lorsque DEUX sous-espaces de E ont une somme directe, et de plus égale à E, on parle de sous-espaces supplémentaires.

Vivarés 6 novembre 2005 à 19:55 (CET)

[modifier] Suggestion de définition

Je sugggère à HB de prendre comme définition (aussi bien pour 2 sous-espaces que pour k sous-espaces): "la somme F_1 + \cdots + F_k est dite directe si tout élément de cette somme admet (une et) une seule décomposition", et de donner la condition sur les intersections (simple pour k = 2, plus complexe dans le cas général (et dont j'avoue n'avoir jamais eu à me servir pour k ≠ 2)) comme une propriété caractéristique.

Il y a une caractérisation très simple et très utile des sommes directes (valable en dimension finie comme en dimension infinie, et pour un nombre quelconque de sous-espaces) par le fait que la décomposition du vecteur nul est unique, i. e. que la seule façon de décomposer 0 est de l'écrire 0 + ... + 0. On s'en sert (en dimension finie) pour démontrer (par récurrence sur k) que la somme de k sous-espaces propres d'un endomorphisme est directe.

Une autre caractérisation, usuelle en dimension finie (en supposant les sous-espaces tous non nuls), est le fait qu'en juxtaposant des bases de ces sous-espaces, on obtient une base de la somme (j'emploie juxtaposition : on trouve souvent réunion, qui est impropre, les bases n'étant pas des ensembles, mais des familles ; quant à concaténation, c'est plutôt laid). En relation avec ceci, la propriété "dimension de la somme = somme des dimensions" caractérise elle aussi les sommes directes. Vivarés 6 novembre 2005 à 20:50 (CET)

tu sais, je ne suis pas propriétaire de cet article, je cherchais juste à ne pas laisser d'insanité. Tu aurais pu corriger directement l'article: je te fais confiance. S'il faut que je m'y colle :-( OK (dans les prochains jours) , mais pour d'autres modifs n'hésite pas à les faire sans me consulter (si jamais je n'étais pas d'accord, j'en discuterais avec toi). HB 6 novembre 2005 à 23:23 (CET)

[modifier] Somme directe externe

Dans la mesure où dans l'article, tout ce qui précède concerne exclusivement l'algèbre linéaire, je propose de traiter ici uniquement la structure d'espace vectoriel produit, et de renvoyer en remarque finale ce qui concerne l'extension aux groupes, anneaux, modules (je suis prêt à faire cette modification s'il n'y a pas d'opposition). Il serait alors plus indiqué de mettre l'article dans la catégorie "Algèbre linéaire". Vivarés 16:59, 8 novembre 2005 (CET)

Pourquoi pas, tant que l'on conserve une remarque en fin d'article sur l'extension possible aux autres structures. Je pensais aussi ajouter la propriété universelle de la somme directe externe: Pour tout couple (r ;s) d'applications linéaires de F vers E et de G vers E, il existe une unique appplication linéaire t de F \oplus G vers E compatible avec les projections. HB 8 novembre 2005 à 18:57 (CET)