Rotationnel

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Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

L'opérateur rotationnel est un opérateur différentiel aux dérivées partielles qui, à un champ vectoriel $\vec{A}$ , fait correspondre un autre champ noté

$\overrightarrow\operatorname{rot}\ \overrightarrow A$ .

Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant ce point est non nulle. Par exemple :

dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'œil.
le rotationnel du champ des vitesses $\overrightarrow{V(M)} = \overrightarrow{\Omega_0}\wedge \overrightarrow{OM}$ d'un solide qui tourne à vitesse constante $\vec{\Omega_0}$ est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct et vaut simplement $2 \cdot\vec{\Omega_0}$

La notion de rotationnel de la vitesse est essentielle en mécanique des fluides. Elle décrit une rotation de la particule fluide. Si l'écoulement est irrotationnel (son rotationnel est nul en tout point), les vitesses dérivent d'un potentiel. En termes mathématiques, le vecteur vitesse est alors le gradient du potentiel. Si le fluide peut être considéré comme incompressible, la divergence de ce vecteur s'annule. Le laplacien du potentiel est donc nul : il s'agit d'un potentiel harmonique qui satisfait l'équation de Laplace.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Tenseur rotationnel
- 1.2 Vocabulaire
2 Règles de calcul
3 Unité
4 Notes et références
5 Voir aussi

[modifier] Définition

Le rotationnel est un opérateur qui transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs.

Dans un espace à 3 dimensions et en coordonnées cartésiennes (donc en base orthonormée), on peut définir le rotationnel d'un champ $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ par la relation

$\overrightarrow\operatorname{rot}\ \vec F = \vec \nabla \wedge \vec F = \begin{pmatrix} {\partial F_z / \partial y} - {\partial F_y / \partial z} \\ {\partial F_x / \partial z} - {\partial F_z / \partial x}\\ {\partial F_y / \partial x} - {\partial F_x / \partial y} \end{pmatrix}$

où $\nabla$ désigne l'opérateur nabla. L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la notation $\vec\nabla\wedge$ .

Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation, à l'aide d'un déterminant :

$\overrightarrow\operatorname{rot}\ \vec F = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$

où $(\vec i, \vec j, \vec k)$ désigne une base orthonormée. Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées (voir plus bas).

La définition ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit $\vec{F}$ . Pour expliciter cette indépendance on peut préférer une définition qui ne fait pas référence aux coordonnées de $\vec{F}$ dans une base.

Une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante. À partir du champ $\vec{F}$ , on peut construire le champ $\vec{X_0} \wedge \vec{F}$ dont la divergence est une forme linéaire de $\vec{X_0}$ et donc exprimable par un produit scalaire $\vec{K} \cdot \vec{X_0}$ , où $\vec{K}$ est l'opposé du rotationnel de $\vec{F}$ :

$\operatorname{div}\bigl(\vec{X_0} \wedge \vec{F}\bigr) = - \overrightarrow\operatorname{rot}~\vec{F} \cdot \vec{X_0}$

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point^[1].

Le rotationnel d'un champ de vecteurs vrais en un point est un pseudovecteur.

[modifier] Tenseur rotationnel

Étant donné un champ de vecteurs covariants $a i$ dans un espace de dimension quelconque, la dérivée covariante $D j a i = a i; j = a i, j - Γ k i j a k$ est un tenseur. Le tenseur rotationnel, défini comme

$[\operatorname{rot} \; a]_{ij} = a_{i;j} - a_{j;i}$

est par construction un tenseur antisymétrique.

La symétrie $Γ k i j = Γ k j i$ des symboles de Christoffel permet d'écrire le tenseur rotationnel à partir de la dérivée simple : $[rot a] i j = a i, j - a j, i$ .

En dimension 3, le tenseur de Levi-Civita permet de construire le vecteur dual d'un tenseur antisymétrique d'ordre 2. Le rotationnel d'un champ de vecteurs $a$ tridimensionnel est défini comme le dual du tenseur rotationnel :

$\left[\mathrm{rot} \; \mathbf{a}\right]^{\alpha} = \frac{1}{2} *^{\alpha\lambda\mu} \left[\mathrm{rot} \; a\right]_{\lambda\mu}$ .

Partant d'un champ de vecteurs en coordonnées contravariantes $a ν$ , mettant à profit l'antisymétrie du tenseur dualiseur, la nullité de la dérivée covariante du tenseur métrique $γ μν$ ainsi que sa symétrie, on trouve

$\left[\mathrm{rot} \; \mathbf{a}\right]^{\alpha} = *^{\alpha\lambda\mu} \gamma_{\mu\nu} a^{\nu}{}_{;\lambda}$ .

[modifier] Vocabulaire

Un champ vectoriel dont le rotationnel est nul, est un champ irrotationnel.

[modifier] Règles de calcul

Pour toute constante $c\in\R$ , pour tout champ scalaire $u$ et pour tous champs vectoriels $\vec{A}$ et $\vec{B}$ , on a les égalités suivantes :

Linéarité

$\operatorname{rot}(c \cdot\vec{A}) = c\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A}$
$\operatorname{rot}(\vec{A}+\vec{B}) =\operatorname{rot}\,\vec{A}+\operatorname{rot}\,\vec{B}$

Composition

$\operatorname{rot}(u\cdot\vec{A}) = u\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A} + \operatorname{grad}\,u \wedge\vec{A}$
$\operatorname{rot}(\vec{A}\wedge\vec{B}) = \bigl(\vec{B}\cdot\operatorname{grad}\bigr)\vec{A} - \bigl(\vec{A}\cdot\operatorname{grad}\bigr)\vec{B} + \vec{A}\,\operatorname{div}\,\vec{B} - \vec{B}\,\operatorname{div}\,\vec{A}$

$\operatorname{rot}\;\operatorname{grad}\;u=\vec 0$
$\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\,\vec{A}) = \operatorname{grad}(\operatorname{div}\,\vec{A}) - \Delta \vec{A}$ (rotationnel du rotationnel)

En coordonnées cylindriques

$\operatorname{rot}\,\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial \theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{u_r} + \left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{u_\theta} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{u_z}$

En coordonnées sphériques

$\operatorname{rot}\,\vec{A} = \frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right)\vec{u_r} + \left(\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_\varphi)\right)\vec{u_\theta} + \frac{1}{r}\left(\frac{\partial}{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\vec{u_\varphi}$

[modifier] Unité

Dans le cas usuel où $d x$ repésente un élément de longueur, l'unité du rotationnel est alors l'unité du champ considéré divisée par une unité de longueur. ex: l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps, comme une vitesse angulaire.