Nabla
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Article d'analyse vectorielle | |
Objets d'étude | |
Champ vectoriel | Champ scalaire |
Équation aux dérivées partielles | |
de Laplace | de Poisson |
Opérateurs | |
Nabla | Gradient |
Rotationnel | Divergence |
Laplacien scalaire | Bilaplacien |
Laplacien vectoriel | D'alembertien |
Théorèmes | |
de Green | de Stokes |
de Helmholtz | de flux-divergence |
du gradient | du rotationnel |
Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction en analyse qu'une connexion de Koszul en géométrie différentielle. Les deux notions sont évidemment reliées, ce qui explique l'utilisation d'un même symbole. En physique, il est utilisé de manière informelle en dimension 3 pour représenter aisément la divergence (∇·A), le rotationnel (∇×A) et le laplacien vectoriel (ΔA = ∇²A) d'un champ vectoriel A, ainsi que le gradient (∇f) et le laplacien (Δf = ∇²f) d'un champ scalaire f. Ces notions sont fondamentales en physique, notamment en électromagnétisme et en hydrodynamique.
Sommaire |
[modifier] Origine historique
La forme de Nabla vient d'un delta (Δ) renversé, à cause d'une utilisation comparable (calcul différentiel), elle a été introduite par Peter Guthrie Tait en 1867. D'abord surnommé avec malice « atled » (delta à l'envers) par James Maxwell, le nom Nabla lui fut donné par Tait sur l'avis de William Robertson Smith, en 1870, par analogie de forme avec une harpe grecque qui dans l'antiquité portait ce nom.
[modifier] Utilisation en analyse vectorielle
Ceci est une liste de quelques formules d'analyse vectorielle d'emploi général en travaillant avec plusieurs systèmes de coordonnées.
Opération | Coordonnées cartésiennes (x,y,z) | Coordonnées cylindriques (ρ,ф,z) | Coordonnées sphériques (r,θ,ф) |
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Définition des coordonnées |
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Règles de calcul non évidentes:
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Attention à l'utilisation de ces opérateurs : il ne s'agit pas de produits scalaires, mais bien d'applications, malgré la notation . Le résultat est le même pour les coordonnées cartésiennes, mais devient faux pour les coordonnées curvilignes.