Gradient

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Les lignes bleues représentent le gradient de couleur du plus clair vers le plus foncé

En physique, en analyse vectorielle, on définit le gradient comme une grandeur vectorielle qui indique de quelle façon une grandeur physique varie dans l'espace. En mathématiques, le gradient est une quantité représentant la variation d'une fonction dépendant de plusieurs paramètres par rapport à la variation de ces différents paramètres.

Il est courant, selon la façon de noter des vecteurs, d'écrire le gradient d'une fonction $f$ ainsi :

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}~f$ ou $\overrightarrow{\nabla} f$

Souvent, en typographie, on préfère mettre un caractère en gras pour afficher son caractère vectoriel :

$\mathbf{grad}~f$ ou $\mathbf{\nabla f}$ .

Le gradient est d'une importance capitale en physique, où il fut d'abord employé. Il peut être intéressant d'en voir certains exemples avant une définition plus mathématique.

Article d'analyse vectorielle

Objets d'étude
Champ vectoriel	Champ scalaire
Équation aux dérivées partielles
de Laplace	de Poisson
Opérateurs
Nabla	Gradient
Rotationnel	Divergence
Laplacien scalaire	Bilaplacien
Laplacien vectoriel	D'alembertien
Théorèmes
de Green	de Stokes
de Helmholtz	de flux-divergence
du gradient	du rotationnel

Sommaire

1 Le gradient de température
- 1.1 Gradient dans une seule direction
- 1.2 Gradient de température dans trois directions différentes
2 Introduction par les éléments différentiels
3 Définition mathématique
- 3.1 Gradient d'une fonction de n variables
- 3.2 Définition plus générale
4 Relations vectorielles
5 Voir aussi
6 Références

[modifier] Le gradient de température

Article détaillé : Gradient thermique adiabatique.

[modifier] Gradient dans une seule direction

Imaginons que nous mesurions la température d'un solide, d'un liquide, d'un gaz dans une seule direction (hauteur, longueur, épaisseur). Il s'avère que la température $T$ dépend de l'endroit $x$ où elle est prise. On définit alors une fonction $T (x)$ . On peut chercher , pour une petite variation de $x$ ( $d x$ ), quelle serait la variation de température (dT). Celle ci s'écrit $d T = T (x + d x) - T (x)$ .

Si on cherche à quelle variation moyenne cela correspond, il faut calculer

$\frac{\mathrm dT}{\mathrm dx} = \frac{T(x + \mathrm dx) - T(x)}{\mathrm dx}$ .

C'est ce qu'on appelle communément le gradient de température.

De manière très pragmatique, on peut imaginer que la température est une fonction linéaire du déplacement, alors le gradient de température devient tout simplement la variation moyenne de température en fonction du lieu

$\frac{\Delta T}{\Delta x}$

Mais certains reconnaitront là le taux d'accroissement de la température $T$ en fonction du lieu et pourront remarquer que, pour $d x$ « très petit », ce quotient se rapproche de la dérivée de la température en fonction du lieu, dérivée notée en mathématique $T'(x)$ et en physique $\tfrac{\mathrm dT}{\mathrm dx}$ . On appelle alors gradient de température cette dérivée.

[modifier] Gradient de température dans trois directions différentes

En réalité, la température varie en fonction d'un déplacement dans l'espace donc en fonction de $x, y$ et $z$ . Il s'agit alors d'une fonction $T$ dépendant de trois variables $x, y, z$ . Un déplacement dans une des trois directions, induit une variation de température que l'on peut comme précédemment, quantifier par

$\frac{\partial T}{\partial x}$ , $\frac{\partial T}{\partial y}$ , $\frac{\partial T}{\partial z}$ .

On crée alors un vecteur

$\overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) =\overrightarrow{ \nabla}(T)= \left(\frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z}\right)$

de nouveau appelé gradient de température.

Bilan : nous étions partis d'une fonction de $\R^3$ dans $\R$ et nous aboutissons à une fonction vectorielle de $\R^3$ dans $\R ^3$ .

Connaissant la température à l'endroit $(x 0, y 0, z 0)$ , il est possible de déterminer la température en un point $(x 0 + d x, y 0 + d y, z 0 + d z)$

$T(x_0+\mathrm dx , y_0+\mathrm dy , z_0+\mathrm dz) = T(x_0,y_0,z_0) + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dx}.\mathrm dx + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dy}.\mathrm dy + \frac{\mathrm dT}{\mathrm dz}.\mathrm dz$

En écriture condensée, cela donne

$T(\vec{r_{0}}+\mathrm d\vec{r}) = T(\vec{r_{0}}) + \overrightarrow{\mathrm{grad}}(T) (\vec{r_0})\cdot \mathrm d\vec{r}$

où le point représente le produit scalaire des deux vecteurs

[modifier] Introduction par les éléments différentiels

Comme pour la différentielle dont il est une variante, le gradient peut être introduit avec le vocabulaire des éléments différentiels. À titre d'exemple on examine le problème de la variation de l'aire d'un rectangle.

Considérons dans le plan $(x O y)$ un rectangle de côté $x$ et $y$ . Sa surface est égale à $x y$ et dépend des coordonnées $x$ et $y$ du point $M$ . En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par $d x$ une très petite variation de la variable $x$ . Lorsqu'on fait subir au point $M$ un déplacement très faible, la surface va changer et on peut écrire que :

$S+\mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot(y+\mathrm dy)=x\cdot y +x\cdot \mathrm dy+y\cdot \mathrm dx + \mathrm dx\cdot \mathrm dy$

On en déduit facilement que

$\mathrm dS= y\cdot \mathrm dx+x\cdot \mathrm dy+\mathrm dx\cdot \mathrm dy$

Une simple application numérique où $x$ et $y$ seraient des mètres et $d x$ et $d y$ des centimètres illustre que $d x .d y$ est négligeable par rapport aux autres grandeurs

On peut donner un statut mathématique précis aux notations $d x$ et $d y$ (qui sont des formes différentielles), et à la quantité $d x .d y$ qui est alors du second ordre. Le calcul précédent est en fait un calcul de développement limité à l'ordre 1, faisant intervenir les dérivées premières de la fonction $x y$ par rapport aux deux variables.

On écrit donc:

$\mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot (y+\mathrm dy)-x\cdot y =y\cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy = (y,x)\cdot(\mathrm dx,\mathrm dy)=\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}$

$\overrightarrow\nabla S\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}= (y\vec i +x \vec j )\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)=\left(\frac{\partial(xy)}{\partial x}\vec i +\frac{\partial(xy)}{\partial y}\vec j \right)\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)$

Toutes ces égalités sont différentes façons d'écrire... un produit scalaire de deux vecteurs :

$\mathrm dS=(x+\mathrm dx)\cdot (y+\mathrm dy)-x\cdot y =y\cdot \mathrm dx + x\cdot \mathrm dy =\mathrm {\overrightarrow{\mathrm{grad}}} (xy) \cdot \overrightarrow{\mathrm dOM} = \overrightarrow\nabla (xy )\cdot\overrightarrow{\mathrm dOM}$ où $\overrightarrow{\mathrm{grad}}(xy)=(y,x)$

L'intérêt de l'introduction de ces vecteurs pour exprimer la variation d'une fonction de plusieurs paramètres est de visualiser le fait que la fonction va varier le plus dans la direction du vecteur gradient et qu'elle ne va pas varier pour tout changement des paramètres dans une direction perpendiculaire au gradient.

$(y\vec i +x \vec j )\cdot (\mathrm dx\vec i+ \mathrm dy \vec j)=0$ pour :

y d x + x d y = 0

dans notre exemple du rectangle.

tracé du gradient de surface et d'une courbe d'isosurface

Ceci donnera en électrostatique les courbes de même potentiel : les « équipotentielles ».

[modifier] Définition mathématique

[modifier] Gradient d'une fonction de $n$ variables

Soit $U$ un ouvert de $\R^n$ . Soit $f : U \to \R$ une fonction différentiable. Soit $a \in U$ , alors la différentielle en $a$ , $\mathrm df \left( a \right)$ , est une forme linéaire sur $\R^n$ .

Le gradient en $a$ de $f$ est alors l'unique élément de $\R^n$ , noté $\nabla f$ tel que :

$\forall \vec{h} \in \R^n \qquad \mathrm df ( a ) \bigl( \vec{h} \bigr) = \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)$ .

Ici, (•|•) désigne le produit scalaire.

Ainsi, le gradient de $f$ au point $a$ peut être écrit, dans la base canonique, sous la forme :

$\overrightarrow{\mathrm{grad}} f = \vec\nabla f = \begin{pmatrix} \frac{\partial f }{\partial x_1}\left( a \right) \\ \vdots \\ \frac{\partial f }{\partial x_p}\left( a \right) \end{pmatrix}.$

Lors d'un changement de base, au travers d'un $C 1$ -difféomorphisme de $\R^n$ , l'expression du gradient est modifiée : par exemple si on utilise

les coordonnées cylindriques

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z}$

les coordonnées sphériques

$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial r}\mathbf{e}_r + \frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\mathbf{e}_{\theta} + \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi}$

[modifier] Définition plus générale

Plus généralement, si $E$ est un espace euclidien et $f$ une fonction différentiable sur un ouvert de $E$ , à valeurs réelles, on peut définir le gradient par la formule

$\forall \vec{h} \in E \qquad \mathrm df (a) \bigl( \vec{h} \bigr) = \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)$ ,

puisque toute forme linéaire sur $E$ peut être considérée comme l'application de produit scalaire par un vecteur de $E$ .

On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une variété riemannienne $(M, g)$ . Le gradient de $f$ en $a$ est alors un vecteur tangent à la variété en $a$ , défini par

$\forall \vec{h} \in T_aM \qquad \mathrm df (a) \bigl( \vec{h} \bigr) =g \bigl( \nabla f \big| \vec{h} \bigr)$ .

Enfin, si $f$ est un champ scalaire indépendant du système de coordonnées, c'est un tenseur d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa dérivée covariante : $(\nabla f)_i = \partial_i f = f_{,i} = f_{;i}$ . En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de $f$ :

$(\nabla f)^i = g^{ij}~f_{;j}$

Cette formule permet, une fois établi le tenseur métrique, de calculer facilement le gradient dans un système de coordonnées quelconque.

[modifier] Relations vectorielles

En analyse vectorielle, le gradient peut être combiné à d'autres opérateurs. Soit $f$ une fonction décrivant un champ scalaire, que l'on suppose de classe $C 2$ par rapport à chaque paramètre, alors :

$\frac{ \partial }{\partial t} \left( \nabla f \right) = \nabla \frac{ \partial f }{\partial t}$ ;

$\mathrm{\mathrm div} \left( \overrightarrow{\mathrm{grad}} f \right) = \Delta f$ ;

$\overrightarrow{\mathrm{grad}} \left( \mathrm{\mathrm div} f \right) = \overrightarrow{\mathrm{rot}} \left( \overrightarrow{\mathrm{rot}} f \right) + \Delta f$ ;

[modifier] Voir aussi

Voir « gradient » sur le Wiktionnaire.

[modifier] Références

(en) Fundamentals of Differential Geometry, Serge Lang, Springer
(en) Elementary Differential Geometry, Revised 2nd Edition, Second Edition, Barrett O'Neill

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Catégorie : Analyse vectorielle

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