Primalité dans un anneau

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Sommaire

1 Introduction
2 Éléments premiers entre eux et élément irréductible
3 Éléments premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles) et élément premier
4 Éléments étrangers et élément extrémal
5 Propriétés

[modifier] Introduction

Dans l'anneau des entiers, il existe différentes caractérisations des nombres premiers et des nombres premiers entre eux qui, dans un anneau quelconque, conduisent à des notions différentes.

Dans la suite, $A$ est un anneau commutatif unitaire intègre, $a$ et $b$ sont deux éléments ≠ 0 de $A$ , et $p$ est un élément non nul et non inversible de $A$ . La notation $(a)$ désigne l'idéal principal engendré par $a$ .

[modifier] Éléments premiers entre eux et élément irréductible

On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou que $a$ est premier avec $b$ si tout diviseur commun à $a$ et $b$ est inversible, ce qui s'écrit plus simplement :

PGCD(a,b)=1

Condition équivalente : $(a) + (b)$ n’est inclus dans aucun idéal principal propre de $A$ .

Probablement par influence des polynômes, la propriété $P$ définie par " $p$ a la propriété $P$ s'il est premier avec tout élément qu'il ne divise pas" ne conduit pas à la notion d'élément premier, mais à celle d'élément irréductible :

On dit que $p$ est irréductible si les seuls diviseurs de $p$ sont les inversibles ou les éléments associés à $p$ (i.e. $p = a b$ ssi $a$ ou $b$ inversible).

Condition équivalente : $(p)$ est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de $A$ .

Proposition: Dans un anneau intègre, tout élément p premier est irréductible.

[modifier] Éléments premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles) et élément premier

On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux au sens de Gauss (ou indissolubles entre eux) si pour tout élément $x$ de $A$ ,

a

divise

b x

, alors

a

divise

x

Conditions équivalentes :

$a$ est simplifiable dans l'anneau $A / (b)$
$a$ n’est pas un diviseur de 0 dans $A / (b)$
un élément de $A$ multiple de $a$ et $b$ est multiple de $a b$
$a b = P P C M (a, b)$

La définition correspondante est alors :

$p$ est dit premier (ou indissoluble) si lorsque $p$ divise un produit d’éléments de $A$ , il divise l’un des termes.

Conditions équivalentes :

$A / (p)$ est intègre
$(p)$ est un idéal premier de $A$

[modifier] Éléments étrangers et élément extrémal

La notion d'éléments étrangers correspond à la caractérisation des nombres premiers entre eux par le théorème de Bézout.

On dit que $a$ et $b$ sont étrangers s'il existe $u$ et $v$ de $A$ tels que $a u + b v = 1$ , condition qui s'écrit plus simplement sous la forme

(a) + (b) = A

On remarquera alors que, quand l'anneau est unitaire, 1 est étranger à lui même.

La définition correspondante est alors :

On dit que $p$ est extrémal si $(p)$ est un idéal maximal de A

Condition équivalente : tout élément de $A$ non multiple de $p$ est inversible modulo $p$ , ce qui équivaut à l'importante propriété :

A / (p)

est un corps".

[modifier] Propriétés

$p$ est (irréductible, premier, extrémal) ssi $p$ est (premier, indissoluble, étranger) avec tout élément de $A$ qu’il ne divise pas.

étrangers => indissolubles entre eux => premiers entre eux.
Les réciproques sont fausses :
Dans $K [X, Y]$ , $X$ et $Y$ sont indissolubles entre eux mais pas étrangers.
Dans $A =$ { $P \in K[X,Y]$ / $P$ est formé de monômes de degré total pair}, $X Y$ et $X 2$ sont premiers entre eux mais pas indissolubles entre eux (car $X Y$ divise $X 2 Y 2$ mais pas $Y 2$ ).

extrémal => premier => irréductible.
Les réciproques sont fausses :
Dans $K [X, Y]$ , $X$ est premier non extrémal.
Dans $A$ défini ci-dessus, $X Y$ est irréductible mais non premier (il divise $X 2 Y 2$ mais ni $X 2$ , ni $Y 2$ ).

Dans un anneau de Gauss (anneau où tout couple d'éléments possède un PGCD), et donc en particulier dans un anneau factoriel, premiers entre eux équivaut à indissolubles entre eux (donc irréductible équivaut à premier).

Dans un anneau de Bézout (anneau commutatif unitaire intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal), et donc en particulier dans un anneau principal (comme $\mathbb{Z}$ ou $K [X]$ ), les trois notions (étrangers, indissolubles entre eux, premiers entre eux) sont équivalentes (donc irréductible équivaut à premier équivaut à extrémal).