Idéal principal

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En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un unique élément.

Sommaire

1 Définition
2 Exemples
3 Anneau principal
4 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit $A$ un anneau. Soit $I$ un idéal de $A$ .

$I$ est dit principal à gauche s'il existe un élément $a\in I$ tel que, pour tout $x\in I$ , il existe un élément $y\in A$ tel que $x = y . a$ : $I=\{x.a|x\in A\}$ . On note $I = A a$ .
$I$ est dit principal à droite s'il existe un élément $a\in I$ tel que, pour tout $x\in I$ , il existe un élément $y\in A$ tel que $x = a . y$ : $I=\{a.x|x\in A\}$ On note $I = a A$ .

$I$ est dit principal s'il est principal à la fois à gauche et à droite (ce qui est toujours le cas si A est commutatif). Dans ce cas, on peut noter $I = a$ et $I$ est forcément le plus petit idéal contenant $a$ .

[modifier] Exemples

Pour tout entier relatif $k$ , $k\mathbb Z=\{k.x|x\in\mathbb Z\}$ est un idéal principal de $\mathbb Z$ .

Un idéal n'est pas forcément principal. Par exemple, si $A=\mathbb C[X,Y]$ , l'anneau commutatif des polynômes à deux variables à coefficients complexes, l'ensemble des polynômes ayant un terme constant nul, noté $(X, Y)$ car engendré par ces deux variables, est un idéal de $\mathbb C[X,Y]$ , mais il n'est pas principal : si $P$ engendrait $(X, Y)$ , $X$ et $Y$ seraient divisibles par $P$ , ce qui est impossible, sauf si $P$ est un polynôme constant non-nul, ce qui est contradictoire.