Polygone régulier

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Pentagone régulier

Un polygone régulier est un polygone simple (un polygone qui ne se coupe pas lui-même dans un endroit quelconque) qui est équiangulaire (tous les angles sont égaux) et équilatéral (tous les côtés ont la même longueur).

Tous les polygones réguliers avec le même nombre de cotés sont similaires.

Digone régulier : dégénéré, un "double segment"
Triangle équilatéral (3 côtés)
Carré (4 côtés)
Pentagone régulier (5 côtés)
Hexagone régulier (6 côtés)
Heptagone régulier (7 côtés)
Octogone régulier (8 côtés)
Ennéagone régulier (9 côtés)
Décagone régulier (10 côtés)
Dodécagone régulier (12 côtés)

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront réguliers. Dans de telles circonstances, il est d'usage d'enlever le préfixe régulier. Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être réguliers et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone...

De tels polygones sont le support des nombres polygonaux.

[modifier] Autre définition

Si on se donne deux points O et A, un nombre entier n supérieur ou égal à 3, alors les images successives de A par des rotations de centre O et d'angles $\frac{360}{n}^\circ$ génèrent les sommets d'un polygone régulier à n côtés et centre O.

[modifier] Propriété

Chaque angle d'un n-gone régulier a une mesure de $(1-\frac{2}{n})\times 180$ (ou également de $(n-2)\times \frac{180}{n}$ ) degrés.

Alternativement, les angles internes d'un n-gone régulier sont de $\frac{(n-2)\pi}{n}$ radians (ou de $\frac{(n-2)}{2n}$ tours).

Tous les sommets d'un polygone régulier sont placés sur un cercle commun, i.e., ce sont des points cocycliques, i.e., chaque polygone régulier a un cercle circonscrit.

Un polygone régulier à n-côtés peut être construit avec le compas et la règle si et seulement si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers de Fermat distincts.

Article détaillé : Théorème de Gauss-Wantzel.

Pour $n > 2$ , le nombre de diagonales est $\frac{n (n-3)}{2}$ , i.e., 0, 2, 5, 9, ... Elles divisent le polygone en 1, 4, 11, 24, ... morceaux.

[modifier] Aire

Apothème d'un hexagone

L'aire d'un polygone régulier à n côté est :

$A=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}$

où t est la longueur d'un côté. Cette aire est aussi égale à la moitié du périmètre multiplié par la longueur de l'apothème (le segment du centre du polygone et perpendiculaire au côté).

Pour t=1, ceci donne

${\frac{n}{4}} \cot(\pi/n)$

avec les valeurs suivantes :

Cotés	Nom	Aire exacte	Aire approximative
3	Triangle équilatéral	$\frac{\sqrt{3}}{4}$	0,433
4	Carré	1	1,000
5	Pentagone régulier	$\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}$	1,720
6	Hexagone régulier	$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$	2,598
7	Heptagone régulier		3,634
8	Octogone régulier	$2 + 2 \sqrt{2}$	4,828
9	Ennéagone régulier		6,182
10	Décagone régulier	$\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}$	7,694
11	Hendécagone régulier		9,366
12	Dodécagone régulier	$6+3\sqrt{3}$	11,196
13	Triskaidécagone régulier		13,186
14	Tétradécagone régulier		15,335
15	Pentadécagone régulier		17,642
16	Hexadécagone régulier		20,109
17	Heptadécagone régulier		22,735
18	Octadécagone régulier		25,521
19	Ennéadécagone		28,465
20	Icosagone		31,569
100	Hectagone		795,513
1 000	Chiliagone		79577,210
10 000	Myriagone		7957746,893

Les quantités de ces aires sont moindres que celles des cercles avec le même périmètre, sont égales (arrondi) à 0,26, pour n<8 par excès (les quantités décroissent avec n croissant vers la limite π/12).

[modifier] Symétrie

Le groupe de symétrie d'un polyèdre régulier à n-cotés est le groupe dièdrique D_n (d'ordre 2n) : D₂, D₃, D₄,... Il est constitué des rotations dans C_n (le groupe de symétrie rotationnelle d'ordre n), avec les symétries de réflexion par n axes qui passent à travers le centre. Si n est pair, alors la moitié de ces axes passent à travers deux sommets opposés, et l'autre moitié à travers le milieu des côtés opposés. Si n est impair, alors tous les axes passent à travers un sommet et le milieu du côté opposé.

[modifier] Polygones réguliers non-convexes

Un pentagramme

Une catégorie étendue de polygones réguliers incluent les polygones étoilés, par exemple un pentagramme, qui a les mêmes sommets qu'un pentagone, mais qui est connecté par des sommets alternés.

Exemples :

Pentagramme - {5/2}
Heptagramme - {7/2}, {7/3}
Octogramme - {8/3}
Ennéagramme - {9/2}, {9/4}
Décagramme - {10/3}

[modifier] Polyèdres

Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour pour chaque paire de sommet, il existe une isométrie appliquant un sur l'autre.

[modifier] Voir aussi

Pavage par les polygones réguliers

[modifier] Liens externes

Description de polygone régulier avec une animation interactive
Cercle inscrit d'un polygone régulier avec une animation interactive
Aire d'un polygone régulier Trois formules différentes, avec une animation interactive

Polygones
Triangle · Quadrilatère · Pentagone · Hexagone · Heptagone · Octogone · Ennéagone · Décagone · Hendécagone · Dodécagone · Tridécagone Tétradécagone Pentadécagone Hexadécagone Heptadécagone Octadécagone Ennéadécagone Icosagone Triacontagone Tétracontagone Pentacontagone Hectogone Chiliagone Myriagone