Théorème de Krull
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En algèbre commutative, le théorème de Krull est un résultat fondamental[réf. nécessaire] établissant l'existence d'idéaux maximaux pour les anneaux commutatifs. Son énoncé est équivalent à l'axiome du choix. En 1929, le mathématicien allemand Wolfgang Krull (16 aout 1899 - 12 avril 1971) l'a démontré en admettant le lemme de Zorn[1].
[modifier] Énoncé du théorème de Krull
Les anneaux commutatifs sont les objets d'étude de l'algèbre commutative. La définition est supposée connue. Un idéal I d'un anneau commutatif A est un sous-groupe additif I de A stable par multiplication extérieure par les éléments de A. Le théorème de Krull s'énonce :
- Tout idéal d'un anneau commutatif non réduit à 0 est inclus dans un idéal maximal (pour l'inclusion).
La démonstration est une application immédiate du lemme de Zorn. En particulier, tout anneau commutatif non réduit à 0 possède au moins un idéal maximal, a fortiori au moins un idéal premier.
[modifier] Conséquences
Soit A un anneau commutatif non réduit à 0.
- Le spectre de A n'est pas vide.
- Le nilradical de A est l'intersection des idéaux premiers de A; plus généralement, le radical de tout idéal propre de A (i.e. distinct de A) est l'intersection des idéaux premiers qui le contiennent.
- Le théorème de Krull permet de construire une clôture algébrique d'un corps commutatif (des constructions alternatives se basent sur le théorème de Zermelo, équivalent au lemme de Zorn).
[modifier] Notes et références
- ↑ W. Krull, Die Idealtheorie in Ringen ohne Endlicheitsbedingungen, Mathematische Annalen 10 (1929), 729–744.