Ensemble inductif
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En un sens précisé ci-dessous, un ensemble partiellement ordonné est inductif si toute partie « au moins totalement ordonnée » admet un « majorant ou mieux ». Les candidats usuels pour préciser « au moins totalement ordonnée » sont
tandis que ceux pour « majorant ou mieux » sont
- 3) majorant
- 4) borne supérieure
d'où quatre définitions voisines mais distinctes, la moins restrictive correspondant à (2,3) et la plus restrictive à (1,4). Comme l'acception de loin la plus courante correspond au cas du couple (1,3), nous prenons comme définition
- Un ensemble inductif est un ensemble partiellement ordonné où toute chaîne (partie totalement ordonnée) admet un majorant.
De temps à autre c'est la définition la plus restrictive qui est utile, d'où la définition
- Un ensemble inductif est dit strict si et seulement si toute chaîne non vide admet une borne supérieure.
Enfin, c'est la définition la moins restrictive qui donne le meilleur énoncé du lemme de Zorn.
Exemples :
- L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de l'inclusion est un ensemble inductif : en effet, E majore toutes ses parties.
- En informatique théorique, les CPO sont des ensembles inductifs stricts.
Voir aussi :
