Groupe de Heisenberg

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En géométrie différentielle, le groupe de Heisenberg, nommée en faveur de Werner Heisenberg, est le groupe de Lie réel de dimension 3, sous-groupe de $G L 3 (R)$ des matrices de la forme :

$\begin{pmatrix} 1 & a & c\\ 0 & 1 & b\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}. a,b,c\in R$

Il est usuellement noté $H 3 (R)$ .

[modifier] Structure de groupe

$H 3 (R)$ est un groupe de Lie nilpotent.

Il admet un réseau: le groupe de Heisenberg discret, noté $H 3 (Z)$ . C'est le groupe des matrices de la forme :

$\begin{pmatrix} 1 & m & n\\ 0 & 1 & p\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}\quad m,n,p\in Z$

Ce groupe $H 3 (Z)$ est un groupe nilpotent non abélien engendré par deux générateurs, à savoir :

$x= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} ,\quad y= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}$

et les relations $z = x y x - 1 y - 1$ , $x z = z x$ , et $y z = z y$ . L'élément z s'écrit :

$z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.$

Par le théorème de Bass, il a une croissance polynomiale d'ordre 4.

[modifier] Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, un groupe de Heisenberg peut être construit à partir d'un espace vectoriel symplectique $(V,ω)$ ( $ω$ est une forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée sur $V$ . Le groupe de Heisenberg $H (V)$ est l'espace topologique $V\times R$ muni de la loi de groupe :

$(v_1,t_1)*(v_2,t_2)=(v_1+v_2,t_1+t_2+\frac{1}{2}\omega(v_1,v_2))$

Le groupe de Heisenberg est une extension du groupe additif $V$ . L'algèbre de Lie du groupe de Heisenberg est l'espace vectoriel $h(V)=V\oplus R$ , muni du crochet de Lie :