Groupe des unités

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En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, le groupe des unités est une notion de la théorie des anneaux. Il est constitué de l'ensemble des éléments de l'anneau ayant un inverse pour la deuxième loi. On l'appelle parfois groupe des inversibles.

Le groupe des unités est largement utilisé dans toute la théorie des anneaux. Dans le cas particulier de l'anneau des entiers algébriques d'un corps de nombres algébriques, ce groupe a une structure bien connue, grâce au théorème des unités de Dirichlet. Il fait partie, comme le groupe des classes, des invariants importants des corps de nombres, et intervient souvent dans leur étude, notamment en cohomologie galoisienne.

Sommaire

1 Motivation
2 Définitions
3 Démonstrations et propriété fondamentale
4 Exemples

[modifier] Motivation

Les propriétés d'un élément a d'un anneau dépendent souvent de l'idéal principal aA associé à cet élément.

Des exemples sont donnés par les notions d'élément irréductible ou d'élément premier. Les notions de pgcd ou ppcm sont aussi définies à partir d'un idéal. Or si b est un autre élément de l'anneau tel qu'il existe un élément inversible u vérifiant a = ub, l'élément b engendre le même idéal que a.A. En conséquence si a est premier, alors b l'est aussi.

Par exemple, le polynôme à coefficients dans l'ensemble des nombre rationnels X² + 1 divise X⁴ - 1, il en est de même pour 2.X² + 2. Ces polynômes sont tous deux irréductibles, et donc peuvent faire partie de la décomposition en facteurs premiers de X⁴ - 1. L'unicité de la décomposition en facteurs premiers ne peut être assurée que si l'on associe les deux polynômes pour ne les considérer que comme un unique représentant.

Dans la mesure du possible, on utilise un unique représentant d'une classe d'éléments associés. Par exemple pour les polynômes on ajoutera la condition unitaire pour définir un polynôme irréductible (c’est-à-dire que son monôme dominant est égal à un). Pour Z l'ensemble des entiers relatifs, un nombre est dit premier s'il est positif, on ne considère jamais le représentant négatif, même s'il existe toujours.

[modifier] Définitions

Un élément est dit inversible si, par définition il admet un inverse pour la multiplication. On parle aussi d'unité de l'anneau.
L'ensemble des éléments inversibles d'un anneau est appelé groupe des unités ou groupe des inversibles.
Il existe une relation d'équivalence appelée relation d'association définie par : Si x et y sont deux éléments de l'anneau, x est en relation avec y et l'on dit x est associé à y si, il existe un élément u du groupe de l'unité tel que x = uy.
Il existe relation appelée relation de division définie par : Si x et y sont deux éléments de l'anneau x est en relation avec y et l'on dit x divise y si, il existe un élément a de l'anneau tel que y = ax. Cette relation est compatible avec la relation d'équivalence précédente et le quotient de l'anneau par la relation est associé à est une relation d'ordre.

[modifier] Démonstrations et propriété fondamentale

L'ensemble des unités est stable pour la multiplication, en effet si x et y sont des unités, alors y^-1x^-1 est l'inverse de xy. L'associativité de la multiplication est garantie par les propriétés de l'anneau et l'existence d'un élément neutre par le fait que l'anneau est choisi unitaire. Il ne reste plus qu'à vérifier que chaque élément possède un inverse, ce qui est le cas par définition d'une unité.

La relation est associé à est reflexive car si x est un élément de l'anneau x = 1x, elle est symétrique car si y est un élément de l'anneau et u une unité tel que x = u. y, alors y = u^-1.x (l'anneau est supposé commutatif), enfin elle est transitive car si x, y et z sont des éléments de l'anneau tel qu'il existe u et v dans le groupe des unités avec x = u.y et y = vz, alors x = uv z et uv est inversible. Elle est donc une relation d'équivalence.

Soit x et y deux éléments de l'anneau, si x est associé à y alors x divise y et y divise x, la relation d'association est bien compatible avec la relation de division. De plus si x divise y et si y divise x alors il existe deux unités u et v tel que y = ux et x = vy ce qui montre que x = uvx. Comme l'anneau est intègre uv est égal à 1 et u et v sont des unités, en conclusion x est associé à y, ce qui montre que la relation de division sur le quotient de l'anneau est antisymétrique. Enfin si x divise y et si y divise z alors il existe a et b éléments de l'anneau tel que y = ax et z = by donc z = abx et la relation est transitive. En conclusion la relation de divisibilité est une relation d'ordre sur le quotient de l'anneau par la relation d'association.

L'application du quotient de l'anneau par la relation d'association, muni de la relation de divisibilité dans l'ensemble des idéaux de l'anneau muni de la relation d'ordre contient est un isomorphisme.

Cette proposition signifie deux propriétés : a et b, deux éléments de l'anneau engendrent le même idéal si, et seulement si, a et b sont associés, de plus aA contient bA si, et seulement si, a divise b.

[modifier] Exemples

[modifier] Entier relatif

Article détaillé : Entier relatif.

Le groupe des unités pour l'anneau des entiers relatifs est composé des deux éléments 1 et -1. L'anneau est principal, donc tout idéal non nul admet exactement deux antécédents par l'application qui à un élément a associe a.Z. Les deux antécédents sont a et -a.

Pour éviter l'ambiguïté, on ne parle donc que du représentant positif. Ainsi un nombre premier (comme l'anneau est principal, la notion d'irréductibilité et celle de primalité sont confondus et on ne parle en général que nombre premier) dans Z est par convention toujours positif, un pgcd ou un ppmc sont aussi par définition toujours positifs. Ce choix permet d'obtenir sans ambiguïté une décomposition en facteurs premiers unique à une permutation près, à la différence du cas des entiers positifs, la décomposition contient en plus un facteur choisi dans le groupe des unités, soit 1 soit -1.

[modifier] Polynôme

Article détaillé : Polynôme.

Dans le cas où les coefficients du polynôme sont dans un corps K, alors le groupe des unités est égal à K*, aucune convention analogue au cas précédent ne lève l'ambiguïté.

Comme précédemment, l'anneau est principal, les notions de polynôme élément premier et élément irréductible sont encore confondues. La tradition impose d'utiliser le terme d'irréductible. Un polynôme est dit irréductible si, et seulement si, toute décomposition en deux facteurs contient une unité et s'il n'est pas constant.

Cependant toute classe d'équivalence de la relation d'association contient un unique polynôme unitaire, c’est-à-dire un polynôme dont le monôme dominant est égal à 1. Ainsi, on appelle en général ppmc et pgcd le polynôme unitaire générateur de l'idéal, ainsi l'unicité est encore présente. De même, le théorème de la décomposition en facteurs premiers est en général exprimé en terme de polynôme unitaire irréductible et l'unicité à l'ordre des éléments près est rétablie. Cette décomposition contient un facteur supplémentaire élément de K*.

Dans le cas ou les coefficients du polynôme sont choisi dans Z, alors le groupe de l'unité est égal à {1, -1}. Il est d'usage de prendre une convention analogue au cas des entiers relatifs. Ainsi le polynôme irréductible d'une décomposition en facteur premier, un ppmc ou un pgcd est choisi avec un monôme dominant positif. Cette convention n'est pas générale.

Dans le cas ou le polynôme est à coefficients dans un anneau quelconque, alors aucune convention ne normalise un représentant canonique d'une classe d'association.

[modifier] Entier de Gauss

Article détaillé : Entier de Gauss.

Les entiers de Gauss forment un anneau euclidien, donc principal. On parle indifféremment de nombre premier de Gauss ou d'entier irréductible. Le groupe des unités contient quatre éléments {1,-1,i,-i}. Aucune convention particulière n'est prise.

Ainsi un entier de Gauss et dit irréductible si, et seulement si toute division en deux facteurs contient une unité et qu'il n'est pas élément du groupe des unités. 3, -3, 3i et -3i sont appelés nombres premiers de Gauss. Si a et b sont deux entiers de Gauss, alors il existe quatre représentants pour les pgcd et les ppmc.

L'unicité de la décomposition en facteurs premiers s'exprime aux facteurs du groupe de l'unité près.

[modifier] Entier algébrique

Article détaillé : Entier algébrique.

Dans le cas général, les entiers algébriques ne disposent que d'une structure d'anneau de Dedekind, l'anneau n'est ni euclidien ni principal ni même factoriel. L'ambiguïté est donc de peu de conséquences et tout représentant (quand il existe) d'un l'idéal est réputé posséder les propriétés de l'idéal. Ainsi un entier algébrique est irréductible si, et seulement si, son idéal l'est, indépendamment de son représentant dans la classe d'association.

Le théorème des unités de Dirichlet montre l'existence de plusieurs éléments inversibles dans la plupart des anneaux d'entiers algébriques. L'égalité (√5 + 2)(√5 − 2) = 1 est un exemple.

Dans le cas d'un anneau local, ce groupe est facile à décrire : c'est très exactement le complémentaire de l'unique idéal maximal. La théorie des nombres sur un corps local s'en trouve simplifiée, par rapport à sa version globale.