Fraction dyadique

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En mathématiques, une fraction dyadique ou rationnel dyadique est un nombre rationnel qui, lorsqu'il est écrit sous forme de fraction, possède un dénominateur sous forme de puissance de deux. On peut le noter formellement par

$D=\left\{ \frac{a}{2^b}\,|\, (a,b) \in (\Z\times \N) \right\}.$

Par exemple, 1/2 ou 3/8 sont des fractions dyadiques, mais pas 1/3. Ce sont précisément les nombres qui ont un développement de « décimales » binaire fini.

Le pouce est habituellement divisé de manière dyadique plutôt qu'en fractions décimales; de manière similaire, les divisions habituelles du gallon en demi--gallons, quarts et pintes sont dyadiques. Les anciens égyptiens utilisaient aussi les fractions dyadiques dans les mesures, avec des dénominateurs allant jusqu'à 64.

L'ensemble de toutes les fractions dyadiques est dense dans l'ensemble des nombres réels; un nombre réel quelconque x peut être arbitrairement approché autant que l'on veut par des rationnels dyadiques de la forme

$\lfloor 2^n x \rfloor / 2^n.$

Comparé aux autres sous-ensembles de la droite réelle, tels que les nombres rationnels, c'est un ensemble dense dans un certain sens, plutôt « petit », c'est pourquoi il apparaît quelquefois dans les démonstrations de topologie comme le lemme d'Urysohn.

La somme, le produit ou la différence de deux fractions dyadiques quelconque est elle-même une autre fraction dyadique :

$\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a+c}{2^d} \quad (d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{2^{d-b}a-c}{2^d} \quad (d\ge b)$

$\frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}=\frac{a-2^{b-d}c}{2^b} \quad (d< b)$

$\frac{a}{2^b}\times \frac{c}{2^d} = \frac{ a \times c}{2^{b+d}}.$

Par contre, le résultat de la division d'une fraction dyadique par une autre n'est pas, en général, une fraction dyadique. Ainsi, les fractions dyadiques forment un sous-anneau de l'ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}\,$ . Algébriquement, ce sous-anneau est la localisation des entiers $\mathbb{Z}\,$ qui respecte l'ensemble des puissances de deux.

Les nombres surréels sont générés par un principe de construction itérative qui commence en générant toutes les fractions dyadiques finies, puis conduit à la création de nouvelles et étranges sortes de nombres infinis, infinitésimaux et autres.

[modifier] Solénoïde dyadique

Article détaillé : Solénoïde (mathématiques).

En tant que groupe abélien additif, l'ensemble des rationnels dyadiques est la limite directe des sous-groupes cycliques infinis

$2^{-n}\mathbb{Z};$

pour n = 0, 1, 2, ... . Dans l'esprit de la dualité Pontryagin, il existe un objet dual, nommément la limite inverse du groupe du cercle unité sous l'application carrée répétée

$\zeta \rightarrow \zeta^2.$

Le groupe topologique résultant D est appelé le solénoïde dyadique.

Un élément du solénoïde dyadique peut être représenté comme une suite infinie de nombres complexes :

$q_0, q_1, q_2, \ldots\,$ , avec la propriété que chaque q_i se place sur le cercle unité et que, pour tous les i > 0,

$q_i^2 = q_{i-1}.$

L'opération de groupe sur ces éléments multiplie deux suites quelconques convenablement.

En tant qu'espace topologique, c'est un continuum indécomposable.

[modifier] Voir aussi

Notion de nombre
Ensembles usuels		Extensions
ℕ ensemble des entiers naturels ℤ groupe des entiers relatifs D ensemble des décimaux ℚ corps des rationnels ℝ corps des réels ℂ corps des complexes		ℍ algèbre des quaternions O algèbre des octonions S algèbre des sédénions autres hypercomplexes ℚ_p corps des p-adiques hyperréels et superréels ordinaux et cardinaux surréels et pseudoréels
$\scriptstyle\mathbb{N}\ \sub\ \mathbb{Z}\ \sub\ \mathbb{D}\ \sub\ \mathbb{Q}\ \sub\ \mathbb{R}\ \sub\ \mathbb{C}$
Propriétés particulières
pair ou impair • premier ou composé • carré • parfait positif ou négatif • dyadique • irrationnel algébrique ou transcendant • imaginaire pur nombre de Liouville • normal • univers constructible • calculable • transfini • infiniment petit
Exemples d'importance historique
π : $\sqrt 2$ : φ : 0 : $i$ : e : ℵ₀ :	constante d'Archimède racine carrée de deux nombre d'or zéro unité imaginaire constante de Neper aleph-zéro	(≈ 3,141592654…) (≈ 1,414213562…) (≈ 1,618033989…) de carré valant −1 (≈ 2,718281828…) premier cardinal infini
autres constantes mathématiques
Notions connexes
chiffre • numération • fraction • opération • calcul • algèbre arithmétique • suite d'entiers • ∞ infini • chiffre significatif