Formule de Steiner-Minkowski
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En mathématiques, la Formule de Steiner-Minkowski est une formule liant l'aire et le volume d'un sous-ensemble compact d'un espace euclidien. Plus précisemment, elle définit l'aire comme la "dérivée" du volume délimité, en un certain sens à préciser.
La Formule de Steiner-Minkowski est utilisée conjointement avec le théorème de Brunn-Minkowski, pour prouver le Théorème isopérimétrique. Elle a été ainsi nommée en l'honneur du mathématicien lithuanien Hermann Minkowski.
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[modifier] Enoncé de la formule
Soit , et un ensemble compact. Soit μ(A) la mesure de Lebesgue (volume) de A. On définit la quantité par la formule suivante (formule de Minkowski-Steiner):
avec
désignant la boule fermée de rayon δ > 0, et
est la somme de Minkowski de A et , d'où
[modifier] Remarques
[modifier] Mesure de la surface
Pour un ensemble "suffisamment régulier" A, the quantity ne correspond pas nécessairement à la mesure (n − 1)-dimensionnelle du bord de A. Voir Federer (1969) pour un traitement complet de ce problème.
[modifier] Ensembles convexes
Quand l'ensemble A est convexe, la limite inférieure ci-dessus est une vraie limite et on peut montrer
où λi est une fonction continue sur A et ωn désigne la mesure (ou volume) de la boulé unité de :
avec Γ désignant la fonction gamma.
[modifier] Exemple : volume et surface d'une boule
Prenons qui donne la formule de l'aire de la sphère de rayon R, :
-
- = nRn − 1ωn,
avec ωn défini ci-dessus.
[modifier] Références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu d’une traduction de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Minkowski-Steiner formula ».
- Dacorogna, Bernard (2004). Introduction to the Calculus of Variations. London: Imperial College Press. ISBN 1-86094-508-2.
- Federer, Herbert (1969). Geometric Measure Theory. New-York: Springer-Verlag.