Somme de Minkowski

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace euclidien. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'éléments de A et de B

$A + B = \{\mathbf{a}+\mathbf{b}\,|\,\mathbf{a}\in A,\ \mathbf{b}\in B\}$

A	B	Ensemble somme A + B

Par exemple les figures ci-dessus reproduisent la somme des triangles, définis par les coordonnées de leurs sommets

A = {(1, 0), (0, 1), (0, −1)} et B = {(0, 0), (1, 1), (1, −1)},

L'ensemble somme est un hexagone

A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}

L'opération binaire ainsi définie sur les parties de l'espace euclidien est appelée addition de Minkowski, du nom du mathématicien Hermann Minkowski. Cette opération porte parfois aussi le nom de convolution des deux parties, du fait qu'elle intervient dans les questions de définition du produit de convolution et dans le calcul de son support.

Sommaire

1 Propriétés
- 1.1 Inégalité de Brunn-Minkowski
2 Notes et références
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes

[modifier] Propriétés

Cette opération est commutative, associative, possède pour élément neutre le singleton {0}. Elle est en outre distributive par rapport à la réunion

$A+(B \cup C) = (A +B)\cup (A + C)$ .

D'un point de vue topologique

la somme de deux parties ouvertes est ouverte (comme réunion de translatées de B par exemple)
la somme de deux parties compactes est compacte (par la propriété de Bolzano-Weierstrass)
la somme de deux parties fermées n'est pas nécessairement fermée : par exemple en prenant dans le plan la droite des abscisses et l'hyperbole xy=1, leur somme forme le plan privé d'une droite.

Pour une partie convexe, symétrique par rapport à l'origine, on prouve

C + C = 2C

où le 2 au second membre représente l'application d'une homothétie de rapport 2. Cette propriété est par exemple utilisée pour prouver le théorème de Minkowski.

[modifier] Inégalité de Brunn-Minkowski

Soient A et B deux parties compactes d'un espace euclidien de dimension n. Alors les mesures de Lebesgue des parties A, B et A+B vérifient l'inégalité suivante^[1]