Forme trace

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En mathématiques la forme trace est un concept associé à la théorie de Galois et à la théorie algébrique des nombres.

Si une extension finie L d'un corps K est considéré comme un espace vectoriel, la forme trace apparaît comme une forme bilinéaire de L.

Dans le cas un anneau d'entiers algébriques, la forme trace possède une propriété remarquable, son déterminant ne dépend pas de la base choisie. Cette propriété permet de définir le discriminant d'un anneau d'entiers.

La forme trace, à travers la notion de discriminant, permet d'établir des démonstrations d'arithmétique comme le caractère fini du groupe des classes d'idéaux ou le théorème des unités de Dirichlet.

Sommaire

1 Définition et exemple
- 1.1 Définition
- 1.2 Exemple
2 Propriétés
3 Discriminant d'un anneau
4 Voir aussi

[modifier] Définition et exemple

[modifier] Définition

Ici K est un corps commutatif, L une extension de dimension finie d, l un élément de L et φ_l l'endomorphisme du K espace vectoriel L qui à x associe l.x.

La trace de L sur K de l'élément l est égal à la trace de l'endomorphisme φ_l. Elle est en général notée Tr_L/K.

Cette définition est à l'origine d'une forme bilinéaire sur L en tant que K espace vectoriel :

La forme trace de L sur K est la forme bilinéaire du K espace vectoriel L, qui à (l₁, l₂) associe la trace de l₁.l₂.

[modifier] Exemple

Article détaillé : entier de Gauss.

L'anneau des entiers de Gauss correspond à l'anneau des entiers de la forme x + i.y ou x et y sont des entiers relatifs et i l'unité imaginaire. Soit a (resp. b) un entier de Gauss égal à α + i.β (resp. γ + iδ), dans la base (1, i ) les matrices M_a M_b et M_ab de φ_a, φ_b et φ_ab sont égales à :

$M_a = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta &\\ \beta & \alpha &\\ \end{pmatrix}\; ,\quad M_b = \begin{pmatrix} \gamma & -\delta &\\ \delta & \gamma &\\ \end{pmatrix}\; \text{et}\quad M_{ab} = \begin{pmatrix} \alpha\gamma - \beta\delta & -\alpha\delta - \beta\gamma &\\ \alpha\delta + \beta\gamma & \alpha\gamma - \beta\delta &\\ \end{pmatrix}$

On en déduit, si Ψ désigne la matrice de la forme trace et discr (O_K) de discriminant de l'anneau :

$\text{Tr}_{\mathbb K/\mathbb Q}(a,b) = 2\alpha\gamma - 2\beta\delta \; ,\quad \Psi = \begin{pmatrix} 2 & 0 &\\ 0 & -2 &\\ \end{pmatrix}$

[modifier] Propriétés

Si l'extension L est galoisienne l'égalité suivante est vérifiée :

$\text{Tr}_{\mathbb L/\mathbb K}(l) = \sum_{i=1}^d \sigma_i(l)$

Ici la famille (σ₁, σ₂, ..., σ_d) décrit les éléments du groupe de Galois. La trace est égale au coefficient du monôme sous-dominant du polynôme caractéristique χ[X]. Ce polynôme s'exprime comme un multiple du polynôme minimal P[X] de la manière suivante :

$\chi[X] =\prod_{i=1}^d \Big(\sigma_i(m) - X\Big)=(-1)^n P^n[X]$

La démonstration est donnée dans l'article Polynôme minimal d'un nombre algébrique

Par définition, la forme trace prend ses valeurs dans K.

On remarque que la forme trace est symétrique. Elle bénéficie de plus de la propriété suivante :

La forme trace est non dégénérée si et seulement si l'extension L est séparable.^[1]

Démonstration

Supposons que l'extension L soit séparable :

Pour montrer que la forme trace est non dégénérée, il suffit d'expliciter une expression matricielle de cette forme et de calculer son déterminant. S'il est non nul, alors la forme trace est non dégénérée. Il suffit de trouver une base qui offre une expression simple de cette matrice.

Si l'extension est séparable, il existe un élément p primitif (cf théorème de l'élément primitif), c'est à dire que la famille (1, p, ..., p^d) forme une base de L. Soit M = (m_ij) la matrice de la forme trace dans cette base. Alors :

$\forall i,j \in [1,d]\quad m_{ij} = \text{Tr}(\varphi_{p^{i+j}})$

Soit P[X] le polynôme minimal de p. Il est de degré d la dimension de L et son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique (à un facteur (-1)^d près). Dire que L est séparable revient à dire que P[X] n'admet aucune racine multiple. Soit D le corps de décomposition de P[X] et λ_k pour k variant de 1 à d les racines toutes distinctes de φ_p. Considérons l'espace vectoriel E obtenu par le produit tensoriel de D et du K espace vectoriel L. L'espace E est simplement l'espace vectoriel L de dimension d prolongé sur le corps des scalaires D. La forme trace se prolonge sur E et son expression matricielle est la même que celle de l'espace L. En revanche, l'endomorphisme de matrice M est maintenant diagonalisable car le polynôme minimal est scindé et séparable. Comme le changement de base ne modifie pas le déterminant, il est possible de calculer ce déterminant dans E et dans la base de vecteurs propres.

Les valeurs propres de φ_p^i+j comme endomorphisme de E sont en conséquence, égales à λ _k^i+j. Ce qui donne une expression de la trace, en remarquant qu'elle est égale à la somme des valeurs propres :

$\forall i,j \in [1,d]\quad m_{ij} = \text{Tr}(\varphi_{p^{i+j}}) = \sum_{k=1}^d \lambda_k^{i+j}= \sum_{k=1}^d \lambda_k^i.\lambda_k^j\quad \text{et}\quad M = {}^tA\cdot A$

Si A désigne la matrice égale à (λ _kⁱ ). Il suffit donc de démontrer que le déterminant de la matrice A est non nul pour conclure. Or A est une matrice de Vandermonde à coefficients tous distincts et son déterminant n'est pas nul (l'article associé montre qu'une matrice de Vandermonde est inversible si les valeurs λ_k sont distincts).

Supposons que l'extension L soit non séparable :

La démonstration est donnée dans le livre Algèbre de Serge Lang.

[modifier] Discriminant d'un anneau

[modifier] Définition

Dans cette partie, K désigne une extension finie du corps des nombres rationnels. O_K désigne l'anneau de tout les entiers algébriques de K encore appelé fermeture algébrique de K. Un entier algébrique est un nombre algébrique dont le polynôme minimal est à coefficients dans Z.

On remarque que tout isomorphisme α de O_K, considéré comme un Z module, possède un déterminant inversible dans Z. En effet :

$\text{det}(\alpha\cdot\alpha^{-1})= \text{det}(\alpha).\text{det}(\alpha^{-1})=1\;$

Le déterminant d'un isomorphisme est donc égal soit à 1 soit à -1. Le changement de base d'une forme bilinéaire ne modifie pas le déterminant. Ce qui permet d'établir la définition suivante :

Le discriminant d'un anneau de O_K est égal au déterminant de sa forme trace.

[modifier] Exemple

La connaissance d'une expression matricielle de la forme trace des entiers de Gauss permet un calcul du discriminant :

$\Psi = \begin{pmatrix} 2 & 0 &\\ 0 & -2 &\\ \end{pmatrix}\quad \text{et}\quad \text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K}) = \det (\text{Tr}_{\mathbb K/\mathbb Q})=-4$

Le discriminant de l'anneau est égal à -4. Il est possible de le calculer autrement, le polynôme X ² + 1 permet de définir le corps K des rationnels de Gauss. En effet, K est isomorphe au quotient de l'anneau Q[X] des polynômes à coefficients rationnels par l'idéal engendré par X ² + 1. Le discriminant du polynôme X ² + 1 est aussi égal au discriminant de l'anneau. Cette propriété est générale.

Le calcul général du discriminant d'une fermeture d'un corps quadratique est donnée dans l'article associé.

[modifier] Propriétés

[modifier] Discriminant d'un idéal

La définition précédente s'applique aux sous-anneaux de O_K. La proposition suivante permet de calculer son discriminant :

Le discriminant d'un sous-anneau M de O_K est donnée par la formule suivante :

$\text{discr}({\mathfrak M}) = \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)^2.\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\;$

L'idéal M est un Z module, en conséquence il existe une application linéaire injective f de O_K en tant que Z module dans M. La démonstration est donnée dans l'article Norme (arithmétique). Soient F la matrice de f dans une base B de O_K, x et y deux vecteurs de M et X et Y leur vecteur colonne dans la base de M, image de B par f. On a l'égalité matricielle :

$\text{Tr}(x, y) = ^t(F.X)T(F.Y)= ^tX(^tF.T.F)Y\;$

On en déduit :

$\text{discr}({\mathfrak M}) = \det(^tF.T.F) = \det(F)^2.\det(T) = \mathcal N_{\mathbb K/\mathbb Q}(\mathfrak M)^2.\text{discr}(\mathcal O_{\mathbb K})\;$

[modifier] Discriminant et polynôme

Le discriminant d'un anneau O_K possède une définition bien différente de celle d'un discriminant de polynôme à une indéterminée. Les deux définitions sont néanmoins corrélées.

Soit A un sous-anneau de O_K et a un élément générateur de l'anneau, c'est à dire que Z[a] la Z algèbre engendrée par a est égale à l'anneau A. Soit P[X] le polynôme minimal de a. La proposition suivante montre la relation entre les deux discriminants :

Le discriminant de A est égal au discriminant du polynôme minimal P[X] de a.

Démonstration

Remarquons dans un premier temps que P[X] est un polynôme irréductible et séparable. En effet, si P[X] n'est pas irréductible l'un de ses facteurs, de degré strictement plus petit que celui de P[X] annule a et P[X] ne peut être un polynôme minimal. De plus le corps des nombres rationnels est parfait, ce qui signifie qu'un polynôme minimal n'admet jamais de racine double.

Soit d la dimension de l'anneau A, la famille (1, a, a², ..., a^d-1) est une base de A. Considérons, comme dans la boite déroulante du paragraphe sur les propriétés, la matrice M de la forme trace dans la base précédente et E le D espace vectoriel produit tensoriel du Q espace vectoriel K et de D le corps de décomposition de K. La démonstration précédente montre que l'endomorphisme de matrice M est diagonalisable dans E et que l'expression matricielle de la forme trace est le produit de la transposée de A avec A, si A est égal à (λ _kⁱ ) où λ _k désigne la k^ième racine de P[X]. Le calcul d'un déterminant d'une matrice de Vandermonde montre que :

$\det A = \prod_{i<j} (\lambda_j - \lambda_i)\quad \text{et}\quad \text{discr}({\mathfrak A}) = (\det A)^2 = \prod_{i<j} (\lambda_j - \lambda_i)^2$

Comme le coefficient du monôme dominant du polynôme P[X] est égal à un, on retrouve exactement l'expression du discriminant du polynôme minimal, ce qui termine la démonstration.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Notes

↑ La démonstration suivante est extraite du cours de préparation à l'agrégation : Trace, formes quadratiques et extensions de corps page 5 par Y. Coudene